1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 4
Текст из файла (страница 4)
в дискретности вещества уже не было сомнений. Былотвёрдо установлено существование элементарных носителей электрическогозаряда (электронов), нейтральных атомов, а также молекул, состоящих изатомов. Было замечено, что пучок электронов (катодные лучи) в электромагнитных полях подчиняется классическим законам движения. Однакоэто не так для системы электронов, локализованных в конечной областипространства, такой как атом с размером около 10−8 см. В своих опытахРезерфорд (1911) обнаружил наличие в атоме тяжёлого ядра крайне малых∼ 10−13 см ≡ 1 фм размеров с положительным электрическим зарядом, компенсирующим полный заряд атомных электронов. Классическая механикаи электродинамика не могли объяснить стабильность атомов.
Статическаясистема зарядов, связанных лишь электростатическими силами, являетсянеустойчивой (теорема Ирншоу). В то же время в планетарной модели1.5 Постулаты Бора23атома, понимаемой буквально, электроны, которые движутся по кулоновским орбитам (как в случае задачи Кеплера для гравитационного поля),излучают энергию, как и все ускоренные заряды. Вследствие излученияэлектроны должны терять энергию и в конце концов упасть на ядро.Ключ к решению загадки дала атомная спектроскопия. Спектры излучения и поглощения паров химических элементов, т. е.
фактически отдельныхатомов, представляют собой серии характерных для данного элементаочень узких спектральных линий, отвечающих определённым длинам волн.Эмпирическая обработка огромного количества спектроскопических данных привела к комбинационному принципу Ритца: испускаемые длиныволн могут быть выражены через разности спектральных термов ,которые можно нумеровать целыми числами (′ и ):1= ′ − .Так, для водорода справедлива формула Бальмера(︂)︂111,= H−′2 2(1.11)(1.12)где H = 109678 см−1 — постоянная Ридберга. Подобные закономерностибыли найдены и для других элементов, причём масштаб (аналог постояннойH ) растёт для более тяжёлых элементов.
Комбинационный принцип (1.11)не похож на известные законы классических излучателей, типичным примером которых служит вибратор, излучающий основную гармонику частоты0 и её обертоны 0 . В планетарной модели атома частота 0 должнабыла бы совпадать с частотой обращения электрона на орбите.1.5 Постулаты БораРеволюционный шаг, заложивший основы квантовой теории, был сделанНильсом Бором (1913). Постулаты Бора позволили построить непротиворечивую модель атома и объяснить основные экспериментальные факты.Правда, сами постулаты — зародыш будущей науки — пока выглядели чужеродным довеском к классической физике.Согласно Бору, атом (для простоты будем говорить о водороде, т. е.об атоме, состоящем из тяжёлого положительно заряженного протона вцентре и лёгкого электрона на орбите), действительно, напоминает солнечную систему.
Однако среди классических орбит существуют выделенные,24Глава 1 Происхождение основных квантовых понятийРис. 1.4: Квантование в фазовом пространствеотвечающие стационарным состояниям, где электроны вращаются в кулоновском поле ядра без излучения. Аналогичные утверждения делаются вотношении других классических систем, совершающих конечное периодическое движение. Стабильные орбиты образуют дискретную совокупность(квантованы). Опираясь на существование кванта действия ℎ, Бор постулировал, что для устойчивых орбит классическое действие за период ([1]§ 49) равно целому числу квантов:∮︁ = ℎ = 2~, = 1, 2, ... .(1.13)Для круговой орбиты радиуса и постоянной скорости это эквивалентноквантованию момента импульса ℓ:∮︁ = , = 2ℓ = = ~.(1.14)Здесь впервые возникает квантовое число , нумерующее стационарныеквантовые состояния.∮︀Фазовый интеграл , где и — это канонически сопряжённые импульс и координата, вычисляется за период движения вдоль замкнутойклассической траектории с энергией .
Этот интеграл равен площади фазового пространства (, ), ограниченного траекторией движения (рис. 1.4).Из классической механики известно, что эта величина является адиабатическим инвариантом. Если параметры системы изменяются медленно(адиабатически), то такие величины остаются постоянными, или, точнее,изменяются гораздо слабее, чем внешние условия. Обычно, если время изменения параметров системы характеризуется величиной ( ≫ , где —период движения), то изменение адиабатического инварианта пропорционально ∝ exp(− / ). Квантоваться могут только подобные классическиевеличины, а иначе условие (1.13) будет несогласованным, так как медленное1.5 Постулаты Бора25изменение параметров не меняет левой части, но в какой-то момент приводит к внезапному скачку квантового числа в правой части, которая можетпринимать только дискретные значения. Напротив, мы видим, что изменяяпараметры адиабатического инварианта, мы не меняем дискретную метку и классификация квантовых уровней остаётся стабильной.Задача 1.3Частица совершает малые колебания вокруг положения равновесия поддействием упругой силы = −, где — отклонение от положения равновесия.
