1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1.8) даёт спиновое гиромагнитное отношение, которое оказывается вдвое больше орбитального (1.64): ==.(1.69)Поэтому магнитный момент покоящегося (ℓ = 0) электрона опять равенборовскому магнетону(ℓ = 0) = = =~= 1 .2(1.70)Элементарные частицы, формирующие ядра атомов, нейтроны и протоны, а также составляющие их кварки обладают таким же спином ~/2, ноих гиромагнитные отношения отличаются от простого результата (1.69),потому что здесь необходимо учитывать влияние сильных (ядерных) взаимодействий. Соответствующая величина для магнитного момента протона,аналогичная (1.66), называется ядерным магнетоном:1 я. м.
=~1 = 1 == 5.05 · 10−24 эрг/Гс =2 1836(1.71)= 0.505 · 10−26 Дж/Тл.Однако экспериментальные значения для протона и нейтрона равны: = 2.79 я. м., = −1.91 я. м.(1.72)Разница между ядерным магнетоном и экспериментальным значениемназывается аномальным магнитным моментом. Обратите внимание, чтонейтрон электрически нейтрален, = 0, но его магнитный момент отличенот нуля из-за ненулевого вклада от кварков и глюонов. Прецизионныеэксперименты показывают, что и магнитный момент электрона немногоотличается от значения (1.70). В отличие от протона аномальный момент42Глава 1 Происхождение основных квантовых понятийэлектрон довольно мал:(︁ )︁ = 1 + ,2(1.73)где — постоянная тонкой структуры, введенная в (1.29).
Очень точныеизмерения также определяют ещё меньшие поправки более высоких порядков. Это отклонение объясняется квантовой электродинамикой, с другойстороны, значения (1.72) до сих пор не могут быть получены теоретически,хотя их отношение хорошо описывается в терминах кварковой структуры.В общем случае момент импульса, имеющий орбитальную, спиновуюили комбинированную природу, будет называться угловым моментом, обозначаться буквой J и измеряться в единицах ~.
Безразмерная величина квантуется с целым или полуцелым значениями, а проекция на выбранное направление квантования может принимать (2 + 1) значений, = −, − + 1, ..., +. Как будет видно в главе 1 из второго тома, такоеквантование соответствует геометрическим свойствам вращения в трёхмерном пространстве. Магнитный момент системы пропорционален её угловомумоменту: = ~ J,(1.74)где — гиромагнитное отношение, специфичное для конкретной системы.Структура покоящейся системы при добавлении слабого магнитного поляℬ = ℬ остаётся неизменной, но добавляется энергия магнитного взаимодействия: · ℬ ) = −~ℬ ,магн = −((1.75)которая расщепляет энергетические уровни покоящейся системы на 2 + 1равноотстоящих подуровней с разными (эффект Зеемана, глава 9, том 2).1.10 Волны де БройляМодель атома Бора и старая квантовая теория при всех их успехахне смогли решить многих проблем, особенно касающихся интенсивностиизлучения и строения сложных атомов.
Сам рецепт квантования не имелобщего характера. В значительной степени это была гениальная догадкаБора. Нужна была новая общая физическая концепция, которая легла быв основу новой теории. Эту ситуацию можно представить в виде таблицы:1.10 Волны де БройляСветВолновые явления(уравнения Максвелла)КлассическаятеорияКвантоваятеорияКорпускулярная картина(фотоны со свойствами(1.8), (1.9))43ВеществоКорпускулярная динамика(уравнения Ньютонапри ≪ или Эйнштейнапри ∼ )???Место «?» в таблице заняла картина волн де Бройля (1923). Предположимв духе ньютоновских идей монизма природы, что любому экспериментус частицами энергии и импульса p соответствует некий волновой процессс длиной волны и частотой такими, что=ℎ,=.~(1.76)Заметьте опять, что постоянная Планка играет только роль масштабногофактора, используемого для перевода между волновым и корпускулярнымязыками.В предположении (1.76) движение частиц должно сопровождаться типичными волновыми явлениями.
Так, при огибании частицами преграды,имеющей размеры, которые сравнимы с длиной волны (1.76), или приотражении от периодической структуры, должна наблюдаться дифракция.В опытах Дэвиссона и Джермера (1927) пучок электронов, отражённых отспециально ориентированного кристалла, дал типичную дифракционнуюкартину, похожую на дифракцию рентгеновских лучей. Штерн и др. (1931)показали, что и более сложные образования, например атомы гелия, обнаруживают дифракцию на кристалле.
Недавно интерференционные идифракционные эффекты были продемонстрированы на макроскопическихмасштабах, даже для больших молекул, таких как фуллерены C60 . Вовсех случаях найденная из опыта длина волны точно отвечала импульсучастицы в соответствии с (1.76).Задача 1.9Оценить энергию электрона в опыте по дифракции на кристалле. Найтидлину и частоту волны де Бройля: для электрона со скоростью 1 см/с;для электрона с энергией = 100 МэВ: для теплового нейтрона (энергияравна 3 /2 при комнатной температуре ; здесь и далее мы будем опускатьконстанту Больцмана и измерять температуру по энергетической шкале;1 эВ ≈ 11600 К); для футбольного мяча.44Глава 1 Происхождение основных квантовых понятийЕсли предположить, что волновое описание является универсальным,то его можно применить к связанным состояниям атома (состояния финитного движения классической механики), тогда в стационарном случаемы должны получить картину стоячих волн.
