1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Тогда результат должен совпасть с расчётом в соответствии суравнением (6.189) и дать ⟨ 2 ⟩ → ∞. Фактически это реальный способизмерения импульсного распределения атомов в ловушке, например, висследованиях конденсата Бозе — Эйнштейна. Ловушка внезапно удаляется и измеряются импульсы свободных атомов (в таких экспериментахпотенциал ловушки близок к потенциалу гармонического осциллятора).Правильное рассмотрение в координатном представлении приводит к тому же заключению о расходимости. Действительно, имея в виду процедуруизмерения, мы должны рассматривать волновую функцию во всём пространстве. Условие = 0 на стенке есть результат предельного перехода отконечного потенциала к бесконечно высокой потенциальной стенке.
В этомпроцессе кинетическая энергия не равна общей энергии из-за наличиястенок. Как функция во всем пространстве, волновая функции непрерывнана стенке, ее первая производная имеет конечный разрыв (равна нулюснаружи и конечна внутри), а вторая производная бесконечна из-за наличия бесконечного потенциала. Эта бесконечность порождает очень высокиеФурье-гармоники, приводящие к расходимости интеграла в импульсномпредставлении.
Поэтому вычисление ⟨^4 ⟩ должно проводиться следующимобразом:∫︁ ∞∫︁ ∞⃒⃒2⃒⃒4*4⟨|^ |⟩ = ()^ () = ⃒^2 ()⃒ ,(6.190)−∞−∞где мы использовали эрмитовость оператора ^2 и теперь видим, что интеграл содержит квадрат второй производной волновой функции. Втораяпроизводная бесконечна на границах, т.
е. интеграл содержит вклады()и ( − ), пропорциональные бесконечному потенциалу. Интеграл∫︀ [()]2 = (0) бесконечен. Конечно, всё это является следствием идеализированной модели с бесконечно высокими потенциальными стенками.Задача 6.17Все практические измерения имеют свои собственные ошибки, не связанные с квантовыми ограничениями.
Предположим, что частица находитсяв квантовом состоянии () со средним значением ⟨⟩ её координатыи квантовой неопределённостью (Δ)2 . Экспериментальное устройствохарактеризуется вероятностью () отклонения результата измерения210Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыот фактического положения.
Найдите среднюю величину результата многихизмерений ¯ и его дисперсию Var() = ¯2 − ¯2 .Решение.Вероятность получения результата даётся выражением∫︁ () = ′ ( − ′ )|(′ )|2 ,(6.191)где () нормирована на единицу. Используя это распределение вероятностей, мы находим∫︁¯¯ = ⟨⟩ + () ≡ ⟨⟩ + ,(6.192)Var() = (Δ)2 +∫︁¯ 2 ≡ (Δ)2 + Var(). () 2 − ()(6.193)Квантовые и экспериментальные неопределённости складываются квадратично.Дополнительная литература: [7, 22–26].Научно обоснованная теория всегдадолжна содержать классическуюмеханику как предельный случай.Вольфганг Эрнст Паули, «Волноваямеханика»Глава 7Квантовая динамика7.1 Гамильтониан и уравнение ШрёдингераЗаконы временно́й эволюции квантово-механических состояний ограничены принципами, которые уже появлялись в наших предыдущих рассуждениях.(i) Волновая функция содержит полную информацию (разрешённуюквантовыми соотношениями неопределённостей) о вероятностях возможныхизмерений в системе.(ii) Принцип суперпозиции говорит нам, что сумма решений уравнениядвижения также должна быть возможным решением.(iii) Стационарное состояние, т.
