1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 25
Текст из файла (страница 25)
5.13). Угол конуса прецессии фиксируетсявместе с проекцией ℓ . Поперечные компоненты усредняются и равны нулю,⟨ℓ ⟩ = ⟨ℓ ⟩ = 0, но их среднеквадратичные флуктуации не исчезают:⟨ℓ2 ⟩ = ⟨ℓ2 ⟩ =]︁ 11 [︁ ⃗2⟨ℓ ⟩ − ⟨ℓ2 ⟩ = [ℓ(ℓ + 1) − 2 ] > 0.22(5.91)Здесь мы забежали вперёд, определив среднее по возможным направлениям,которое обсуждали ранее, с квантово-механическим средним значением.Позже мы рассмотрим алгебру угловых моментов более подробно и строговыведем свойства, которые обсуждаются здесь только в упрощенной форме.Если сделать формальный предельный переход ~ → 0, то соотношения неопределённости перестают накладывать какие-либо ограниченияна наблюдаемые величины.
Останавливается расползание волнового пакета (5.26), и все физические величины могут иметь определённые значения одновременно. Как мы уже упоминали, постоянная Планка простопредоставляет числовую шкалу для проявления основанных на симметрииквантовых законов. Если эта шкала намного меньше, чем та, которая используется для физических измерений, то квантовые неопределённостистановятся несущественными. Для углового момента этот предел можетбыть достигнут следующим образом: нужно уйти в сторону больших (макроскопических) квантовых чисел, ℓ → ∞ , когда ℓ(ℓ + 1) ≈ ℓ2 = (ℓ2 )m .В этом случае восстанавливается классическое понятие ориентации вдольвыбранного направления.
Затем мы полагаем ~ → 0 таким образом, чтовеличина углового момента ~ℓ остаётся конечной. Спин частицы не имеет5.11 Ещё раз о пространственном квантовании165макроскопического предела, а вектор спина ~s величины ~/2s2 = ( + 1) =34(5.92)исчезает в классическом пределе. Однако он проявляется, например, приферромагнетизме, когда в конкретном направлении выстаивается макроскопически значимое число спинов.В заключение этой главы, необходимо подчеркнуть, что квантовая теория основана на существовании дополнительных физических величин икомплементарных типов экспериментов.
Эта комплементарность, в своюочередь, отражает специфические свойства симметрии наблюдаемых величин. Комплементарные эксперименты можно рассматривать как различныепроекции одного и того же состояния микрообъекта на различные физические ситуации. В некотором смысле это аналог различных систем отсчётав теории относительности, только вместо преобразования Лоренца естьправила преобразования квантовых амплитуд между различными типамиизмерений.
Но интерпретация результатов является вероятностной, так чтополная волновая функция может быть изучена только в серии экспериментов, проводимых в одинаковых условиях. Соотношения неопределённости —это численное выражение принципа дополнительности, т. е. взаимосвязифундаментальных симметрий на квантовом уровне.Дополнительная литература: [15–19].Квантовые явления происходят нев гильбертовом пространстве, онипроисходят в лаборатории.Цитата приписывается Ашеру Пересу,«Physics Today», Август 2005, с. 66.Глава 6Гильбертовo пространствo и операторы6.1 Амплитуда вероятностиПознакомившись с квантовыми идеями в наших вступительных лекциях,мы можем попытаться взглянуть на квантовую теорию с более общей точкизрения.
Некоторые темы нами уже рассматривались. Здесь мы обсудим ихв более формальном подходе, введя практическую математику квантовойтеории.Вопрос, на который должна ответить теория, может быть сформулирован в терминах вероятностей результатов различных экспериментов. Пустьв момент времени 0 приготовлено квантовое состояние Ψ (как всегда,мы называем «состоянием» квантовую систему в её невозмущённой эволюции) с определёнными значениями (совместимых) переменных .
Мыинтересуемся вероятностью (, ; , 0 ) измерения в момент времени определённых значений переменных (также взаимно совместимых и,вообще говоря, отличных от ). Если переменные множества имеютнепрерывный спектр возможных значений, мы должны говорить о плотности вероятности () различных значений , так что вероятностьнахождения в интервале от до + равна (). Для простотымы будем использовать обозначения для дискретного спектра, хотя расширение на непрерывный спектр не представляет труда. Как правило, можнорассматривать только дискретный спектр, выполняя предельный переходк континууму в конце; часто это будет предполагаться в дальнейшем бездополнительных пояснений.Искомая вероятность является действительной неотрицательной величиной, которая может быть представлена комплексной амплитудой вероятности ⟨, |, 0 ⟩, (, ; , 0 ) = |⟨, |, 0 ⟩|2 .(6.1)168Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыПолная фаза амплитуды не влияет на экспериментально наблюдаемыевеличины.