Это сразу приводит к постулату Бора (1.13): для круговой орбиты радиуса стационарная картинавозникает, если длина волны укладывается на орбите целое число раз, т. е.:=2, = 1, 2, ...,(1.77)откуда мы отбираем радиусы = /2 или, в соответствии с (1.76), = ~/, а орбитальный момент ℓ = = = ~, что совпадаетс (1.14). Здесь ясно видно, что квантование возникает как следствие граничных условий, наложенных на волны де Бройля.
Здесь можно вспомнитьклассическую вибрирующую струну или волны в резонаторах, где такимже образом граничные условия определяют нормальные моды колебаний.Когда длины волн становятся меньше характерных размеров системы,волновые аспекты оказываются менее выраженными, угол дифракции становится маленьким и мы подходим к области применения геометрическойоптики. Распространение волн вдоль прямых лучей аналогично движению по прямой классических свободных частиц.
Такая ситуация являетсяпромежуточной между квантовой и классической механиками. Мы ужевстречались с этим при обсуждении принципа соответствия.Прежде, чем сформулировать квантово-механический формализм, полезно накопить информацию, связанную с поведением квантовых волн вразличных простых ситуациях. При этом мы будем пользоваться толькоопределением волн де Бройля и словариком соответствий между двумяязыками. Этот опыт позволит нам понять операционную интерпретациюквантовых волн.Дополнительная литература: [3, 4].Лишь тот, кто рассматривает предметыв их происхождении и росте, сможетдостичь их наиболее ясного пониманияАристотельГлава 2Волновая функция и простейшие задачи2.1 Свободное движениеТеперь отнесёмся к концепции волн де Бройля более серьёзно и рассмотрим распространение квантовых волн в простых ситуациях, когда«естественные» физические соображения могут заменить точное знаниезаконов квантовой динамики.
Начнём со свободного движения волны в бесконечном пространстве. Это крайне идеализированная картина, но онаможет служить предельным случаем движения в ограниченном пространстве, если длина волны значительно короче, чем размеры доступногообъёма.Пусть источник, находящийся бесконечно далеко, → −∞, порождает пучок одинаковых независимых частиц массы . Частицы движутсяс импульсом вдоль оси . В свободном движении энергия частиц равна() = 2 /2 (мы можем также рассматривать и движение с релятивистскими скоростями). Согласно словарику (1.76) соответствующие квантовыеволны можно представить в видеΨ(, ) = − ,(2.1)где = /~ и = /~.
Это наш первый явный пример волновой функции,описывающей квантовое состояние, в данном случае свободное движение. Выбор знаков в показателе экспоненты является условным: здесьописывается волна, бегущая направо, с > 0 и > 0. Действительно, сувеличением времени значение фазы ( − ) останется тем же толькопри соответствующем увеличении . Для волны, распространяющейся впроизвольном направлении k, волновая функция выглядит какΨ(r, ) = (k·r)− ,(2.2)46Глава 2 Волновая функция и простейшие задачигде энергия частиц, = ~ =~2 |k|2,2(2.3)не зависит от направления распространения. Различные квантовые состояния с одной и той же энергией называются вырожденными.
Состояние (2.2)является плоской монохроматической (моноэнергетической) волной, гдеволновой вектор k полностью определяет плоский волновой фронт, перпендикулярный k при постоянной фазе (k · r). Энергия определяется частотойили длиной волны.Амплитуда волны является комплексным числом. = || exp(), где определяет фазу волны в начале координат, а абсолютная величина ||связана с интенсивностью волны = ||2 . Однако в данном конкретномслучае амплитуда не несёт никакой информации о квантовом состоянии.Действительно, мы ввели «пучок частиц» только для того, чтобы иметьвозможность повторить наш эксперимент много раз в одинаковых условиях.Нас же будет интересовать информация о свойствах отдельных частиц.Для конструирования подобных ситуаций пучок можно сделать разреженным настолько, чтобы исключить взаимодействие между частицами. Дляизучения корреляций между двумя конкретными частицами нам придётсярассмотреть их совместную волновую функцию Ψ(1 , 2 , ), зависящуюот двух переменных и представляющую собой волну не в одночастичном,а в удвоенном конфигурационном пространстве.
Корреляции могут возникнуть из-за взаимодействия между частицами или из-за того факта,что частицы, получаемые с помощью одного и того же источника, являются запутанными. Сейчас же мы сосредоточимся на рассмотренииодночастичной динамики.Поместим детектор в точку r, чтобы зарегистрировать присутствиечастицы в малом объёме 3 вблизи выбранной точки. Для волновой функции (2.2) амплитуда || определяет скорость счёта детектора. Числоотсчётов в единицу времени будет пропорционально интенсивности падающей волны ||2 3 . Бесструктурные частицы проявляются как квантыволн де Бройля, и каждое успешное событие (срабатывание детектора)будет фиксировать одну частицу целиком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
