1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В предположении, что детектор идеален, вероятность захвата одной частицы в данной точке естьсвойство изучаемого квантового состояния. Наше состояние (2.2) являетсявыделенным в том смысле, что|Ψ(r, )|2 = ||2 = c,(2.4)2.2 Плотность и поток вероятности47вероятность обнаружения частицы одинакова в любой точке пространствав любой момент времени. Это следствие идеализированного образа плоской волны, имеющей бесконечные размеры как в пространстве, так и вовремени. Необходимо отметить, что информация о квантовом состоянииможет получаться только как результат множества повторных независимых идентичных экспериментов, так как каждое конкретное измерениеволновой функции разрушает её (частица регистрируется детектором).2.2 Плотность и поток вероятностиВ общем случае волновая функция Ψ(r, ) меняется от точки к точкев пространстве и времени, причём меняется как фаза, так и амплитуда.Это происходит даже в случае абсолютно стабильного источника, есличастицы могут взаимодействовать друг с другом или с внешними полями,которые могут также быть частью измерительной аппаратуры.
Абсолютноезначение квадрата волновой функции интерпретируется как вероятностьнахождения частицы в малом элементе объёма 3 около заданной точки.Эта величину естественно назвать плотностью вероятности (r, ):(r, ) 3 ∝ |Ψ(r, )|2 3 .(2.5)Выбор коэффициента пропорциональности в выражении (2.5) по существупроизволен: эту величину (если она константа) всегда можно включитьв амплитуду волновой функции. Можно сказать, что квантовое состояниеописывается лучом в пространстве волновых функций, где постоянныймножитель в амплитуде не имеет значения.Если квантовое состояние соответствует финитному движению, то волновую функцию Ψ можно нормировать. Иными словами, мы можем выбратьне зависящий от координаты постоянный множитель таким образом, чтобырезультирующая функция удовлетворяла условию:∫︁∫︁3 |Ψ(r, )|2 = 3 (r, ) = 1;(2.6)сходящийся интеграл определяет амплитудный множитель.
В случае нормированной функции величина становится в подлинном смысле этого слова«плотностью» вероятности. Если нормировочный интеграл (2.6) расходится,как в случае определённой во всём пространстве плоской волны (2.4), тоабсолютная нормировка невозможна. Так как постоянная амплитуда ненесёт информации о квантовом состоянии, смысл имеет только относитель-48Глава 2 Волновая функция и простейшие задачиная вероятность нахождения частицы в двух разных точках пространства.Фактически ненормируемые функции появляются в результате идеализаций, сделанных в целях упрощения задачи. На практике движение всегдафинитно.Плотность вероятности (r, ) в общем случае зависит от времени. Однако мы можем рассмотреть систему, в которой частицы не создаютсяи не уничтожаются.
Это может быть стабильный атом или частицы вловушке. Тогда вероятность () нахождения частицы внутри фиксированного объёма может меняться со временем только потому, что частицапопадает внутрь объёма или уходит из него. Эта вероятность определяетсяинтегралом от по объёму :∫︁ () =3 (r, ),(2.7)и она будет меняться, если существует плотность потока вероятностиj. Эта плотность потока, как плотность тока жидкости в гидродинамикеили плотность электрического тока в электродинамике, есть произведениеплотности текущей субстанции, массы или заряда в этих примерах, а вквантовой механике плотности вероятности, на локальную скорость v,j = v.(2.8)Изменение вероятности (2.7) со временем обусловлено потоком вероятностичерез поверхность объёма :∮︁ () = − (S · j).(2.9)Знак минус в правой части выражения (2.9) соответствует тому, что положительное направление тока отвечает истечению из объёма, вследствиечего вероятность нахождения частицы внутри объёма уменьшается.
Векторэлемента поверхности S ≡ n в каждой точке направлен вдоль внешнейнормали n к поверхности.Интеграл по поверхности можно преобразовать в интеграл по объёму:∮︁∫︁(S · j) =3 d j.(2.10)2.2 Плотность и поток вероятности49В пределе бесконечно малого объёма вокруг точки r из уравнений (2.7),(2.9) и (2.10) следует важное уравнение непрерывности:+ d j = 0.(2.11)Как и в других приложениях, уравнение непрерывности является локальным выражением закона сохранения. В гидродинамике сохраняется полнаямасса жидкости, а в электродинамике сохраняется полный электрическийзаряд.
