1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Свойство их эрмитовости зависит от класса функций, где онидействуют, т. е. от гильбертова пространства. С некоторой осторожностью свойства эрмитовых операторов распространяются на пространствабесконечной размерности (мы не углубляемся в математические детали).Определим гильбертово пространство для одной частицы через координатное представление (координатные компоненты (6.20) вектора состояния).Скалярное произведение можно записать в виде интеграла (6.29) по бесконечному объёму или для конечного объема , как в разделе 3.8.
Еслимы используем бесконечный объём и хотим, чтобы интеграл сходился, тоограничиваемся квадратично интегрируемыми функциями. Локализованное состояние (4.41) не принадлежит к этому классу, хотя мы считаемдельта-функцию пределом «хороших» функций, которые принадлежат пространству Гильберта. Фурье-преобразование квадратично интегрируемойфункции координат даёт квадратично интегрируемую функцию в импульсном представлении, где скалярное произведение может быть определенополностью аналогично. Для конечного объёма мы должны указать граничные условия, которые определяют класс функций. Например, функции,аналогичные плоским волнам, можно рассматривать с нулевыми или периодическими граничными условиями на поверхности.
Также может бытьудобным добавить регуляризующий множитель −|| с пределом → +0,что делает функции квадратично интегрируемыми.Задача 6.4а) Покажите в координатном и импульсном представлениях, что оператор^ эрмитов на классе квадратично интегрируемых функций.б) То же для оператора ^.Задача 6.5Покажите, что оператор (4.68) орбитального момента относительно определённой оси эрмитов на классе периодических функций угла с периодом 2.6.7 Свойства эрмитовых операторов⋆Собственные значения (6.47) и соответствующие собственные функцииэрмитовых операторов играют исключительно важную роль в квантовойтеории.
Для операторов координаты и импульса мы обсуждали их собственные значения и собственные состояния в разделе 4.4. Считалось само собойразумеющимся, что, в соответствии с их физическим смыслом, собственные6.7 Свойства эрмитовых операторов⋆185значения — действительные числа. На самом деле это свойство выделяетэрмитовы операторы среди всех возможных линейных операторов.Вернёмся к уравнению (6.47), которое определяет собственный вектор^ Рассмотрим два вектора, |Ψ ⟩ и|Ψ⟩ и собственное значение оператора .′^|Ψ′ ⟩, с собственными значениями и одного и того же оператора :^ ⟩ = |Ψ ⟩,|Ψ^ ′ ⟩ = ′ |Ψ′ ⟩.|Ψ(6.72)Умножим второе уравнение на бра-вектор ⟨Ψ | и сделаем комплексноесопряжение:^ ′ ⟩* = ′* ⟨Ψ |Ψ′ ⟩* .⟨Ψ ||Ψ(6.73)^=^ † и с использованием первого уравненияДля эрмитова оператора (6.72) левую часть (6.73) можно переписать в виде^ ′ ⟩* = ⟨Ψ′ |^ † |Ψ ⟩ = ⟨Ψ′ ||Ψ^ ⟩ = ⟨Ψ′ |Ψ ⟩.⟨Ψ ||Ψ(6.74)Скалярное произведение в правой части уравнения (6.74) такое же, какв формуле (6.73), и, взяв разность (6.73) и (6.74), получим( ′* − )⟨Ψ′ |Ψ ⟩ = 0.(6.75)Если |Ψ′ ⟩ — тот же (ненулевой) вектор, как |Ψ ⟩, ′ = , то его нормаположительна (уравнение (6.27)) и из (6.75) следует, что * = .
Это показывает, что все собственные значения эрмитовых операторов являютсявещественными числами. Если собственные значения разные, ′ ̸= , томы приходим к выражению⟨Ψ |Ψ′ ⟩ = 0,если ̸= ′ ,(6.76)т. е. собственные векторы эрмитова оператора, принадлежащие к различным собственным значениям, ортогональны.Задача 6.6Найдите спектр собственных значений для оператора ^ = ^ + ^, где — произвольное комплексное число нужной размерности (оба слагаемых в ^ должны иметь одинаковую физическую размерность). Найдитесоответствующие собственные функции в координатном и импульсномпредставлениях.
