1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Это следует из определения стационарных состояний,которые используются в качестве базиса в уравнении (3.34). Вследствиеоднородной зависимости от времени смещение начала отсчёта времени несущественно для распространения. Существенно, однако, что для свободногодвижения пропагатор (5.28) зависит только от разности и пространственных координат = − ′ , а не от и ′ по отдельности.
Это согласуетсясо смыслом импульса как генератора трансляций (раздел 4.5): свободноедвижение инвариантно относительно сдвига начала отсчёта координат.Задача 5.8Выведите явное выражение для пропагатора в одномерном и трёхмерномслучаях свободного движения.Решение.Для одномерного движения с () = 2 /2√︂2′ ′(/~) /2 ,(, ; , ) ≡ (, ) =2~ = − ′(5.29)а в трёхмерном случае⃗ ) =(,(︁ )︁3/2⃗2(/~) /2 ,2~⃗ = r − r′ .(5.30)В соответствии с уравнением (5.29) за время исходная функция (3.36)расплывается на расстояние , 2 ∼ ~ /; на больших расстояниях экспонента в пропагаторе начинает быстро осциллировать и даёт пренебрежимо140Глава 5 Соотношения неопределённостеймалый вклад в волновую функцию (3.38). Это согласуется с нашей простойоценкой (5.26).Задача 5.9Найдите функцию Грина в импульсном представлении, (p, ; p′ , ′ ),для свободного движения.Решение.Взяв импульсы и ′ в качестве независимых переменных в определении (3.37), мы используем полный набор «локализованных» импульсныхфункций Φ0 () (4.42) и получаем∫︁0′′ ′(, ; , ) =2~ ( − 0 )2~ (′ − 0 )(/~)(0 )(− ) =2~(5.31)′ (/~)()= 2~ ( − ).Это явно демонстрирует сохранение импульса при свободном движениис произвольным законом дисперсии ().
Трёхмерное обобщение тривиально.5.5 Расплывание волнового пакета141Задача 5.10Для свободно движущегося гауссовcкого волнового пакета, описываемогоначальной волновой функцией2 /(4 2 )Ψ(, = 0) = (/~)0 −(−0 ),(5.32)найдите волновую функцию Ψ(, > 0) и средние значения ⟨⟩, ⟨⟩, ⟨2 ⟩ и⟨2 ⟩ как функции времени.Решение.Нормированное распределение вероятности в начальный момент, =(2 2 )−1/4 , является гауссовым (3.20),|Ψ(, = 0)|2 = (; 0 , ).(5.33)Используя функцию Грина для свободного движения (5.30) и интегрируясогласно уравнению (3.38) (гауссовы интегралы вычисляются выделениемполного квадрата в экспоненте), мы получаемΨ(, ) =11√︀− (,) ,1/42(2 )1 + (~)/(2 2 )(5.34)где (, ) =2 2 ~2 ( − 0 /)2 + ~3 2 + 4~ 4 0 [2 − (0 /)]. (5.35)2~2 (4 4 + ~2 2 /2 )Гауссовый пакет сохраняет гауссову форму.
Распределение вероятностив любое время даётся выражением|Ψ(, )|2 = (; 0 (), ()),(5.36)центр пакета равномерно движется с классической скоростью,⟨⟩ = 0 () =0,(5.37)а среднеквадратичное отклонение, 2 () = [Δ()]2 = ⟨2 ⟩ − ⟨⟩2 = 2 +~2 2,2 2(5.38)возрастает в соответствии с оценкой (5.27). Начальная ширина и расплывание складываются квадратично. Импульсная функция распределения142Глава 5 Соотношения неопределённостейтакже гауссова,|Φ(, )|2 = (; 0 , ),(5.39)но её центр тяжести и ширина не меняются со временем, как и ожидалосьвследствие сохранения импульса,⟨⟩ = 0 ,(5.40)~2.4 2Произведение неопределённостей растёт со временем,√︂~~2 2.(Δ) · (Δ) =1+242 42 = [Δ]2 = ⟨( − 0 )2 ⟩ =(5.41)(5.42)Обратите внимание, что наименьшее его значение (при = 0) равно(︁(Δ) · (Δ))︁min=~.2(5.43)5.6 Оценки по соотношению неопределённостейПринцип неопределённости несёт не только отрицательное содержание,устанавливая предел классической картины объекта, который имел бы одновременно определённое положение и определённую скорость.