е. состояние с определённой энергией ,эволюционирует монохроматически ∼ exp[−(/~)], приобретая толькофазу и, следовательно, сохраняя все вероятности.Из (ii) следует, что уравнение движения должно быть линейным относительно вектора состояния или волновой функции. Согласно (i), знаниеволновой функции |Ψ(0)⟩ в начальный момент времени = 0 уже предопределяет его квантовую (не возмущаемую измерениями) эволюцию. В частности, волновая функция в очень близкий момент времени или её производнаяпо времени также определяются |Ψ(0)⟩. Так как эта зависимость линейна, производная является линейным функционалом самой функции. Этотфункционал может быть представлен линейным оператором Гамильтона,^ так, чтобы выполнялосьили гамильтонианом ,~^|Ψ()⟩ = |Ψ()⟩.(7.1)Это уравнение Шрёдингера, которому подчиняется развитие во временилюбой квантовой системы. Из условия (iii) мы знаем, что для стационарного212Глава 7 Квантовая динамикасостояния зависимость от времени имеет вид|Ψ()⟩ = |⟩−(/~) ,|⟩ = |Ψ(0)⟩.(7.2)Тогда из уравнения (7.1) видно, что энергия стационарного состоянияявляется собственным значением гамильтониана и независящий от временивектор состояния |⟩ является соответствующим собственным вектором,^|⟩= |⟩.(7.3)Как оператор вещественной наблюдаемой величины, гамильтониан является эрмитовым оператором.^ явно не зависит от времени, мы говорим о заЕсли гамильтониан крытой или изолированной системе.
Это не означает, что фактическоесостояние системы стационарно — всё зависит от начальных условий. Темне менее в этом случае уравнение Шрёдингера (7.1) допускает формальноерешение^|Ψ()⟩ = −(/~) |Ψ(0)⟩,(7.4)которое сводится к (7.2) для стационарного начального состояния. В общемслучае начальное состояние есть произвольная суперпозиция стационарных состояний |⟩, которые могут принадлежать как дискретному, так инепрерывному спектру:∑︁|Ψ(0)⟩ = |⟩.(7.5)Состояния |⟩ образуют полный ортонормированный набор в качествесобственных состояний эрмитового оператора, поэтому коэффициентыразложения в (7.5) равны = ⟨|Ψ(0)⟩.(7.6)Теперь формальное решение (7.4) уравнения Шрёдингера может бытьзаписано (см.
для сравнения раздел 3.4) как∑︁|Ψ()⟩ = |⟩−(/~) .(7.7)Задача 7.17.1 Гамильтониан и уравнение Шрёдингера213Одномерный гармонический осциллятор имеет дискретный энергетический спектр,)︂(︂1.(7.8) = ~ +2Осциллятор приготовлен в начальном состоянии Ψ(0) = (1 +2 +3 ), ̸=0, где — нормированные волновые функции стационарных -квантовыхсостояний. Будет ли волновая функция в какой-то момент > 0 приниматьвид[︁]︁√а) = 1 + (1/ 2)(2 + 3 ) ;б) = (1 + 2 + 3 + 4 );в) = (1 − 2 + 3 );г) = (1 − 2 − 3 );д) = (1 + 2 − 3 )?Коэффициенты в этих примерах являются константами.Решение.Возможны варианты в и д.Амплитуды вероятности нахождения компонент с энергией определяют волновую функцию в энергетическом представлении.
Соответствующие вероятности, | |2 , не зависят от времени для любой замкнутойсистемы. Произвольные операторы ^ без явной зависимости от временимогут иметь неисчезающие, зависящие от времени матричные элементымежду двумя состояниями |Ψ1 ()⟩ и |Ψ2 ()⟩, хотя возможная зависимостьполностью определяется энергетическим спектром:∑︁(1)− ^ 1 ()⟩ =⟨Ψ2 ()||Ψ(2)*.(7.9) Здесь мы используем амплитуды в энергетическом представлении для(1)(2)обоих состояний, и , стандартное определение матричных элементов (уравнение (6.55)) и частоты перехода (уравнение (1.41)) междустационарными состояниями.
Таким образом, спектр преобразования Фурьематричного элемента (7.9) содержит только частоты, соответствующиевозможным переходам между стационарными уровнями системы.Формальное решение (7.4) является новым примером унитарного преобразования (см. раздел 6.9). Подобно пространственным сдвигам, порождаемым оператором импульса (4.54), мы имеем сдвиг системы во времени,который естественно выполняется за счёт внутренней динамики. В самом214Глава 7 Квантовая динамикаделе, скалярные произведения векторов состояния не зависят от времени^ = ,(задача 4.1): для оператора ^ ⇒ 1,⟨Ψ2 ()|Ψ1 ()⟩ =∑︁(1)− (2)*= ∑︁(1)(2)* = ⟨Ψ2 (0)|Ψ1 (0)⟩.(7.10)Таким образом, квантовая эволюция замкнутой системы является унитарным преобразованием^^ () = −(/~),(7.11)в котором время является непрерывным параметром, а гамильтониан —соответствующим генератором (6.112).7.2 Одночастичный гамильтонианКонкретный вид гамильтониана для данной квантовой системы не можетбыть «выведен».