При каких условиях эти собственные функции физическидопустимы?186Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыРешение.Собственные функции в координатном представлении имеют вид () = −(/~)[(/2)2 −],(6.77)где — собственное значение оператора ^ и мы использовали ^ = ,^ = −~ /. Функция (6.77) может описывать физическое состояниечастицы, если плотность вероятности| |2 = [(I )2 −2(I)]/~(6.78)не растёт неограниченно при больших ||. Для этого требуется, чтобыIm() < 0. Если — вещественное число, то оператор ^ эрмитов. Тогда,согласно (6.78), очевидно требуется, чтобы собственные значения быливещественными, в противном случае | |2 будет бесконечно расти на однойстороне.
Такие же результаты следуют из импульсного представления.Одной из возможных ситуаций, которую мы ещё не обсуждали, являетсяслучай, когда собственное значение вырождено. Любая суперпозиция соответствующих собственных векторов является также собственным состоянием с тем же собственным значением, т. е. они образуют подпространствоиз нескольких линейно независимых собственных векторов.
Из нашегопредыдущего рассмотрения нельзя сделать вывод, что эти собственныевекторы ортогональны. Тем не менее мы всегда можем найти максимальный набор взаимно ортогональных векторов, которые могут быть взятыв качестве базиса в этом подпространстве. Для этой цели служит стандартная процедура ортогонализации, известная из линейной алгебры.
Еслимаксимальное число линейно независимых векторов |Ψ ⟩ с одним и тем^ равно , это числоже собственным значением эрмитового оператора даёт размерность подпространства. Возьмём один из исходных векторов|1⟩ ≡ |Ψ1 ⟩, нормируем его ⟨1|1⟩ = 1 и построим линейную комбинацию|2⟩ = |Ψ2 ⟩ + |1⟩, где |Ψ2 ⟩ — какой-либо из ( − 1) остальных векторов.Коэффициент может быть определен таким образом, чтобы выполнялось⟨1|2⟩ = 0 = −⟨1|Ψ2 ⟩,|2⟩ = |Ψ2 ⟩ − ⟨1|Ψ2 ⟩|1⟩,(6.79)т. е.
мы вычитаем часть второго вектора, которая не ортогональна первомувектору (см. рис. 6.3). Нормировав |2⟩ и продолжая таким же образом, мыпостроим ортогональных векторов — новый базис в этом вырожденномподпространстве.6.8 Диагонализация⋆187|1>|Ψ2>|2>Рис. 6.3: Иллюстрация процесса ортогонализации6.8 Диагонализация⋆Теперь мы можем обсудить практический алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов данного эрмитового операторав пространстве конечной размерности.
Мы ищем решение задачи на собственные значения:^|Ψ⟩= |Ψ⟩,(6.80)где и набор собственных векторов {|Ψ⟩}, и спектр {} оператора неизвестны.Задача решается алгебраически с использованием любого ортонормированного базиса |⟩, = 1, ..., , для разложения неизвестных собственныхвекторов:|Ψ⟩ =∑︁ |⟩.(6.81)=1Подставив (6.81) в уравнение (6.80), получаем∑︁∑︁^ |⟩= |⟩.(6.82)Проекция (6.82) на произвольный базисный бра-вектор ⟨| при использовании ортонормированности базисных состояний (6.48) и матричныхэлементов (6.55) даёт:∑︁ ( − ) = 0, = 1, . . .
, .(6.83)188Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыМы пришли к однородной системе линейных алгебраических уравненийдля амплитуд { } собственного вектора в данном базисе. Тривиальноерешение, когда все = 0, всегда существует. Нетривиальные решениясуществуют, если определитель матрицы коэффициентов в уравнении (6.82)равен нулю,^ − 1)^ = 0,Det((6.84)^ — единичный оператор (6.50) с матричными элементами в любомгде 1ортонормированном базисе. Уравнение (6.84) называется характеристическим или секулярным и сводится к полиному () -ой степени, которыйимеет корней , = 1, 2, . . .