Мы можемиспользовать этот принцип, чтобы получить положительную информациюо многих квантовых явлениях.Например, рассмотрим движение в притягивающем одномерном потенциале (), имеющем минимум (классическое положение равновесия) в точке = 0. Если мы приблизительно знаем размер области финитного движения вокруг минимума, то мы можем оценить неопределённость импульсакак Δ ∼ ~/. Это соответствует минимальному значению в соотношениинеопределённостей. В связанном состоянии средний импульс ⟨⟩ долженбыть равен нулю, поскольку нет предпочтительного направления (классически это было бы справедливо после усреднения по периоду финитногодвижения).
Мы всегда будем определять, как в формуле (5.38) задачи 5.10,неопределённость Δ величины как среднеквадратичное отклонение5.6 Оценки по соотношению неопределённостей143E–UРис. 5.7: Локализация волновой функции в мелкой ямеот её среднего значения ⟨⟩,(Δ)2 = ⟨( − ⟨⟩)2 ⟩ = ⟨2 − 2⟨⟩ + ⟨⟩2 ⟩ = ⟨2 ⟩ − ⟨⟩2 .(5.44)Здесь мы ограничимся только грубыми качественными оценками. Полнаяэнергия связанного состояния должна быть отрицательной, если значение потенциала на бесконечности берётся равным нулю (начало отсчётаэнергии). Кинетическая энергия даёт положительный вклад⟨⟩ =⟨2 ⟩( )2~2=∼.2222(5.45)Мы ожидаем, что эта оценка может работать для основного состояния;в возбуждённых состояниях кинетическая энергия может быть больше.С помощью уравнения (5.45) можно прийти к заключению, что любойпритягивающий одномерный потенциал, стремящийся к нулю с обеих сторон (рис. 5.7), имеет по крайней мере одно связанное состояние (вспомнитезадачу 3.6).
Чтобы прийти к этому заключению, мы должны понять, чторазмер локализации в общем случае не совпадает с размером потенциальной ямы. Если уровень слабо связан, то глубина проникновения вклассически запрещённую область велика, так что волновая функция выходит за пределы ямы (гало, раздел 3.5). Результирующая величина должнаопределяться самосогласованно из минимума полной энергии. Среднее значение потенциальной энергии не совпадает с типичной глубиной ямы 0 —её следует умножить на вероятность того, что частица находится в яме.
Этувероятность можно оценить как отношение /, если полный размер связанного состояния > . Таким образом, полную энергию можно оценитькак() = ⟨() + ()⟩ ≈~2+ (−0 ).22(5.46)144Глава 5 Соотношения неопределённостейU=mgxE0xРис. 5.8: Эффективный потенциал для задачи 5.11Теперь мы можем минимизировать выражение (5.46) по отношениюк неизвестной длине локализации .
Ноль производной / определяет=~2≡ ,0=(~2 /2 ).0(5.47)Безразмерный параметр (мы встретим этот параметр в других ситуацияхпозже) даёт отношение кинетической энергии, какой она была бы длячастицы, локализованной внутри ямы размера , к потенциальной энергии(тоже внутри ямы). Если яма мелкая или потенциал слишком слабый, ≫ 1, тогда ≫ и частица находится в основном вне ямы. Минимальноезначение энергии,() = −02 02=− ,2~22(5.48)отрицательно и мало, || ≪ 0 . Таким образом, связанное состояние впритягивающем потенциале с симметричными значениями на ±∞ всегдасуществует, но может быть очень слабо связанным в мелкой яме.
