1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Общее решение позади экрана даётсясуперпозицией:(︁ √)︁∫︁ ∞ + 2 − 2 ()(, ) =.(5.10)−∞ 2Мы не можем сделать компоненту волнового вектора вдоль оси мнимой,поскольку тогда мы снова получим волну, растущую в одном из направлений вдоль экрана.Амплитуды () определяются граничными условиями на щели = 0.Предположим, что падающая волна коллимируется на экране и имеет тамединичную амплитуду:∫︁1=() , − 6 6 .(5.11)222Обратное Фурье-преобразование даёт∫︁/2() =−/2 − =2 sin(/2).(5.12)5.2 Простые примеры129Решение позади щелей имеет вид∫︁∫︁ sin(/2) [+√2 −2 ] −√2 −2 (, ) =+. (5.13)||< ||> Первый интеграл содержит волны, распространяющиеся под углом к оси, и в самом деле приводит к неравенству Δ Δ 6 , так как распределение вероятности |()|2 отбирает ∼ 1.
Однако для малых (по сравнению с длиной волны, ≪ 1) второй интеграл по-прежнемуважен в случае ∼ 1/ ≫ . Это означает, что затухающие волны с|| > являются существенными, а аргумент, что Δ < , является неправильным. Для Δ ∼ 1/ мы возвращаемся к стандартному соотношениюнеопределённостей (5.8). Математически строгое решение для узкой щели, ≪ 1, даёт, как было уже давно известно Рэлею, по существу тотже самый результат с заменой sin(/2) в амплитудах (5.12) на функцииБесселя 1 (/2) с аналогичными свойствами.Попробуем быть более изобретательными, вернувшись к экспериментус двумя щелями. Рассмотрим частицу с электрическим зарядом . Пустьугол дифракции (задача 5.1), определяемый отношением ∼ / длиныволны к размеру щели, мал.
Установим за щелями (рис. 5.5) две узкие (нопокрывающие угол ) металлические трубки 1 и 2 достаточной длины,чтобы вместить весь дифрагирующий волновой пакет. Трубки, однако,должны быть короче, чем расстояние, на котором идущие через щелилучи пересекаются геометрически. В таких условиях существует временнойинтервал Δ, когда волновой пакет, если он проходит через определённуютрубку, содержится полностью внутри неё. Теперь приложим напряжение к трубке 1 в течение промежутка времени < Δ. Переходными процессами можно пренебречь, если напряжение включается и выключаетсясравнительно медленно. Частицы, движущиеся внутри металлических трубок, перемещаются только в области с нулевым электрическим полем.Единственным эффектом временно приложенного напряжения являетсяувеличение энергии (или увеличение частоты /~) для всех монохроматических компонент волнового пакета в трубке 1 .
За время волна в 1приобретёт дополнительную фазу /~. Если фазовый сдвиг не кратен2, интерференционная картина на экране получит видимое смещение,которое может управляться изменением .Первый вывод, который можно сделать: ситуация несколько отличаетсяот классического электромагнетизма. Не только поле, но и потенциализменяет результат эксперимента. Это означает, что в квантовой меха-130Глава 5 Соотношения неопределённостейT1IeTo screeneT2IIx 1e'1/20Рис. 5.5: Модифицированный эксперимент с двумя щеляминике электромагнитные потенциалы играют роль отличную от таковойв классической физике, они становятся наблюдаемыми, если различныечасти волновой функции приобретают различные фазы. Аналогичные рассуждения верны также и для векторного потенциала.
Наблюдаемостьпотенциалов через разность фаз компонент волновой функции на самомделе необходима для согласия с соотношением неопределённостей. С другойстороны, эти особенности квантового мира имеют большое практическоезначение для многих приложений, в том числе в макроскопической физике(глава 13).Теперь мы можем попытаться использовать схему, показанную на рис.
5.5,чтобы преодолеть соотношение неопределённости. К одной из металлических труб приложено дополнительное напряжение. Зафиксируем пробныйзаряд ′ точно в середине конденсатора, = /2, с тем, чтобы не создаватьразность потенциалов между трубками 1 и 2 .
Мы позволим заряду ′двигаться в течение интервала в тот момент, когда заряд находитсявнутри трубок. Идея заключается в использовании направления ускорениязаряда в качестве индикатора трубки, в которой распространяется волна. Эта идея не работает только из-за соотношения неопределённостей —устройство уничтожает интерференцию.Задача 5.2Показать, что этот эксперимент разрушает интерференционную картину.Решение.5.3 Дополнительность и вероятность131Напряжение на обкладках конденсатора при прохождении волновогопакета с зарядом равно = /, где — полная ёмкость конденсатораи трубок, а знак должен решить проблему выбора между трубками.Электрическое поле ℰ ∼ / ∼ /, появляющееся внутри конденсатора,сообщает пробному заряду импульс ∼ ′ ℰ ∼ ′ /.
