1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 5
Текст из файла (страница 5)
е.), гдепринято = = ~ = 1. В этом случае атомная единица равна 2 Ry (дваРидберга или 1 Хартри), так что энергии стационарных состояний атомаводорода равны = −1/(22 ) а. е.Характерные энергии в атоме водорода малы по сравнению с массойэлектрона:иониз. =1412 2 2 ≡ 2 2 ≪ 2 .2~ 2(1.28)1.6 Атом водорода29Здесь мы использовали безразмерную постоянную тонкой структуры=21=.~137.06(1.29)Поэтому в атомной физике релятивистские эффекты обычно оказываютсямалыми. Однако они растут для тяжёлых атомов, так как, согласно (1.21),вместо 2 везде войдёт · = 2 , где — заряд ядра. В формуле (1.28) нужно будет заменить на , что при больших может приближатьсяк единице.
Из (1.23) и (1.24) легко оценить скорость электрона в атоме наорбите : =2=,~(1.30)т. е. (/) ≪ 1, за исключением тяжёлых атомов, и уменьшается для удалённых орбит. Заметим, что в атомной системе единиц = 1/ ≈ 137.Задача 1.5Для наинизшей электронной орбиты атома водородаа) оценить величину электрического поля ядра на орбите (в В/см);б) оценить величину магнитного поля на ядре, создаваемого орбитальнымдвижением электрона (в Тесла);в) сравнить величины кулоновских и гравитационных сил между электроном и протоном.Решение.а) Электрическое поле на орбите можно выразить в терминах энергииосновного состояния ( = 1):ℰ=2|1 |== 5.14 · 109 В/см = 1.7 · 107 а.
е./см,020(1.31)где |1 | = 13.6 эВ (1.27).б) В соответствии с законом Био́ — Савара магнитное поле элемента dlтока равноB=[dl × R],3(1.32)30Глава 1 Происхождение основных квантовых понятийгде R — расстояние между элементом тока и точкой измерения. Токот электрона, вращающегося с периодом по орбите радиусом , равен==.2(1.33)Интегрируя выражение (1.32) по этой орбите, получаем величину магнитного поля в центре:=2= 2.(1.34)Следовательно, для орбиты основного состояния: = ,=~,=2 7.~5(1.35)Используя выражение для постоянной тонкой структуры (1.29), из (1.35)получаем величину магнитного поля: = ℰ = 1.3 · 105 Гс = 13 Тл.(1.36)в) Отношение сил равнокулон.2= 2.3 × 1039 ,=грав.(1.37) = 6.67 · 10−8 см3 г−1 с−2 —(1.38)гдегравитационная постоянная, а и — это массы электрона и протонасоответственно.Для будущих оценок полезно отметить, что постоянная тонкой структуры(1.29) определяет шаг в последовательности длин, служащих в качествеверстовых столбов на дороге вглубь материи.
Следующая остановка послеборовского радиуса (1.25) оказывается на комптоновской длине волны: = =~= 3.862 · 10−11 см,(1.39)где числовое значение дано для массы электрона. Мы уже встречали этудлину в выражении (1.7) для эффекта Комптона. Позже в разделе 5.10 мы1.6 Атом водорода31увидим, что эта длина определяет наименьший размер локализации для частицы массы , допустимый в соответствии с квантовой теорией и теориейотносительности. Продвигаясь далее вглубь, мы получаем классическийрадиус электрона, который не содержит постоянной Планка: = = 2 =2= 2.818 · 10−13 см.2(1.40)Эта величина показывает предел применимости классической электродинамики. На меньших расстояниях электростатическая энергия 2 / в предположении классического точечного заряда начинает превышать всю массуэлектрона.После нахождения набора стационарных орбит можно воспользоватьсявторым постулатом Бора (1.20) и найти спектр излучения, испускаемогоатомом при переходе между орбитами → ′ , ′ < ,′ = − ′.~Для атома водорода выражения (1.26) и (1.41) дают:(︂)︂411′ =−2~3 ′2 2или в терминах длин волн:(︂)︂1′411==−.′24~3 ′2 2(1.41)(1.42)(1.43)Мы пришли к комбинационному принципу (1.11) с предсказанием значениядля константы Ридберга (1.12), которую мы обозначим здесь как ∞ :∞ =4= 109737 см−1 .4~3(1.44)С классическим выражением для интенсивности излучения заряженнойчастицы |/| ∼ (2 /3 )(ускорение)2 можно грубо оценить время жизниэлектрона на возбуждённой орбите, например, для перехода ( = 2) →→ ( = 1).
В этом случае энергия перехода ~21 будет излучена за время ∼ (~/2 )(1/5 ). Так как период классического вращения по орбите ∝ (2 /2 ), то мы получим ∼ (~/2 )(1/2 ). Отсюда следует, что / ∼∼ (1/3 ) ∼ 106 , т. е. возбуждённое состояние является долгоживущим или32Глава 1 Происхождение основных квантовых понятийРис. 1.7: Спектр атома по модели Бораквазистационарным. Основное же состояние является стабильным, чтопротиворечит классической картине.Задача 1.6Покажите, что различие между предсказанной постоянной Ридберга∞ и экспериментальным значением H (1.12) возникло как результатпредположения о бесконечно тяжелом ядре, в то время как учёт поправок,связанных с отдачей ядра при движении электрона, приводит к их совпадению. Сравните атомные уровни трёх изотопов: водорода, дейтерия итрития.Решение.Для учёта этой поправки при описании относительного движения электрона и ядра вместо массы электрона и ядра следует использоватьприведённую массу:⇒= .
