1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Произведение (последо^ и ^ , является такжевательное действие) двух унитарных операторов, унитарным оператором:^ ^ )† = ^ † ^ † = ^ −1 ^ −1 = (^ ^ )−1 .((6.96)^ очевидно, является унитарным. Таким образом,Единичный оператор 1,все свойства группы (см. раздел 4.6) выполняются и унитарные операторы,действующие в пространстве данной конечной размерности , образуютунитарную группу ().Унитарное преобразование сохраняет все физические амплитуды, выражаемые в виде перекрытия двух векторов состояния.

Действительно,^ трансформирупроизвольное состояние |Ψ⟩ при таком преобразовании ′ется в |Ψ ⟩, и новый вектор имеет в новом базисе те же амплитуды, что и6.9 Преобразования базиса⋆191старый вектор в старом базисе,∑︁∑︁^ |Ψ⟩ = |⟩′ = |Ψ′ ⟩. |⟩|Ψ⟩ =(6.97)Отсюда следует^ Ψ1 |^ Ψ2 ⟩ = ⟨Ψ1 |^ †^ Ψ2 ⟩ = ⟨Ψ1 |Ψ2 ⟩.⟨Ψ1 |Ψ2 ⟩ → ⟨Ψ′1 |Ψ′2 ⟩ = ⟨(6.98)Операторные соотношения между векторами состояния в общем случаеменяются в различных представлениях. Пусть два исходных вектора |Ψ1 ⟩^и |Ψ2 ⟩ связаны через оператор ,^ 1 ⟩.|Ψ2 ⟩ = |Ψ(6.99)Применим несингулярное преобразование ^ к обеим частям:^ 1 ⟩ = ^^ ^−1 ^|Ψ1 ⟩ = ^^ ^−1 |Ψ1 ⟩′ .|Ψ2 ⟩′ = ^|Ψ2 ⟩ = ^|Ψ(6.100)^ будет игратьЭто означает, что после преобразования ^ роль оператора преобразованный оператор^ ′ = ^^ ^−1(6.101)(преобразование подобия).

Мы можем найти условия, при которых эрмитов^ = ^ † остаётся эрмитовым, ^′ = ^ ′† . Последнее равенствооператор приводит к^ ^−1 = (^^ ^−1 )† = (^−1 )† ^ † ^† .^(6.102)Легко показать, что(^−1 )† = (^† )−1 .(6.103)^ сохраняется, еслиПоэтому эрмитовость ^ ^† = ^^ ^−1 ,(^† )−1 (6.104)и, умножая обе части последнего равенства на ^† слева и на ^ справа, мыприходим к^ ^† ^ = ^† ^,^(6.105)192Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыт. е.

оператор ^† ^ должен коммутировать с произвольным эрмитовым^ Таким образом,оператором. Тогда, согласно задаче 6.8, ^† ^ = const · 1.^ сохраняют эрмитовость операторов; в новомунитарные преобразования базисе оператор^′ = ^^^ −1 = ^^^†(6.106)имеет точно такие же матричные элементы, как и прежде,′′ ′ = .(6.107)Задача 6.8Докажите, что оператор в векторном пространстве конечной размерности, коммутирующий с любым другим линейным оператором, являетсяконстантой, умноженной на единичный оператор.Решение.^ ]^ = 0 для произвольного оператора ,^ мы можем взять ^Так как [,только с одним ненулевым матричным элементом , так что = .Тогда для любых , должно быть∑︁^ ]^ =[,( − ) = − = 0.(6.108)^ = · ^1.

ДоказательствоЕдинственным решением является = , или ^ являющегося произвольным эрмитовымможно повторить для оператора ,оператором (число независимых эрмитовых операторов равно 2 , как иобщее число независимых операторов).6.10 Непрерывные преобразования и генераторы⋆^ являются комплекснымиСобственные значения унитарного оператора числами с абсолютным значением, равным единице: если^ |Ψ⟩ = |Ψ⟩,(6.109)^ †^ =1^то находим для ^ †^ |Ψ⟩ = ||2 ⟨Ψ|Ψ⟩,⟨Ψ|Ψ⟩ = ⟨Ψ|(6.110)6.10 Непрерывные преобразования и генераторы⋆193таким образом,||2 = 1, = (6.111)с вещественным параметром . Мы можем диагонализовать унитарныйоператор с помощью стандартной процедуры и найти все его собственные значения exp( ), которые расположены на окружности единичного^ срадиуса в комплексной плоскости. Если ввести эрмитов оператор собственными значениями , мы получим операторное тождество^ = ^ ,(6.112)которое действительно в произвольном базисе.

Функцию от операторав уравнении (6.112) следует понимать как соответствующий степенной ряд.Важный вывод состоит в том, что любой унитарный оператор может^ Во многихбыть представлен в виде (6.112) с эрмитовым оператором .^ () зависят от непрерывного вещеслучаях унитарные преобразования ственного параметра (или от нескольких параметров) и образуют группу(︁)︁−1^ () имеет обратное ^ ()преобразований. Каждое преобразование ,а^ (0 ) = 1,^ изменением масштаба может бытьединичное преобразование, приведено к начальному значению, 0 = 0.

