1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Позже мы обсудимболее общие алгебраические и физические значения матричных элементов — они определяют амплитуды перехода между состояниями Ψ′ и Ψ. Вследующей таблице мы подводим итоги наших изысканий для операторовкоординаты и импульса:ПредставлениеКоординатаИмпульсОператор координаты~ (/)Оператор импульса−~ (/)4.3 КоммутаторыАналогично кинетической энергии (4.20) для любой функции координат () или импульса () можно получить оператор умножения в собственном106Глава 4 Динамические переменныепредставлении, в то время как в сопряжённых представлениях () ⇒ ^ = (~ /),() ⇒ ^ = (−~ /).(4.24)Однако такое соответствие между классическими динамическими переменными и квантовыми операторами не всегда однозначно.
Например, вкачестве оператора произведения координаты и импульса можно взять или^^, или ^^, но это даёт разные результаты:^^Ψ = −~ Ψ,^^Ψ = −~(Ψ).(4.25)В таких случаях важен порядок следования соответствующих операторов.^ являются некоммутирующими, если результат их дейОператоры ^ и ствия зависит от порядка, иначе же операторы коммутируют. Оператор,соответствующий такой разнице, называется коммутатором:^ ]^ ≡ ^^ −^ ^ = −[,^ ].^[,(4.26)В частности,{︂Ψ (Ψ)[^, ^]Ψ = −~ −}︂= ~Ψ,(4.27)т. е. коммутатор координатного и импульсного оператора — это мнимаяконстанта (естественно, не зависящая от представления):[^, ^] = ~.(4.28)Обобщение на многомерный случай с множеством координат и соответствующих им сопряжённых импульсов делается непосредственно: вкоординатном представлении оператор импульса — это многомерный градиент:^ = −~∇p(4.29)[^ , ^ ] = ~ .(4.30)иКоординатные (или импульсные) операторы, соответствующие разнымстепеням свободы, всегда коммутируют.4.3 Коммутаторы107Задача 4.3Докажите следующие тождества:^ ^ ]^ = [,^ ]^ ^ + [^ ,^ ]^[,(4.31)^ [,^ ]]^ + [,^ [,^ ]]^ + [,^ [,^ ]]^ =0[,(4.32)и(Тождество Якоби).
Важно соблюдать цикличность перестановки операторов.108Глава 4 Динамические переменныеЗадача 4.4Доказать[^, (^)] = ~,^[^, (^)] = −~.^(4.33)Задача 4.5а) Введите безразмерный оператор орбитального момента или моментаимпульса (в единицах ~) для случая трёхмерного движения как⃗ℓ^ = 1 [^r × p^ ] = −[^r × ∇]~(4.34)и докажите, что коммутаторы его декартовых координат ℓ^ с ^ — координатами радиус-вектора ^r, с ^ — координатами вектора импульса идруг с другом равны:[ℓ^ , ^ ] = ^ ,(4.35)[ℓ^ , ^ ] = ^ ,(4.36)[ℓ^ , ℓ^ ] = ℓ^ .(4.37)Здесь и далее в схожих случаях по умолчанию предполагается суммирование по повторяющимся индексам. — абсолютно антисимметричныйтензор третьего ранга.
Он меняет знак при перестановке любых двухиндексов. Свойства : = = = − = − = − = 1.(4.38)Также докажите следующие свойства свёрток этого тензора: = − , = 2 , = 6.(4.39)Схожий характер коммутаторов (4.35–4.37) имеет глубокий геометрический смысл (II том глава 1). Результат будет тем же и для коммутатора[ℓ^ , ^ ] = ^(4.40)^ и фактически может служитьс любым пространственным вектором vопределением векторного оператора.4.4 Собственные функции и собственные значения109б) Покажите, что для любых двух векторов v^иu^ оператор орбитальногомомента коммутирует со скалярным произведением (^v·u^ ) = ^ ^ ++ ^ ^ + ^ ^ . Позже мы увидим, что этот факт отражает инвариантность скалярного произведения относительно вращения, так как орбитальный момент, как и в классической механике, связан со вращением(раздел 4.7).4.4 Собственные функции и собственные значенияДля любого оператора физической величины мы можем найти специальные состояния, где эти величины имеют определённые значения.
Волноваяфункция состояния с фиксированным значением 0 координаты (локализованное состояние) в координатном представлении равнаΨ0 () = ( − 0 ).(4.41)Любые другие состояния Ψ() описываются размытым распределениемкоординат с вероятностью |Ψ()|2 . Аналогично волновая функция с определённым значением импульса 0 в импульсном представлении имеет видΦ0 () = 2~ ( − 0 ),(4.42)где дополнительный множитель взят для правильной нормировки, хотяв данном случае это особого значения не имеет.
Индексы 0 и 0 здесьозначают квантовое число состояния, в то время как и — это переменные. Мы можем охарактеризовать те же состояния в сопряжённыхпредставлениях:∫︁Φ0 () = −(/~) ( − 0 ) = −(/~)0 ,(4.43)∫︁Ψ0 () = (/~)2~ ( − 0 ) = (/~)0 .2~(4.44)Очевидно, что в последнем случае координатная волновая функция — этоплоская волна с импульсом 0 .Обратим внимание на два обстоятельства. Во-первых, состояние (4.41) сфиксированной координатой частицы имеет импульсную функцию вероятности |Φ0 ()|2 = 1, распределённую однородно по всему импульсномупространству.
