1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 10
Текст из файла (страница 10)
+ (2.49)Важно, что ||2 = ||2 , т. е. интенсивности отражённой и падающей волнравны и = − . Отсюда следует, что = 1 и поток в классически запрещённой области отсутствует, даже если статическая плотность вероятностипод барьером не обращается в нуль.В пределе очень высокого барьера 0 ≫ коэффициент → ∞, глубинапроникновения становится очень малой, → 0, а амплитуда проникшей подбарьер волновой функции → 0. При непрерывном стремлении к пределунепроницаемой стенки подтверждается граничное условие (2.21), хотя вэтом пределе больше не выполняется условие непрерывности производной/, которая автоматически обращается в нуль сразу за стенкой.
Иволновая функция, и её производная будут непрерывными, если заменитьпотенциальную стенку на более приближённый к реальности потенциал,который растёт от 0 до 0 очень быстро, но непрерывно. Приближениевертикального барьера имеет смысл, если длина волны частицы намногобольше, чем ширина области, где потенциал возрастает. В случае противоположного предела с энергией, почти равной высоте барьера, коэффициент мал, а глубина проникновения в классически запрещённую область может быть очень большой. Подобное квантовое гало наблюдается в слабосвязанных ядрах (раздел 3.5).2.7 ТуннелированиеВ разделе 2.6 мы рассмотрели проникновение квантовой волны подбарьер, который при конечной высоте имел бесконечную протяжённость.Теперь предположим, что энергия всё ещё ниже, чем высота барьера, вто время как ширина барьера конечна в пределах от = 0 до = > 0,(рис.
2.4). Это может быть моделью для двух кусков металла, разделённыхконечным слоем изолятора.Разница по сравнению со случаем (рис. 2.2) только в конечной протяжённости барьера. Волновая функция слева, < 0, всё ещё имеет туже форму (2.29). Однако в отличие от необходимого выбора решения,сделанного в (2.47) для бесконечно длинного барьера, здесь нельзя игнорировать возможность существования обоих знаков для мнимого «импульса»60Глава 2 Волновая функция и простейшие задачиU(x)U0E0IIIaIIIxРис. 2.4: Барьер конечной ширины.
Экспоненциально растущее вдоль оси решение не запрещено, так какдлина, возможная для его роста, конечна и значения на концах интервалаявляются конечными. Поэтому решение в подбарьерной области междудвумя стенками имеет вид() = − + ,0 < < .(2.50)За барьером волновой вектор снова становится вещественным и равнымсвоему исходному значению (если потенциалы справа и слева от барьеранаходятся на одном уровне). За барьером может существовать толькораспространяющаяся вправо волна:() = , > .(2.51)Сшивка волновых функций на двух границах = 0 и = показывает,что коэффициент не равен нулю.
Это означает, что волна может туннелировать через классически запрещённые области конечных размеров.Задача 2.4Выполните сшивку и найдите коэффициенты прохождения () и отражения () для барьера на рис. 2.4. Покажите, что в пределе малогокоэффициента прохождения величина амплитуды волны , экспоненциально растущей под барьером (2.50), тоже подавлена.Решение.Предположим, что = 1, тогда амплитуды различных частей волновойфункции равны:=( 2 + 2 ) sinh(),( 2 − 2 ) sinh() + 2 cosh()(2.52)2.7 Туннелирование61T10123456 E/U0Рис. 2.5: Вероятность прохождения (уравнение (2.55)) в зависимости от энергии(︂=1− = −)︂,2 cosh()(︂)︂− = 1+, 2 cosh()2.2 cosh() + (2 − 2 ) sinh()(2.53)(2.54)Коэффициент прохождения зависит от энергии (рис.
2.5): () = | |2 =4(0 − ).4(0 − ) + 02 sinh2 ()(2.55)Для низких энергий, ≪ 0 , или/и широкого барьера, ≫ 1, sinh() ≈≈ cosh() ≈ (1/2) exp() ≫ 1, коэффициент прохождения экспоненциально подавлен: () ≈16 2 2−2 .( 2 + 2 )2(2.56)Амплитуда растущей под барьером экспоненты подавлена таким же образом: ∝ −2 .(2.57)На выходе за пределы барьера оба члена в уравнения (2.50) имеют одини тот же порядок величины, ∼ exp(−). Из-за надбарьерного отражения коэффициент прохождения не достигает предела в 1 при энергии,62Глава 2 Волновая функция и простейшие задачиU(x)EabxРис.
2.6: Оценка коэффициента прохождениястремящейся к величине барьера → 0 : ( → 0 ) =1< 1.1 + (0 2 /2~2 )(2.58)Коэффициент прохождения приближается к 1 при высоких энергиях, чтопоказано на рис. 2.5.Множитель перед экспонентой в коэффициенте прохождения слабо зависит от энергии (2.56), в то время как зависимость самой экспонентыявляется определяющей. Экспоненциальный фактор резко падает с ростоммассы частицы (сравните вероятности туннелирования для электрона ипротона).