+ (1.45)В настоящее время обсуждается возможность того, что отношение масс / может изменяться со временем на масштабах времени жизни вселенной. Это изменение можно попробовать обнаружить с помощью прецизионных измерений спектров удалённых (старых) звёзд.По модели Бора, атом водорода обладает бесконечной последовательностью связанных состояний, сгущающихся к пороговому значению = 0,1.6 Атом водорода33которое отделяет их от несвязанных состояний, соответствующих классическому инфинитному движению. Для энергий > 0 нет аналоговпостулатов Бора, которые позволяют выбрать квантованные траектории,т.
е. все энергии доступны (сплошной спектр). На рис. 1.7 схематическипредставлен низколежащий энергетический спектр. Поскольку энергетические интервалы между соседними уровнями быстро убывают с номеромуровня , то все спектральные линии, отвечающие переходам из разныхначальных состояний в одно конечное состояние ′ , оказываются близкими и объединяются в спектральные серии. Исторически эти серии носятимена учёных: ′ = 1 — серия Лаймана, ультрафиолетовое излучение с˚ (переход из ( = 2)); ′ = 2 — сериямаксимальной длиной волны 1216 Бальмера, видимый свет; серии с (′ > 2) отвечают инфракрасной областиспектра.Задача 1.7Существует много водородоподобных систем, к которым можно применить такой же подход. Найдите энергию основного состояния и наибольшую длину волны для «лайманоподобной» серии позитрония (связанногосостояния электрона и позитрона, который является античастицей кэлектрону, имея ту же массу, но противоположный по знаку заряд + );каонного и пионного мезоатомов (ядро с зарядом + и отрицательно заряженным каоном ( − ) = 494 МэВ/2 или пионом ( − ) = 140 МэВ/2вместо электрона); мюонного атома (ядро с зарядом + и отрицательно заряженный мюон, который является тяжёлым аналогом электрона смассой (− ) = 106 МэВ/2 ); протония (связанного состояния протона иантипротона).Задача 1.8В металлах и плазме при наличии свободных электронов заряд положительно заряженного центра (иона в плазме или примеси в твёрдом теле)экранируется за счёт перераспределения электронов.
В результате электростатический потенциал от центра перестаёт быть дальнодействующим ипадает по экспоненциальному закону () = −2−,(1.46)где растёт, а радиус взаимодействия (дебаевский радиус) = 1/ уменьшается с ростом плотности свободных электронов.Используемый в ядерной физике похожий потенциал Юкавы описываетвзаимодействие между нуклонами через обмен мезонов. В этом случае34Глава 1 Происхождение основных квантовых понятийвместо 2 необходимо подставить константу взаимодействия 2 , а радиус1/ заменить на комптоновскую длину волны для мезона массы : 1/ == ~/ . Покажите с помощью квантования Бора, что экспоненциальноэкранированный потенциал поддерживает лишь конечное число связанныхсостояний. Оцените это число в терминах параметров , и массы движущейся в этом потенциале частицы.
Это ограничение на число состоянийобъясняет постепенное исчезновение спектральных линий в плазме с ростомплотности свободных электронов.Решение.Из правила квантования получается, что(︂)︂12 1 +2 − = 2 ~2 .(1.47)Левая часть уравнения (1.47) экспоненциально уменьшается на большихрасстояниях ≫ 1.
Поэтому для больших решения отсутствуют и числосвязанных состояний конечно. Максимально допустимый радиус можетбыть найден из максимума левой части, который дается положительнымкорнем уравнения:√11+ 52 − − 2 =0=.(1.48) 2Естественно, можно догадаться и без вычислений, что величина максимального радиуса орбиты должны быть порядка = 1/. Максимальноеквантовое число, соответствующее числу связанных уровней в экранированном потенциале, примерно равно√√(3 + 5)(1 + 5) −(1+√5)/2 22макс. ≈≈ 0.84,(1.49)24~где / = ~2 /(2 ) — боровский радиус наинизшего связанного состояния в чистом кулоновском потенциале заряда .
Несмотря на то чтоквазиклассическое квантование (1.13) обычно плохо описывает низшиесвязанные состояния, мы получили разумную оценку. Для очень малой величины дебаевского радиуса, < /, экранированный потенциал вообщене имеет связанных состояний, макс. < 1.В случае Юкавского потенциала, () = − 2 −( /~),(1.50)1.7 Принцип соответствия35квадрат константы связи 2 имеет размерность [энергия·расстояние]. Обменмезонами, судя по предыдущему результату, не создаёт связанное двухчастичное состояние, если притяжение слишком слабое: ( 2 /~) < 1.19 ×× (/), где — приведённая масса взаимодействующих частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