Если в системе нет источников или стоков, то в квантовой механикесохраняется полная вероятность и частицам остаётся только возможностьмигрировать в пространстве, но не появляться или исчезать. В случаефинитного движения ток на бесконечно больших расстояниях отсутствует. Если увеличить тестируемый объём , чтобы он включил в себя всюсистему, так что поток через поверхность будет равен нулю, мы получим∫︁ →∞ ≡ 3 = c,(2.12)т. е.
полная вероятность сохраняется. Мы знаем из (2.6), что в случаефинитного движения мы можем нормировать волновую функцию так,чтобы полная вероятность равнялась 1. Таким образом, можно утверждать,что нормировка не будет меняться во времени.В пределе бесконечного объёма и удалённого источника по примеру (2.2)существует поток через бесконечно большую поверхность. Но локальноуравнение непрерывности (2.11) остаётся справедливым в любой точке r.В конкретном примере плоской монохроматической волны мы должныидентифицировать скорость в определении потока со скоростью частицыp/, поэтому: = |Ψ|2 = ||2 ,j = v = ||2~k.(2.13)Здесь обе величины and j постоянны во всём пространстве и времени, такчто уравнение непрерывности заведомо выполнено. Плотность постояннаиз-за нашей аппроксимации волны, равномерно размазанной по всемуобъёму.
В отличие от простого потока (2.13) в более сложных случаяхтолько конкретная динамика квантовой системы позволит определить видплотности потока вероятности, который будет удовлетворять уравнениюнепрерывности.Отметим важное следствие простого соотношения между энергией системы и частотой волны де Бройля. Для любой волновой функции с опре-50Глава 2 Волновая функция и простейшие задачиделённой сохраняющейся энергией мы будем иметь волновую функцию вмонохроматическом виде:Ψ(, ) = ()−(/~) ,(2.14)где — все переменные, имеющие непосредственное отношение к системе (пространственные и внутренние переменные частиц).
Следовательно,плотность вероятности в -пространстве(, ) = |Ψ(, )|2 = |()|2(2.15)не зависит от времени. Состояние с определённой энергией называетсястационарным. В этом случае уравнение непрерывности упрощается:d j = 0.(2.16)2.3 Принцип суперпозиции и неопределённостьПлоская волна (2.2) даёт нереалистичную картину бесконечного пространства, заполненного частицами, которые поставляются стационарнымудалённым источником. В реальности геометрия любого эксперимента ограничена. Коллиматоры, электростатические и магнитные линзы и другиеустройства формируют пучок частиц после многочисленных преобразований — преломлений, отражений от стенок и т.
д. Каждое подобное взаимодействие изменяет импульс частиц, по крайней мере по направлению.В результате волновая функция в каждой точке является суперпозициейпервичной и всех вторичных волн. Предполагается, что это может бытьвыражено простым сложением всех этих волн с их волновыми векторами иамплитудами:∑︁Ψ(r, ) = (k ·r) − .(2.17)Здесь мы предполагаем, что все вторичные волны имеют одну и ту жеэнергию, так что итоговая картина, которая по-прежнему представляет стационарное состояние, имеет не такое «скучное» пространственноераспределение: помимо некогерентной суммы интенсивностей отдельныхкомпонент, присутствует и их интерференция:∑︁∑︁(r) =| |2 + 2 R*′ (k −k′ )·r .(2.18)пары ̸=′2.4 Потенциальная стенка51Теперь плотность вероятности уже неоднородна в пространстве и в ней проявляются максимумы и минимумы.
Вероятнее всего обнаружить частицувблизи максимумов, и можно сказать, что экспериментальная установка, локализуя частицы в некоторых областях, уменьшает вероятность ихнахождения в других местах. В случае суперпозиции волн с разными частотами итоговая картина будет нестационарной, демонстрируя биенияво времени.Неопределённость в импульсе — это цена, которую приходится платитьза локализацию в пространстве. Так как волновая функция (2.17) содержитразные плоские волны, то можно ожидать, что эксперименты по измерениюимпульса будут давать разные результаты. Развивая предыдущие рассуждения, можно интерпретировать амплитуды входящих в суперпозициюволн, как их амплитуды вероятности, так что относительные вероятности для различных значений k пропорциональны | |2 . Для конечнойсуммы | |2 получаем абсолютную вероятность:| |2 = ∑︀,2 | |∑︁ = 1.(2.19)Более подробная информация о возможном положении частицы получается за счёт утери информации об импульсе. Это наша первая встречас так называемым принципом неопределённости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