, ,, являющихся собственными значениями,которые мы ищем. Для эрмитового оператора все собственные значения вещественны. Для каждого собственного значения , возвращаясь к системе уравнений (6.83), находим −1 амплитуд, выраженных через последнююамплитуду, которую можно определить, использовав условие нормировки:∑︁2⟨Ψ() |Ψ() ⟩ =|()(6.85) | = 1.Так как собственные векторы для различных собственных значенийортогональны, а для вырожденных собственных значений они могут бытьортогонализированы, в результате этой процедуры получается набор ортогональных векторов в -мерном пространстве, который может служить^ является диагональнымв качестве нового базиса.
В этом базисе оператор с собственными значениями на главной диагонали,^ () ⟩ = .⟨Ψ() ||Ψ(6.86)Если мы определим, как и в (4.17), среднее значение оператора в произвольном состоянии как значение его диагонального матричного элементадля этого состояния, то это среднее значение совпадает с собственнымзначением. Переход от произвольного исходного базиса |⟩ к базису |Ψ() ⟩,построенному из собственных векторов некоторого оператора, называетсядиагонализацией. Примеры с важными физическими следствиями будутотложены до главы 10.Задача 6.7^ который имеет конечный полный наборПокажите, что любой оператор ,собственных значений , = 1, . . .
, , удовлетворяет полиномиальному6.9 Преобразования базиса⋆189операторному уравнению^ ≡ (^ − 1 )(^ − 2 )...(^ − ) = 0. ()(6.87)Уравнение (6.87) следует понимать как утверждение, что оператор в левой части уравнения уничтожает любой вектор в гильбертовом пространстве. Из этого результата следует, что любая регулярная функции эрмитоваоператора в -мерном пространстве может быть выражена как операторныйполином степени не выше чем − 1.6.9 Преобразования базиса⋆Мы обсудили переход от произвольного базиса к базису собственныхвекторов эрмитова оператора. Оба набора являются полными и ортонормированными.
Существует бесконечное количество возможностей для выборабазиса, что аналогично вращениям базисных векторов в координатномпространстве. Все такие преобразования обладают общими свойствами,которые приведены в этом разделе.Мы помним, что оператор полностью определяется своим действием навекторы базиса. Выстроив базисные вектора в некотором порядке, рас^ , которое даёт новый вектор |⟩′ вместо векторасмотрим преобразование прежнего базиса |⟩,^ |⟩ = |⟩′ .(6.88)Пусть новый вектор имеет представление в прежнем базисе в виде∑︁|⟩′ =|⟩.(6.89) определяет волновую функцию состояния |⟩′Набор коэффициентов ^ в прежнемв старом представлении и в то же время матричные элементы базисе,^ |⟩ = ⟨|⟩′ = .
= ⟨|(6.90)Таким образом, новая волновая функция |⟩′ в старом представлениипросто является -м столбцом матрицы преобразования .^ является несингулярным (не превращает ни одинЕсли преобразование ненулевой старый вектор в нулевой), обратное преобразование −1 от190Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторынового базиса к старому тоже существует,^ −1 |⟩′ = |⟩,^ = 1.^^ −1 = ^ −1 ^(6.91)^ то существует ненулевойЕсли нуль принадлежит спектру оператора ,^^ является сингулярнымвектор |Ψ⟩ такой, что |Ψ⟩ = 0, так что оператор ^и обратный ему оператор не существует.
Для несингулярных операторов ^и^ )^ −1 = ^ −1 ^ −1 .((6.92)Если оба базисных набора, |⟩′ и |⟩, ортонормированы, то′⟨|⟩′ = = ⟨|⟩.(6.93)Это преобразование обладает особыми свойствами. Из уравнения (6.88) и^ † следует, чтоего эрмитово сопряжённого ′ ⟨| = ⟨|′^ †^ |⟩,⟨|⟩′ = ⟨|(6.94)так что эквивалентность (6.93) для любой пары базисных векторов имеетместо, если оператор, выполняющий преобразование между двумя ортонормированными базисами, удовлетворяет условию^ †^ =1^^ −1 .^† = (6.95)Такие преобразования называются унитарными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