Для того чтобыизмерить этот импульс, его неопределённость должна быть мала, Δ < .Это увеличивает неопределённость положения заряда — Δ ≃ ~/Δ ∼~/′ . С другой стороны, смещение Δ заряда от среднего положениясоздаёт дополнительное напряжениеΔ ∼′ Δ′ ~~∼=.′ (5.14)Это приводит к дополнительному сдвигу фазы между трубками:Δ ∼ Δ∼ 1 радиан,~(5.15)которое размывает интерференционную картину.5.3 Дополнительность и вероятностьКорпускулярно-волновой дуализм и соотношения неопределённостейзаставляют формулировать задачу в квантовой механике иначе, чем в механике классической. Назовём состоянием системы любую её невозмущённуювременную эволюцию после начального приготовления (инициализации).В классическом случае движение определяется набором координат и скоростей (или импульсов), даже если число степеней свободы бесконечновелико (классическое поле).
Динамические переменные в классическомфазовом пространстве координат и импульсов также могут быть предоставлены с помощью функций распределения вероятности. В этом случаемы будем иметь дело с классическим ансамблем систем, где каждый участник ансамбля воплощает одну реализацию возможного набора переменных.В принципе, в любой копии классического ансамбля возможен непрерывныймониторинг изменений переменных — это основополагающий принцип, лежащий в основе классической теории. Мы можем надеяться на улучшениеэкспериментальной установки таким образом, что её влияние на системув процессе измерения станeт меньше, чем любой заданный наперёд предел.В этом случае мы можем определить переменные системы в любой момент132Глава 5 Соотношения неопределённостейс любой желаемой точностью с незначительными искажениями, вносимымиизмерением.Атомная структура материи и квантование излучения вносят серьёзныеизменения в описание динамики процессов.
Некоторые величины являютсядискретными по своей природе и не могут быть бесконечно делимыми.Измерительная аппаратура, присутствие которой необходимо, посколькуатом может быть изучён только во взаимодействии с ним, также состоитиз атомов (даже если их число астрономически велико), и её воздействие наисследуемый объект не может быть меньше некоторого предела, которыйможет зависеть от характера эксперимента. Нижний предел возмущенияявляется неизбежной особенностью атомного или квантового мира и неможет быть преодолён искусством экспериментатора.Теперь ясно, что некоторые виды экспериментов могут быть взаимнонесовместимыми.
Если мы говорим, что переменная имеет в моментвремени подтверждённое экспериментом определённое значение , то этоозначает, что измерение этой величины превратило начальное невозмущённое состояние в состояние с определённым значением . Такое действие,которое должно быть сильнее, чем вышеупомянутый нижний предел, может лишить нас возможности однозначно предсказать результат измеренияна близкий момент времени другой физической величины .
Мы можемсказать иначе: в (том, что осталось после первого измерения) состояниис определённым значением переменной переменная может не иметьопределённого значения. Состояния с одновременно определёнными величинами и , возможно, не существует, иными словами, для некоторыхпар и такие состояния не могут быть физически реализованы.Наше соотношение неопределённостей (5.8) демонстрирует именно это,показывая конкретный пример пары переменных, которые не могут иметьопределённые значения в любом физическом состоянии. Эта несовместимость означает, что природа не даёт ответа на вопрос, сформулированныйна повседневном языке, который оказывается недостаточным и не применимым к физической реальности на микроскопическом уровне.
Еслиоператоры соответствуют измерению физических величин, то соотношениенеопределённости указывает, что результат зависит от порядка измерений.Только имея дело с макроскопическими телами и процессами, где действиенесравненно больше, чем квант действия ~, можно пренебречь различиямина уровне ~ и вернуться к классической «реальности». Далее в главе 14мы увидим, что даже на макроскопических масштабах можно наблюдатьквантовые эффекты, приводящие к макроскопической когерентности.5.3 Дополнительность и вероятность133Держа в уме существование квантовой неопределённости, необходимоизменить формулировку динамической задачи. Состояние может быть определено набором одновременно совместимых величин , скажем, в моментвремени 0 . Измеряя в момент времени > 0 величину , мы не можемгарантировать, что результат будет уникальным.
В серии экспериментовпри одинаковых условиях в общем случае мы получаем распределениерезультатов. Каждое измерение даёт величину , которая принадлежитк спектру возможных значений этой величины, причём спектр можетбыть как дискретным, так и непрерывным. В долгой серии одинаковыхизмерений будут проявляться статистические закономерности, и мы сможем оценить вероятность того или иного результата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
