1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Этот2результат довольно близок к точному: крит./(~) = 0.84(/), которыйможет быть получен из численного решения квантового уравнения Шрёдингера для потенциала Юкавы.1.7 Принцип соответствияПостулаты Бора позволяют получить точное решение (1.26) для атомаводорода в нерелятивистском приближении. Это удачное свойство чистокулоновского потенциала. В общем же случае при применении того жеалгоритма квантования получаются только приближённые решения. Остается также неопределённость с наличием решения для = 0.
Формальнотакое решение позволило бы частице упасть в центр потенциала (ℓ = 0 всоответствии с (1.14)).В дальнейшем теория Бора была уточнена и развита А. Зоммерфельдом.Орбитальный момент и эллиптические орбиты были согласованно включены в формализм. Это предполагает наличие дополнительных параметровдля описания формы стационарной орбиты. Кроме главного квантовогочисла , орбите приписывается орбитальный момент ℓ = 0, 1, ..., − 1 имагнитное квантовое число , которое описывает ориентацию орбитыв пространстве.
Энергия уровня не может зависеть от ориентации орбиты,поэтому все подуровни с разными являются вырожденными (имеют однуи ту же энергию). В дополнение к этому из-за специфических особенностейкулоновского потенциала при данном энергия не зависит от ℓ. Это такназываемое случайное вырождение имеет глубокую физическую причинуи будет разобрано в главе 7 и главе 3 из второго тома. Орбиты с разнымизначениями ℓ и фиксированными формируют атомные оболочки. Этостало базой для основного достижения старой квантовой теории — объяснения периодической таблицы Менделеева. Учёт релятивистских поправокпозволил описать атомные спектры более подробно.Дискретность атомных состояний была продемонстрирована в опытахФранка и Герца (1913), в которых наблюдались минимумы электронноготока через газ при таких значениях ускоряющего потенциала, которыеотвечают энергиям электронов, достаточным для возбуждения дискретныхуровней атома при столкновении с ним электрона. Это уже не оставило сомнений, что квантовая теория действительно описывает глубокие36Глава 1 Происхождение основных квантовых понятийсвойства природы.
Однако она ещё не была полностью согласованной ипоследовательной теорией.Если принять классические законы движения, но наложить на них условия квантования, то следует ожидать, что при некоторых условиях модифицированная теория должна воспроизвести все классические результаты,в которых квантовые эффекты несущественны. Для науки характерно,что новое развитие не отменяет старые результаты, а лишь ограничиваетобласть их применимости. Классическая наука (механика и электродинамика) должна стать частным предельным случаем более общей теории.Одним из основных критериев, используемым Бором, было требование, чтоквантовый подход к теории обязан воспроизвести правильные классическиерезультаты.
Это известный принцип соответствия. Несмотря на все недостатки старой квантовой теории, этот принцип выполняется. Существуетпромежуточная, полуклассическая или квазиклассическая, область, гдепредсказания квантовой теории становятся неотличимыми от предсказанийклассической физики.Рассмотрим сильно возбуждённые боровские уровни с ≫ 1. Радиусыборовских орбит быстро растут с ростом и достигают макроскопических размеров. Такие ридберговские орбиты используются, например, вфизике мезоатомов (задача 1.7). Высокоэнергичные пионы, рождённые врезультате взаимодействия элементарных частиц или в ядерных реакциях,замедляются в веществе и могут быть захвачены на одну из ридберговскихорбит с большим .
Затем они опускаются до основного или одного из низших уровней, излучая каскад фотонов. На расстояниях, соответствующихбольшим , можно ожидать выполнения законов классической механики. Если это так, то комбинационный принцип для излучения должентрансформироваться в классические законы.При периодическом движении с частотой 0 классический заряд излучаетэлектромагнитные волны той же частоты или кратных частот (обертоны),Δ · 0 , где Δ — целое число. На первый взгляд здесь нет ничего общего скомбинационным принципом (1.11).
Однако в квазиклассической ситуациипереходы удовлетворяют условиям ≫ 1,′ ≫ 1, − ′Δ≡≪ 1.(1.51)1.7 Принцип соответствия37Следовательно, квантовая частота излучения (1.42) может быть аппроксимирована как′ =4 2 − ′24≈Δ.2~3 (′ )2~3 3(1.52)Для тех же условий (1.51) классическая частота обращения на орбите равнаΩ =4= 3 3,~ (1.53)так что излучаемые частоты в квазиклассической области действительнократны частоте обращения:излучения = Δ · Ω .(1.54)Этот частный пример подтверждает общее научное правило, что более продвинутая теория должна содержать результаты предыдущих исследованийкак частные случаи, реализуемые при определённых физических условиях.Теперь мы можем обобщить этот результат для движения в любыхсвязывающих потенциалах.
