1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3.6,где потенциал имеет одно и то же предельное значение с обеих сторон,всегда содержат по крайней мере одно связанное состояние. Рассмотримслучай потенциальной ямы с одной непроницаемой стенкой (рис. 3.8). Есливместо бесконечного барьера мы просто отразим в области < 0 барьер,существующий при > 0, то задача сведётся к предыдущему случаю,84Глава 3 Связанные состояния(a)U(b)0x–U(a)–U(b)Рис. 3.8: Потенциальная яма рядом с непроницаемой стенкойкогда связанное состояние всегда существует. Тем не менее бесконечнаястенка требует нулевого значения волновой функции (0) = 0 в начале координат.
С точки зрения удвоенной ямы это означает, что нужно отобратьтолько нечётные волновые функции. Основное связанное состояние в симметричной яме описывается чётной по отношению к середине функцией.Существует ли в этом случае нечётное связанное состояние, необходимо рассмотреть отдельно.
Оказывается, что такое связанное состояние существуеттолько для достаточно глубокой и широкой ямы (рис. 3.8).Внутри потенциальной ямы, 0 < < , решение является суперпозицией (3.46) и − , где — внутренний волновой вектор. Условие в началекоординат позволяет выбрать правильную нечётную комбинацию:() = sin(),0 < < .(3.64)За пределами потенциальной ямы, > , эта функция должна перейтив убывающую экспоненту − , где зависит от энергии связи (3.45).При гладкой сшивке логарифмическая производная ≡ ′ / также непрерывна.
Эта величина удобна, так как исключает величины неизвестныхамплитуд. В нашем случае < 0 cнаружи ямы. Тот же отрицательныйзнак требуется для собственной функции (3.64). Если < /2, то sin()по-прежнему растёт при = , > 0 и для связанного состояния сшивканевозможна. Увеличивая глубину или расширяя яму, мы увеличиваем .Критическим является случай = /2, когда наклон горизонтален. Кактолько будет выполнено условие > /2, тогда появится решение с отрицательным наклоном сначала с очень малым , энергией связи , близкой к3.5 Мелкая яма и квантовое гало85U1U2E=U2xРис. 3.9: Асимметричная потенциальная яманулю, и длинным хвостом в запрещённой области.
Когда яма углубляется,энергетический уровень тоже идёт вниз. Таким образом, первое связанноесостояние появляется при критической глубине:c =~2 2~22()=.c2282(3.65)С дальнейшим увеличением произведения 0 2 появится новый уровеньпри горизонтальном наклоне внутренней функции на границе.Задача 3.6Рассмотрите асимметричную потенциальную яму (рис. 3.9), где потенциал с левой и правой стороны имеет пределы 1 и 2 соответственно.При каких условиях в этой яме будет существовать связанное состояние?Решение.Если 1 > 2 , то условие существования имеет вид(︃√︂)︃ √︂−22 212tan−16.2~2(3.66)Для того чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно рассмотреть моментвозникновения решения с = 2 .
Решение всегда существует, если 1 = 2 .А если 1 ≫ 2 , то (3.66) совпадает с (3.65).Задача 3.7Электрон движется в потенциале, сформированном бесконечно высокойпотенциальной стенкой = 0. На конечном расстоянии от стенки находится притягивающая потенциальная яма глубиной и протяжённостью86Глава 3 Связанные состоянияUx0–Wab=a+cРис. 3.10: Иллюстрация к задаче 3.7от = до = > (рис. 3.10).
Докажите, что в этом потенциале невсегда есть связанное состояние. Объясните качественно, как изменениепараметров , и = − влияет на существование связанного состояния.Найдите расстояние , соответствующее первому появлению связанного˚состояния в яме, если = 0.25 эВ, а ширина ямы = − = 1 .Решение.Волновая функция связанного состояния с энергией связи имеет вид√︂2, 0 6 < ;(3.67)() = sinh(), =~2() = sin[( − )] + cos[( − )],√︂2( − )=, < < ;~2(3.68)() = −(−) ,(3.69) > .Выбор определяется условием (0) = 0, которое отбирает гиперболическийсинус, как правильную суперпозицию падающей и растущей экспонент.Волновая функция () должна убывать под барьером справа.