Значение импульса абсолютно не определено, соответственно,при измерении импульса можно получить любое его значение с одинаковой110Глава 4 Динамические переменныевероятностью. Аналогично состояние (4.42) с фиксированным импульсомили плоская волна, распределённая по всему координатному пространству,имеет абсолютно неопределённую координату, так как |Ψ0 ()|2 = 1. Этояркий пример соотношения неопределённостей, которое будет подробнообсуждаться в главе 5.
Конечно, эти состояния являются предельнымислучаями, не существующими в реальных физических ситуациях.Во-вторых, мы можем заметить, что все эти состояния имеют специальные математические свойства, т. е. они не меняются при действиисоответствующих операторов. Для координатно локализованного состояния (4.35)^( − 0 ) = ( − 0 ) = 0 ( − 0 ),(4.45)где второе равенство следует из определения дельта-функции как интегрального оператора, который вырезает только конкретную точку в областиинтегрирования. Аналогичное свойство верно и для импульсного представления (4.42):^Φ0 () = ~Φ () = 0 Φ0 (). 0(4.46)Независимо от представления действие оператора на волновую функциюсостояния, где эта величина имеет конкретное значение, сводится к умножению волновой функции на это значение.
Такие состояния называютсясобственными состояниями данного оператора. Их волновые функции,соответственно, называются собственными функциями, а соответствующиезначения переменной — собственными значениями. Поэтому локализованные состояния — это собственные состояния оператора координаты, в товремя как плоская волна — это собственное состояние оператора импульса.В этих случаях средние значения величин — это просто их собственныезначения:∫︁∫︁ * Ψ*0 ()^Ψ0 () =Φ ()^Φ0 () = 0 .(4.47)2~ 04.5 Импульс как генератор сдвигаСуществует большая свобода в выборе системы координат. Мы можемперенести начало координат, повернуть оси, изменить масштаб и т.
д.Несмотря на то что такие преобразования могут выглядеть формальными,они важны по двум причинам. Во-первых, в новых координатах описание4.5 Импульс как генератор сдвигаx111x+aРис. 4.1: Смещение волновой функциифизической системы может оказаться более простым и более прозрачным.Второй и очень важный аспект состоит в том, что преобразования могутвыявить симметрии системы. Идея симметрии является одной из самыхважных в области теоретической физики и особенно в квантовой механике,где мы постоянно сталкиваемся с понятиями симметрии. Начнём с введенияпростейших преобразований, а именно со сдвига.Возьмём состояние, описываемое волновой функцией (), и сдвинемэтот квантовый объект на расстояние вдоль оси .
Обозначим оператор,^выполняющий это смещение, как ().Можно легко определить явныйвид этого оператора и найти его связь с операторами, введёнными ранее.Этот вывод будет прототипом для более сложных случаев.Геометрическая картинка смещения на рис. 4.1 означает, что волновойпакет просто сдвинулся без каких-либо искажений. Например, объект,локализованный ранее в точке = 0 , теперь будет локализован в точке = 0 + :() = ( − 0 )→ ′ () = ( − 0 − ),(4.48)т. е.
новая функция — это просто старая функция, взятая с аргументом( − ). Легко видеть, что это верно и для любой волновой функции: вточке после сдвига мы увидим то же значение функции, которое былодо сдвига в точке ( − ). Поэтому оператор сдвига действует следующимобразом:^()()= ′ () = ( − ).(4.49)Здесь мы можем использовать тот факт, что сдвиг зависит от непрерывного параметра , который может быть выбран бесконечно малым, → .Для любых непрерывных функций^()()= ( − ) ≈ () − ,(4.50)112Глава 4 Динамические переменныегде производная взята в точке начального положения.
Это означает, что:^()= 1 − (4.51)и это может быть выражено с помощью оператора импульса:^()= 1 − ^,~(4.52)Оператор, производящий бесконечно малое преобразование, называетсягенератором этого преобразования. Отсюда следует, что импульс — этогенератор сдвига, и этот факт может использоваться как основное определение импульса.Для того чтобы перейти к конечному сдвигу, мы делим полное расстояние на маленьких фрагментов длиной = / и делаем последовательных малых сдвигов, умножая раз генератор (4.52). В пределе → ∞(︂)︂ ^.1− →∞~^()= lim(4.53)Этот предел даёт экспоненту от оператора импульса:^()= −(/~)^ .(4.54)Другой способ получения этого результата — это использование ряда Тэйлора вместо функции (4.49):( − ) =∞∑︁(−) () = −(/) () = −(/~)^ ().
(4.55)! =0Важным элементом этих рассуждений является тот факт, что разные сдвиги содержат один и тот же оператор ^ и потому коммутируют. Обобщениедля трёхмерного случая очевидно:^(a)= −(/~) ^ −(/~) ^ −(/~) ^ = −(/~)(a·^p) ,(4.56)где мы можем объединить сдвиги вдоль , и , потому что сдвиги вдольразных осей генерируются разными компонентами импульса и, соответственно, коммутируют:[^ , ^ ] = 0.(4.57)4.6 Введение в теорию групп⋆113Среднее значение координаты для сдвинутого состояния, в соответствиис понятием сдвига, равно∫︁∫︁′*′⟨⟩′ = () () = * ( − )( − )∫︁(4.58)= ′ * (′ )(′ + )(′ ) = ⟨⟩ + ,где предполагается, что исходные функции () нормированы на 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