Взяв производную от выражения =2 ()+ (),2(1.55)связывающего энергию и классический импульс (), получим уравнение Гамильтона = = .(1.56)Рассмотрим фазовый интеграл в пределах от точки поворота до произвольной точки внутри области действия потенциала. В квазиклассическойобласти (1.51) это плавная функция от . Чтобы вычислить производнуюинтеграла по , достаточно продифференцировать только подынтегральноевыражение без дифференцирования пределов интеграла, так как подынтегральное выражение () обращается в ноль в точке поворота:∫︁ ∫︁ ∫︁ () == Δ= Δ (),(1.57) 38Глава 1 Происхождение основных квантовых понятийгде () — длительность классического движения с энергией из точки в точку , а Δ — расстояние между ближайшими уровнями:Δ = − −1 ≈.(1.58)Для того, чтобы найти Δ , продифференцируем условие квантования (1.13):~ =∫︁ .(1.59)Подобно (1.57) получаем:∫︁~ = Δ,(1.60)что определяет половину полного периода движения :~ = Δ= Δ,2Ω(1.61)и, наконец:Δ = ~Ω .(1.62)Для гармонического осциллятора, согласно (1.16), частота Ω = независит от квантового числа (в классической механике период не зависитот амплитуды).Здесь мы пришли к более конкретной форме принципа соответствия.Расстояние между ближайшими квазиклассическими уровнями (делённоена ~) равно классической частоте периодического движения при соответствующей энергии.
В каждом малом интервале квазиклассический спектрсвязанных состояний примерно эквидистантный, как для гармоническогоосциллятора с частотой , и плавно меняется от одного интервала энергий кдругому. Как обсуждалось ранее, это необходимо для корректного переходак классической теории излучения: частотный спектр квазиклассическойсистемы содержит основную частоту вращения и кратные гармоники, чтосоответствует спектру излучения классического вибратора.1.8 Пространственное квантование391.8 Пространственное квантованиеПравило квантования не может относиться лишь к связанным состояниямв кулоновском поле, оно имеет общий характер. Так, например, долженквантоваться магнитный момент электрона. Действительно, классическаяэлектронная орбита представляет собой виток с током = / , где —период обращения = 2/.
Такой виток обладает магнитным моментом = /, где площадь эллиптической орбиты ( — полярный угол) равна∫︁2=012=22∫︁02 1 =2∫︁01 =22∫︁ℓ =0ℓ; (1.63)2здесь ℓ — момент импульса, или орбитальный момент, который является интегралом движения и квантуется в соответствии с (1.14). Отсюдаполучаем квантование магнитного момента:= ℓℓ~==. 222(1.64)Тем самым мы предсказываем значение орбитального гиромагнитногоотношения:ℓ ≡=.ℓ2(1.65)Магнитный момент должен быть равен целому кратному элементарногомагнитного момента, называемому боровским магнетоном.
Для электрона = ,1 = ℓ ~ =~= 9.27 · 10−21 эрг/Гс =2= 0.927 · 10−23 Дж/Тл.(1.66)Правило квантования (1.64) не содержит каких-либо параметров кулоновского поля, поэтому естественно ожидать, что такой магнитный моментсвязан с движением любой заряженной частицы.Для того чтобы сделать наши утверждения более определенными, нужноучесть, что величины ⃗ℓ и ⃗ являются векторами.
Прямой опыт Штерна иГерлаха (1922) показал, что квантуется проекция этих векторов на выделенное в эксперименте направление: в случае Штерна — Герлаха направлениенеоднородного магнитного поля. В этом эксперименте (рис. 1.8) пучок атомов отклоняется от прямолинейного движения неоднородным магнитнымполем ℬ (), т. е. силой = ℬ /. Классическая электродинамика40Глава 1 Происхождение основных квантовых понятийРис. 1.8: Пространственное квантованиепредсказывает распределение отклонённых атомов на регистрирующейпластине в виде широкой непрерывной полосы, отвечающей всем значениями проекции , которая непрерывно меняется от − до +.
Экспериментвместо этого дает дискретное число узких полосок, расположенных симметрично относительно первоначального направления движения. Такимобразом, допустимы лишь определённые значения , т. е. при фиксированном |⃗| определённые ориентации ⃗ и ⃗ℓ по отношению к внешнему полю(пространственное квантование). Расщеплённые компоненты пучка отвечают всевозможным целочисленным значениям проекции ℓ в единицах ~и меняющейся в диапазоне, ограниченном максимальной проекцией ℓ:ℓ = ~, = −ℓ, −ℓ + 1, ..., 0, ..., ℓ − 1, ℓ.(1.67)Поэтому, если орбитальный момент атома равен ℓ~, то опыт Штерна —Герлаха должен дать расщепление на (2ℓ + 1) компонент с разными значениями магнитного квантовое числа .1.9 СпинВ соответствии с правилом (1.67) число компонент, на которые расщепляется пучок в опыте Штерна — Герлаха, должно быть нечётным.
Однаков ряде опытов наблюдалось чётное число компонент, в частности, былипучки, которые расщеплялись надвое. В атомной спектроскопии такжесуществовали примеры дублетов, которые не предсказывались теорией.С. Гаудсмит и Дж. Уленбек (1925) выдвинули гипотезу о наличии у электрона внутреннего момента импульса. Этот дополнительный момент, или1.9 Спин41спин, ⃗ не происходит от орбитального движения, как и вращение планетывокруг своей оси не связано с движением вокруг звезды.Все опытные данные согласуются с полуцелым значением спина электрона = (1/2)~, причём пространственное квантование допускает лишьдве ориентации вектора ⃗ относительно поля:~ = ± .2(1.68)Величина отклонения пучка на опыте (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