Такая система, линейный гармонический осциллятор, в классическоймеханике описывается функцией Гамильтона, которая в данном случаеесть просто сумма кинетической и потенциальной энергий: = () + () =12+ 2 .2 2(1.15)Покажите, что в соответствии с правилом (1.13) квантованные энергетические уровни образуют эквидистантный спектр:√︂ = ~, =.(1.16)Решение.Для симметричного потенциала () = (−) (рис. 1.5) условие квантования (1.13) принимает вид∫︁ √︀4 2[ − ()] = 2~,(1.17)0где — это зависящая от энергии классическая точка поворота, в которой ( ) = .
Для вычисления интегралавведём переменную () = ()/.∫︀ 1Это приводит к интегралу 0 в фиксированных пределах. Так как√/ ∝ 1/ , то с помощью подстановки = sin2 приходим к эле∫︀ /2ментарному интегралу 0 cos2 = /4.В случае гармонического осциллятора можно избежать вычислений,заметив, что область фазового пространства (, ), ограниченная√︀ орбитой2222с энергией, есть эллипс / + / = 1 с полуосями = 2/ 2 и√ = 2. Площадь такого эллипса равна = √︀ = 2/.
Амплитудаколебаний для конкретной энергии равна = (2~/).Постулат Бора согласуется с нашим «словариком» (1.8). Если свободноеэлектромагнитное поле может быть представлено набором независимых26Глава 1 Происхождение основных квантовых понятийРис. 1.5: Потенциалы ∼ ||осцилляторных мод разной частоты, то квантование (1.16) приписывает конкретное число квантов соответствующей частоты каждому стационарномусостоянию данной моды. Это и есть целое число в постулате квантования.Точное квантово-механическое решение для гармонического осциллятора,которое будет рассмотрено в разделе 11, дает энергетический спектр)︂(︂1.(1.18) = ~ +2Самый нижний (основной) уровень = 0 больше не соответствует состоянию с = 0, как это было бы в случае классической частицы, покоящейсяв точке равновесия. Энергия нулевых колебаний равна ~/2.
В случае электромагнитного поля это означает, что даже состояние без фотонов (вакуум)обладает энергией из-за квантовых флуктуаций. Принцип квантования вформе (1.13) верен только для возбуждённых состояний с ≫ 1.Задача 1.4Как зависит энергия -го уровня в потенциале () = || от квантовогочисла ?Решение.Используя метод из решения задачи 1.3, получаем фазовый интеграл∝ (2+)/2 и ∝ 2/(2+) .(1.19)Важные частные случаи: ∝ (гармонический осциллятор, = 2 какв задаче 1.3); ∝ 4/3 ( = 4), рис.
1.5; ∝ 2 (яма с вертикальны-1.6 Атом водорода27Рис. 1.6: Притягивающий кулоновский потенциалми стенками, раздел 3.1, → ∞); ∝ 1/2 (Кулоновский потенциал,формула (1.26) ниже по тексту).Второй постулат Бора необходим для квантовой формулировки законасохранения энергии в радиационных переходах. Акты излучения и поглощения света протекают как переходы между начальным и конечным состояниями. Так как фотон имеет энергию ~, то закон сохраненияэнергии имеет вид − = ±~,(1.20)где плюс и минус соответствуют поглощению > и излучению < соответственно.
Возможность излучения означает, что дискретные состояние, найденные в предположении отсутствия излучения, на самом делеявляются квазистационарными и имеют конечное время жизни. Квантование без учёта излучения имеет смысл только пока период движения многоменьше времени жизни.1.6 Атом водородаТеперь применим боровское квантование к атому водорода, рис. 1.6.
Этасистема состоит из неподвижного тяжёлого протона (заряд +) в началекоординат и электрона (заряд −, масса ), движущегося по круговой(для простоты) кулоновской орбите вокруг протона. Для орбиты радиуса и скорости действующая сила, согласно ньютоновской механике, равна =2 2=.2(1.21)Полная энергия электрона, сумма его кинетической и потенциальной энергий, отрицательна: = + = 2 22−=− = .222(1.22)28Глава 1 Происхождение основных квантовых понятийКвантование (1.13), в силу (1.21), может быть записано как2 ~2 = ()2 = 2 .(1.23)Это позволяет определить радиусы стабильных орбит: =~2 2 ≡ 2 ,2(1.24)где — боровский радиус (радиус ближайшей к ядру водородной орбиты),который равен=~2˚ = 0.529 · 10−8 см = 0.0529 нм.= 0.529 2(1.25)Для больших квантовых чисел, ≫ 1, радиус (1.24) становится макроскопическим, например, для = 104 ≈ 0.5 см.
Такие состояния называютсяридберговскими.Из (1.22), (1.24) и (1.25) находим энергии стационарных состояний (энергетические уровни атома водорода): = −21 4=− 2 2 .22 ~(1.26)Энергия основного = 1 состояния атома водорода равна (с обратнымзнаком) энергии ионизации и для водорода составляетиониз. = −1 =4≡ 1 Ry = 13.6 эВ.2~2(1.27)Иногда удобно использовать так называемые атомные единицы (а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