Определение (6.1) следует читать справа налево: состояние,первоначально характеризуемое набором , изменяется со временем в соответствии с квантовыми законами, затем подлежит измерению распределение переменных . Амплитуда, которая появляется в уравнении (6.1),будет называться амплитудой вероятности состояния в -представлении.Выбор представления зависит от нашей цели (т. е. выбора представляющих интерес величин и соответствующей экспериментальной установки).Амплитуда ⟨|⟩ (временны́е аргументы могут быть опущены, если времяне важно) является аналогом классической амплитуды волны.Каждое измерение будет давать в результате некоторое число.
Приповторении измерений в одинаковых условиях мы получаем распределениевероятности. Было бы естественно попытаться нормировать вероятности(6.1) таким образом, чтобы их сумма (интеграл в случае сплошного спектра)по всем возможным значениям была равна 1,∑︁ (, ; , 0 ) = 1.(6.2)Если эта сумма (интеграл) сходится, мы всегда можем получить нормировку(6.2) путём умножения всех амплитуд на численный множитель, которыйне зависит от . В случае возникновения расходимости амплитуды ненормируются, но относительные вероятности различных значений попрежнему имеют смысл.6.2 Суперпозиция и интерференцияРассмотрим вероятность события, которое может произойти в результатеперехода системы через ряд независимых неперекрывающихся промежуточных состояний (может быть получено разными путями). Классическийподход состоял бы в следующем.
Пусть — выпускник средней школы.Мы интересуемся вероятностью успешного получения, им или ей, степенибакалавра после окончания колледжа . Тогда очевидно, что∑︁ (; ) = (; ) (; ),(6.3)где (; ) есть вероятность поступления в колледж , а (; ) является вероятностью получения степени по окончании этого колледжа. Этоклассическое сложение и умножение вероятностей.6.2 Суперпозиция и интерференция169C10BC2AРис. 6.1: Схема интерферометра с расщеплённым лучомВ квантовой механике классическое правило (6.3) неверно. Возьмём, кпримеру, устройство типа фотонного интерферометра (рис. 6.1). Пусть — доля интенсивности, отражённая от центральной пластины и —коэффициент прохождения. Тогда мы имеем (1 ; ) = , (; 1 ) = , (2 ; ) = , (; 2 ) = , (6.4)и полная вероятность достижения точки есть, в соответствии с уравнением (6.3), (; ) = 2(6.5)независимо от разности хода лучей.
Очевидно, что правило (6.3) не учитывает разности фаз, зависящей от длины пути лучей, и, следовательно, невключает эффектов интерференции. Относительную фазу расщеплённыхпучков не следует путать с общей фазой амплитуды ⟨|⟩, которая в самомделе не имеет значения.Задача 6.1Получите правильный волновой результат[︂(︂)︂]︂ (; ) = 2 1 + cos,~(6.6)где /~ — частота фотона и — разница длин пути через 1 и 2 .
Следуетотметить, что при определённых условиях эта вероятность может бытьвдвое больше, чем классический результат (6.5); однако она может также170Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыAαβC1BC2Рис. 6.2: Иллюстрация принципа суперпозиции с помощью простого экспериментас поляризатором A и анализатором Bобращаться в нуль. Это схематическое изображение интерференционного компаратора, который позволяет измерять расстояния при известнойчастоте света.На квантовом языке падающий пучок в этом примере соответствуетсостоянию фотона с определённым (по величине и направлению) векторомимпульса.
После того как луч был разделён, фотонное состояние сохраняетвеличину импульса и энергию, хотя и не сохраняет направление (макроскопическое устройство поглощает импульс отдачи, и мы пренебрегаемэнергией отдачи (см. раздел 5.9)). Так как общая система фотона и интерферометра является замкнутой, у нас по-прежнему есть состояниесистемы в том смысле, о котором мы говорили в начале этого раздела.Однако теперь это состояние представляет собой суперпозицию состояний,соответствующих двум определённым направлениям распространения. Если бы дополнительный детектор был включён в плечи интерферометра,можно было бы поймать фотон в одном из них, но никогда это не былобы «частью» фотона.
Тем не менее, подобно тому, что мы видели в эксперименте с двумя щелями в разделе 5.2, это дополнительное измерениеполностью нарушило бы интерференцию двух компонент путём фиксацииодной из возможностей.Таким образом, выполняется принцип суперпозиции: состояние, являющееся членом одного набора состояний, можно рассматривать как суперпозицию состояний из другого набора. И наоборот, любая суперпозицияснова является одним из возможных состояний системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