Мы можем воспользоваться этой драматической зависимостью,чтобы оценить вероятность прохождения потенциального барьера произвольной формы (рис. 2.6). Здесь будем считать, что потенциал барьера () является гладкой функцией координаты.Аппроксимируем имеющийся потенциал последовательностью прямоугольников, разделяя барьер между классическими точками поворота и, где () = () = , на мелкие полоски шириной (Δ) и предполагая,что внутри каждого кусочка потенциал можно заменить на соответствующее среднее значение . Это можно сделать, если потенциал являетсядостаточно гладким.
Тогда каждый короткий кусочек в тоже самое времяможет быть достаточно длинным, чтобы (Δ) ≫ 1, где — мнимаячасть волнового вектора (2.46) для конкретного . Полная вероятностьпрохождения может быть оценена как произведение всех последовательныхвероятностей прохождения через кусочные барьерчики. Используя (2.56) иигнорируя множитель при экспоненте, который слабо меняется по сравнению с самой экспонентой, получаем:[︂ ∫︁ ]︂∑︀∏︁∏︁−2 (Δ)−2 [ (Δ) ] ≈ ==≈ exp −2 () , (2.59)2.7 Туннелирование63где√︂() =2[ () − ] −~2(2.60)локальный мнимый волновойвектор, () = |()| = |()|/~. В разделе 1.5∫︀уже упоминалось, что (/~) измеряет классическое действие вдольорбиты в единицах ~.
Видно, что вероятность туннелирования определяетсямнимой частью классического действия вдоль классически запрещённой«траектории».Так как экспонента (2.59) очень чувствительна к малейшим изменениямпараметров и может изменяться на порядки, то именно она и определяет порядок полного коэффициента прохождения. Оценка (2.60) является удовлетворительной для многих практических ситуаций. Более того,этот результат подтверждается в более точном квазиклассическом подходе(глава 15). Аргументы против использования такой оценки могут бытьоснованы на том, что мы просто перемножили вероятности частичноготуннелирования.
В духе волновой механики необходимо было бы учестьмногочисленные промежуточные отражения волны от всех искусственныхграниц и учесть интерференции всевозможных амплитуд. Однако в нашемслучае экспоненциально подавленного прохождения любое отражение подавляется дополнительным множителем exp(−2Δ). Вклад отражённыхволн будет много меньше, чем у компоненты, прошедшей без отражений.Задача 2.5Холодная эмиссия.
Электрическое поле ℰ, направленное вдоль оси перпендикулярно поверхности металла, может вытягивать электронычерез поверхностный барьер (рис. 2.7). Оценить вероятность электроннойэмиссии.Решение.Мнимый подбарьерный импульс равен√︂2() =[−ℰ − (−)],~2(2.61)где = −. Вероятность туннелирования оценивается как экспонента (2.59)от интеграла, взятого в пределах между классическими точками поворота = 0 и = /ℰ. Знак перед полем гарантирует, что ℰ > 0. В результате64Глава 2 Волновая функция и простейшие задачи0E=–ε–Wx–ExРис. 2.7: Электронная эмиссия из металла, индуцированная электрическим полемUER0R'rРис.
2.8: Ядерный + кулоновский потенциал для альфа-распадаполучаем]︃√4 2 3/2. ≈ exp −3 ~ℰ[︃(2.62)Показатель экспоненты по порядку величины даётся мнимой фазой − /~,которая√︀приобретается волной, прошедшей во мнимом времени ∼ /|| =(/ℰ)/ 2/. Наша оценка справедлива, если итоговый коэффициентпрохождения мал, ≪ 1. Для энергии электронов ∼ 2 эВ в случае оченьсильного электрического поля ∼ 10 МэВ/см, ∼ 3 · 10−9 .Задача 2.6Альфа-распад. Альфа-частица является чрезвычайно сильно связаннымядром гелия 4 He, которое состоит из двух протонов и двух нейтронов. Многие сложные ядра внутренне неустойчивы по отношению к формированиюи испусканию альфа-частиц. Тем не менее, чтобы вылететь из неустойчивого ядра, альфа-частица должна преодолеть кулоновский барьер (рис.
2.8).Возьмите в качестве приближенного ядерного потенциала ядра-остаткапрямоугольную яму с непроницаемой стенкой в начале координат = 0и радиусом ядра . Оцените вероятность альфа-распада через кулонов-2.7 Туннелирование65ский барьер. Подобные оценки могут быть использованы для протонных идвухпротонных распадов или кластерной радиоактивности с испусканиемтяжёлых заряженных фрагментов ядра.Решение.Экспоненциальная оценка (2.59) дается интегралом[︃(︂)︂]︃∫︁ ′ √︃2 2−, ≈ exp −~ (2.63)где — приведённая масса двух конечных ядер, = 1 2 2 , 1 = 2 для альфа-распада, тогда 2 = − 2, где — заряд родительского ядра. Аналогичная оценка используется для оценки деления ядра на два фрагментас 1 + 2 = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