Вблизи 0 параметр мал и^^ (), котороев линейном приближении ()≈ ^ . При преобразовании близко к единичному оператору (инфинитезимальное преобразование),^ () ≈ 1^ + ^.(6.113)Тогда эрмитов оператор ^ является генератором преобразования (см. разделы 4.5 и 4.7), и обратное преобразование с той же точностью есть^ −1 () = ^ † () ≈ 1^ − ^.(6.114)Общее правило операторного преобразования (6.106) может быть применено к бесконечно малым преобразованиям, когда^ |Ψ⟩ − |Ψ⟩ = ^|Ψ⟩ = |Ψ⟩(6.115)^=^′ − ^=^^^ −1 − .^(6.116)и194Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыС помощью операторов, преобразованных в линеаризованный вид (6.113),(6.114), находим^ = (1 + ^^ − ^^ ≈ (^^ − ^^ ) = [^^ )(1) − , ],(6.117)так что преобразование операторов определяется в линейном приближенииих коммутаторами с генераторами преобразований.В главе 4 мы уже рассматривали преобразования пространственногосдвига и поворота.

Оба они являются унитарными, как это ясно из ихфизического смысла: перекрытия волновых функций не изменятся, еслиобе функции одинаково сдвигаются в пространстве или поворачиваютсяна один и тот же угол. В обоих случаях мы нашли экспоненциальноепредставление (6.112) с непрерывными параметрами и соответствующимиэрмитовыми генераторами, операторами импульса и орбитального момента. Результаты задач 4.7 и 4.8 показывают, что при сдвиге на вектор aоператоры координаты и импульса преобразуются как^r′ = ^r − a,^′ = p^.p(6.118)^ изменяются при вращенияхКомпоненты любого векторного оператора Vна угол вокруг оси согласно^′ = ^ cos + ^ sin ,^′ = ^ cos − ^ sin ,^′ = ^ .(6.119)Заметим, что в (6.119) мы получили обычное преобразование для вращения объекта на угол − в полной аналогии с преобразованием координатпри перемещении (6.118).

Это связано с разницей между активной картиной преобразования (преобразуется объект) и пассивной картиной, когдасистема координат преобразуется в обратном направлении.6.11 Проекционные операторы⋆Для того чтобы явно применить полный операторный формализм к конкретным квантовым переменным, мы должны сначала ввести класс проекционных операторов. Мы можем разделить пространство Гильбертас полным базисом |⟩ на две части: подпространство Γ, натянутое на часть{} ∈ Γ базисных векторов, и его ортогональное дополнение Γ̄. Любой6.11 Проекционные операторы⋆195вектор |Ψ⟩ однозначно представляется в виде суперпозиции:∑︁|Ψ⟩ = |Ψ⟩Γ + |Ψ⟩Γ̄ , |Ψ⟩Γ =|⟩⟨|Ψ⟩.(6.120)∈Γ^ Γ — это оператор, отсекающий частьПроекционный оператор (проектор) Λпроизвольного вектора, которая не принадлежат множеству Γ,^ Γ |Ψ⟩ = |Ψ⟩Γ .Λ(6.121)Очевидно, что^Γ + Λ^ = 1.^ΛΓ̄Проекционный оператор можно формально записать в виде∑︁^Γ =Λ|⟩⟨|;(6.122)(6.123)∈Γоператор^ = |⟩⟨|Λ(6.124)проектирует -ю компоненту вектора.

Если Γ совпадает со всем простран^ Γ = 1.^ В этом случае Γ̄ является пустым множеством, а уравством, то Λнение (6.123) — это наше старое условие (6.43) и (6.49) полноты базиса.^ с матричныИногда бывает удобно представить произвольный оператор ми элементами в определённом базисе в виде∑︁^= |⟩⟨|.(6.125)Матричный элемент соответствует переходу → , так как мыизвлекаем -ю компоненту вектора и перенаправляем её вдоль направления.Любая степень проекционного оператора равна ему самому,^ Γ ) = Λ^ Γ,(Λ(6.126)так как Γ-проекция вектора уже полностью лежит в подпространстве Γ, ипоэтому следующие проекции не изменяют результат.

Отсюда следует, чтособственные значения проекционного оператора ΛΓ либо 1 (любой вектор196Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторы|Ψ⟩Γ является таким собственным вектором), либо 0 (любой вектор |Ψ⟩Γ̄ —такой собственный вектор). Таким образом, проекционный оператор является сингулярным и не имеет обратного оператора: невозможно однозначновосстановить весь исходный вектор после того, как некоторых компонентыбыли уничтожены при проектировании.Задача 6.9Покажите, что проекционные операторы являются линейными и эрмитовыми.Задача 6.10Установите условия, при которых операторы суммы ΛΓ + ΛΓ′ , разностиΛΓ − ΛΓ′ и произведения ΛΓ ΛΓ′ двух проекционных операторов ΛΓ и ΛΓ′являются снова проекционными операторами. На какие многообразия онипроектируют?Задача 6.11^ с множеством { } собственных значений постройтеДля оператора ^ такой, что он проектирует компоненты на невыпроекционный оператор Λрожденной базисный вектор |⟩.Решение.^ =Λ∏︁ ^ − .

− (6.127)(̸=)6.12 Операторы наблюдаемыхТеперь мы в состоянии построить оператор, который будет символизировать процедуру измерения динамической переменной . Пусть состояние|⟩ имеет определённое значение этой переменной (в то же время ономожет быть охарактеризовано определёнными значениями других величин).Пусть Λ(′ ) — оператор проектирования на подпространство состояний,где имеет данное значение ′ ,^ ′ )|⟩ = |⟩(′ , ),Λ((6.128)проекция вектора |⟩ является полным вектором, если совпадает с требуемым значением ′ , и эта проекция исчезает, если ̸= ′ .

Характеристики

Список файлов книги