Внутри ямыв качестве решения можно выбрать суперпозицию двух бегущих волн ±или эквивалентную форму (3.68). Сдвиг фазы в (3.68) и (3.69) упрощаетпоследующие выражения.Четыре условия для сшивки приводят к системе четырёх однородныхлинейных уравнений для амплитуд , , и . Эта система может иметьнетривиальное решение только при выполнении дополнительного условия(определитель системы равен нулю). В этом случае проще всего исключить3.5 Мелкая яма и квантовое гало87коэффициенты один за другим. Условия записываются как sinh() = , cosh() = ; sin() + cos() = , cos() − sin() = −.(3.70)(3.71)Теперь выражаем и в терминах из (3.70) и подставляем в (3.71).Получаем, что[ cosh() sin() + sinh() cos()] = (3.72)[ cosh() cos() − sinh() sin()] = −.(3.73)иОтношение двух этих выражение даёт искомое условие= sinh() sin() − cosh() cos().
sinh() cos() + cosh() sin()(3.74)Нас интересует момент появления связанного состояния в потенциальнойяме. В этом случае и энергия связи , и стремятся к нулю и мы можемвоспользоваться разложениями cosh() ≈ 1 и sinh() ≈ . В этомпределе = (2/~2 )1/2 и (3.74) даёт:= sin() − cos(). cos() + sin()(3.75)Отсюда понятно, что уровень появляется в момент, когдаtan() =1.(3.76)С увеличением расстояния до стенки мы идём к пределу симметричнойпотенциальной ямы, которая всегда содержит связанное состояние (длябольших влияние отталкивающего потенциала непроницаемой стенки,требующей (0) = 0, уменьшается). Также шанс возникновения связанногосостояния увеличивается при увеличении глубины (рост ) и ширины (рост) ямы.
Следовательно, условие на существование связанного состоянияможно представить какtan() >1.(3.77)88Глава 3 Связанные состоянияU(x)E0axU0IIIIIIРис. 3.11: Прохождение волны над потенциальной ямойОтображая на графике обе части как функции , можно получить искомую область существования. Для мелких или узких ям, ≪ 1, условиеупрощается и выражение (3.77) можно записать как 2 =2 > 1.~2(3.78)С нашими численными значениями переход от (3.77) к (3.78) вполне обоснован, так как = 1/16, и чтобы возникло связанное состояние, нам нужна˚очень широкая яма, > 16 .3.6 РезонансыЗдесь мы обсудим прохождение волн над потенциальными ямами (рис. 3.11).Существование связанных состояний с отрицательной энергией влияет напрохождение волн с положительной энергией.
Решение аналогично решению задачи 2.4. Отличие волновых функций в яме по сравнению с (2.50)заключаетсяв том, что волновой вектор здесь является вещественным,√︀ ′ = 2( + 0 )/~2 . Результат для коэффициента прохождения можетбыть получен из (2.55) изменением знака 0 и заменой sinh() на sin( ′ ): () =4( + 0 ).4( + 0 ) + 02 sin2 ( ′ )(3.79)3.7 Плотность уровней89√︀В пределе низких энергий, → 0, ′ → 0 = 20 /~2 , коэффициентпрохождения, казалось бы, стремится к нулю пропорционально энергии: () ≈4.0 sin2 (0 )(3.80)Однако, если 0 = , где = 1, 2, ..., sin(0 ) = 0 и нам необходимовернуться к точному выражению (3.79).
Можно заметить, что при → 0и 0 = возникает абсолютное прохождение, () → 1. Более того,прохождение становится абсолютным всегда, когда выполняется условие ′ = 2 =22 2=− 02 .~22(3.81)Уровни энергии, удовлетворяющие условию (3.81), обычно называются резонансными. С эффективной длинной волны ′ = 2/ ′ резонансвозникает, когда 2 = ′ . Волна, идущая слева, отражаясь от правойграницы ямы, возвращается к левой границе, проходя дополнительныйпуть 2, но при этом имеет ту же фазу, что и падающая волна.