Это согласуется с результатом (3.49) точно решаемой задачи 3.4, а параметр (3.49) —это = 1/. В задаче 3.6 мы видели, что в асимметричной яме не обязательно существует связанное состояние.Задача 5.11Рассмотрите частицу массы в гравитационном поле Земли (вблизи поверхности, которая рассматривается как непроницаемая плоскость),(рис. 5.8).5.6 Оценки по соотношению неопределённостей145а) Используя соотношение неопределённостей, оцените энергию и среднюювысоту над Землёй для основного состояния частицы. Дайте численныеоценки для нейтрона.б) Для электрона нужно также учесть электростатические эффекты.
Предположив, что Земля — это идеальный проводник, оцените среднюю высоту электрона в основном состоянии над Землёй.146Глава 5 Соотношения неопределённостейРешение.а) Энергия частицы в гравитационном поле может быть записана как⟨ 2⟩{︂^∞, 6 0,=+ () , () =(5.49), > 0.2По соотношению неопределённости квантовая частица не может упастьна Землю; вместо этого она должна парить над поверхностью. Еслисредняя высота в основном состоянии ∼ , то типичная величина вертикального импульса ~/ и среднее значение энергии может быть оцененокак() =~2+ .22(5.50)Эта функция имеет минимум при(︂=~22 )︂1/3.(5.51)Соответствующая энергия равна3 = ( 2 ~2 )1/3 .2(5.52)Правило квантования Бора — Зоммерфельда дало бы подобный результат с несколько большим численным коэффициентом ≈ 1.8 вместо1.5 в уравнении (5.52).
Согласно (5.50) и (5.51) ≈ (2/3)(/), т. е.меньше, чем классическая точка поворота /; частица локализованавнутри ямы. Средняя высота (5.51) убывает для тяжёлых частиц как∼ −2/3 . Для нейтрона мы получаем высоту ≈ 7 м почти макроскопического масштаба (недавно это расстояние было измерено в связис поиском электрического дипольного момента нейтрона).б) Для электрона высота (5.51) была бы в 150 раз больше, ∼ 1 мм. Однако для электрона предыдущее рассмотрение неверно, поскольку оно неучитывает гораздо большей силы электростатического изображения.Для ∼ 1 мм эта сила, 2 /(2)2 , на 7 порядков больше гравитационной, . Игнорируя гравитационную силу и повторяя ту же оценкус минимизацией, что и в части а, для одномерного электростатического5.6 Оценки по соотношению неопределённостей147притяжения,=^22−,2 2(5.53)мы получаем, как и следовало ожидать, длину, близкую к боровскомурадиусу ,=~21= .222(5.54)Задача 5.12Используя соотношение неопределённостей, оцените энергию основногосостояния и размер локализации дляа) потенциала гармонического осциллятора, () =1 2 2 ;2(5.55)б) крутого ангармонического потенциала, () = 2 , = 2, 3, .
. . ;(5.56)в) водородоподобного атома с зарядом ядра .Решение.а) Для гармонического осциллятора√︂~ ≈ ~, ≈.(5.57)б) В ангармоническом случае(︂∼~2 )︂1/(+1)(︂,∼~2)︂1/(2+2).(5.58)При = 1 этот результат совпадает с (5.57).в) Для водородоподобного атома оценка случайно даёт точный результат=− 2 4,2~2 = (радиус Бора).(5.59)148Глава 5 Соотношения неопределённостейЗадача 5.13Рассмотрите атом с ядром заряда и двумя электронами с противоположными проекциями спина, но одинаковыми орбитальными волновымифункциями (в случае одинаковых проекций спина Принцип исключенияПаули (главы IV.5 и IV.8) не позволил бы электронам занять одну и ту жеорбиту).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