В классической механике лагранжиан или гамильтонианглавным образом берутся из эксперимента в соответствии с некоторымиобщими принципами. В квантовой теории руководящими принципами могутбыть только соображения симметрии, соответствие классическому пределу(раздел 1.7) и результаты эксперимента.В разделе 4.2 мы ввели явно операторы координаты и импульса, действующие на волновые функции в координатном и импульсном представлениях.Теперь используем эти знания, чтобы прийти к уравнению Шрёдингерас определённым гамильтонианом.
Прежде всего, мы должны преобразовать уравнение (7.1) для абстрактного вектора состояния в уравнение дляволновой функции в фиксированном представлении.В координатном представлении для одночастичной системы волноваяфункция является проекцией вектора состояния на состояние, локализованное в данной точке,Ψ(r, ) = ⟨r|Ψ()⟩.(7.12)Здесь базисное состояние |r⟩ не зависит от времени, в то время как вектор состояния |Ψ()⟩ эволюционирует в соответствии с уравнением (7.1).Вставляя полный набор локализованных состояний |r′ ⟩ с помощью условияполноты (6.49), получаем7.2 Одночастичный гамильтониан∫︁ |r ⟩ ~ ⟨r′ |Ψ()⟩ =3 ′′∫︁^ ′ ⟩⟨r′ |Ψ()⟩,3 ′ |r215(7.13)что может быть записано в терминах координатной волновой функции,∫︁∫︁′3 ′ ′^ ′ ⟩Ψ(r′ , ).(7.14) |r ⟩~ Ψ(r , ) = 3 ′ |rСпроектируем это уравнение на фиксированный бра-вектор локализованного состояния ⟨r|.
Используя ортогональность⟨r|r′ ⟩ = (r − r′ ),(7.15)получаем уравнение для зависящей от времени координатной волновойфункции,∫︁Ψ(r, )^ ′ ⟩Ψ(r′ , ).~= 3 ′ ⟨r||r(7.16)В общем случае это уравнение является интегральным (нелокальным)уравнением.^ ′ ⟩ (ядро оператора )^ могут быть найденыМатричные элементы ⟨r||rпри условии, что мы берём квантовый гамильтониан в виде его классического аналога — функции Гамильтона частицы в потенциальном поле,путём подстановки вместо классических динамических переменных r и pквантовых операторов.
В координатном представлении (раздел 4.2)r ⇒ ^r,^ = −~∇.p⇒p(7.17)Найдём матричные элементы ⟨r|...|r′ ⟩ этих операторов. Для оператора ко^ , явно вводя локализованные волновыеординаты, который обозначен как xфункции, получаем∫︁′⟨r|^x|r ⟩ = 3 (x − r)x(x − r′ ) = r(r − r′ ).(7.18)Для оператора импульса имеем следующее выражение:∫︁⟨r|^p|r′ ⟩ = 3 (x − r)(−~∇x )(x − r′ ).(7.19)216Глава 7 Квантовая динамикаИспользуя симметрию дельта-функции, мы можем вынести производнуюиз-под интеграла:∫︁′⟨r|^p|r ⟩ = ~∇r′ 3 (x − r)(x − r′ ) = ~∇r′ (r − r′ ) =(7.20)′= −~∇r (r − r ).Для любой аналитической функции (^p) получаем⟨r| (^p)|r′ ⟩ = (−~∇r )(r − r′ ).(7.21)Применяя этот рецепт для гамильтониана,^ = (^r, p^ ),(7.22)и интегрируя по r′ в (7.16), приходим к уравнению Шрёдингера в координатном представлении~Ψ(r, )^ r, p^ )Ψ(r, ),= (^(7.23)^ = −~∇ действуют, как и раньше (раздел 4.2), на функциигде ^r и pкоординат r.Для общего случая этот рецепт не вполне определён из-за возможного^ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