Отсутствиедеструктивной интерференции гарантирует абсолютное прохождение. Этоодномерный аналог эффекта Рамза́уэра — Таунсе́нда, аномально слабогорассеяния (резонансное прохождение) медленных электронов на атомахгаза при определённых энергиях.3.7 Плотность уровнейИз нашего опыта с потенциальным ящиком в разделе 3.1 можно извлечьполезную информацию для исследования систем многих тел.
Посмотримна уровни энергии частицы в трехмерном ящике (3.9). Они определяютсяквантованным волновым вектором:(k) =~2 k2,2k= )︁,. (︁ ,(3.82)В пределе больших квантовых чисел концы дозволенных векторов kпокрывают положительный октант эллиптической поверхности постоянной энергии (изоэнергетическая поверхность) достаточно плотно.
В изотропном случае = = эллипсоид переходит в сферу. Когда частицызанимают множество одночастичных состояний, важно знать, как много этих состояний расположено вблизи конкретной энергии . Это будетсущественно влиять на отклик системы при внешнем возмущении.90Глава 3 Связанные состоянияНа этом пути мы приходим к идее плотности уровней. Для любыхквантовых систем со спектром энергий эта плотность формально определяется как частокол дельта-пиков при каждой разрешённой энергии:∑︁() =( − ).(3.83)Эта сингулярная функция приобретает ясный смысл при интегрированиипо малому интервалу Δ, который всё ещё содержит множество уровнейпри достаточно больших квантовых числах.
Интеграл равен числу Δдельта-пиков внутри интервала, т. е. количество уровней в Δ равно∫︁Δ = () ≈ () Δ.(3.84)ΔЭто соответствует интуитивной идее плавной плотности уровней ().Ниже мы работаем только с этой гладкой функцией, поэтому можно убратьзнак усреднения. Таким образом, плавная плотность уровней практическиопределяется отношением() =Δ.Δ(3.85)Интегрируя плотность уровней по всем энергиям от минимально возможной энергии 0 (основное состояние) до произвольной энергии , можноопределить совокупное число уровней () с энергией меньше :∫︁ () = ′ ( ′ ).(3.86)0Для потенциального ящика с энергетическим спектром (3.82) плотностьуровней легко вычисляется.
Выбирая вместо квантовых чисел в качестве новых переменныхкомпоненты вектора k и заменяя сумму по ∫︀интегралом 3 , что можно делать, если наша энергия находится вобласти больших квантовых чисел, получаем∫︁() = 33 ( − ~2 2 /2).(3.87) >0Пусть объём ящика = . Мы можем распространить интегрирование навсё пространство, так как вклады каждого из октантов одинаковы (энергия3.7 Плотность уровней91зависит от k2 ):∫︁() = 3 ( − ~2 2 /2).(2)3(3.88)Теперь мы используем 3 = 2 . Интегрирование по телесному углу даёт 4. Так как = (/), то интеграл по энергии, в согласиис правилом интегрирования дельта-функций, даёт:[︂]︂ √2 = 2 3 23 ;(3.89)() = 2 2 =~2 2 /2 2 ~плотность уровней в ящике растёт ∼√.Задача 3.8Покажите, что в аналогичном подходе для двумерного ящика ()√независит от энергии, а в одномерном случае она даже уменьшается ∝ 1/ с ростом энергии (действительно, в этом случае расстояние между соседними уровнями (3.5) увеличивается для больших квантовых чисел).Результат (3.88) основан только на квантовании импульса p = ~k.
Онможет быть переписан в форме, применимой для любого закона дисперсии,т. е. для произвольной зависимости (например, релятивистской) (p):∫︁3 ( − (p)).(3.90)() = (2~)3Этот выражение следует также из принципа квантования Бора (раздел 1.3).Каждый новый уровень требует (рис. 1.4) дополнительную площадь 2~на фазовой плоскости или дополнительный объём (2~) в -мерном фазовом пространстве. Повторяя вычисления для частиц с произвольнымизотропным законом дисперсии () и вводя скорость = /, мыполучаем(︂ 2 )︂.(3.91)() = 2 32 ~ =()Как было показано Генри Вейлем, этот результат не зависит от формыобъёма, если сам объём достаточно большой и мы можем заменить суммына интеграл по квантовым числам [5].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
