1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Вычисляя интеграл (2.63) с точкой остановки ′ = /,получаем{︃}︃√︂]︁√︀2 2 [︁ −12 ≈ exp −,(2.64) cos − 1 − ~√︀√︀где = / = /′ . Для не слишком большой энергии вылетающей альфа-частицы точка выхода ′ находится довольно далеко от ядра′ ≫ , поэтому обычно ≪ 1, cos−1 ≈ /2 и главный экспоненциальныйчлен экспоненты равен[︃]︃√︂ 2 ≈ exp −.(2.65)~Имея после туннелирования нулевую скорость, альфа-частица ускоряетсяиз-за√︀кулоновского отталкивания и приобретает на бесконечности скорость = 2/. Обычно результат (2.65) выражается в терминах этой скоростии параметра Зоммерфельда : ≈ −(2/~) = −2 ,=1 2 2.~(2.66)Эти рассуждения справедливы для ≫ 1.То же выражение для вероятности прохождения может быть использовано для оценки противоположных процессов: ядерного синтеза и другихядерных реакций, которые происходят после того, как внешняя частица,преодолев кулоновское отталкивание, проникает внутрь ядра.
В частно-66Глава 2 Волновая функция и простейшие задачисти, это важно для реакций термоядерного синтеза, таких как слияниядвух дейтронов и других реакций, протекающих внутри звёзд. Повышениетемпературы имеет решающее значение для повышения вероятности туннелирования из-за очень чувствительной экспоненциальной зависимостивероятности от энергии.И жили они на дне колодца. . .Льюис КэрроллГлава 3Связанные состояния3.1 Потенциальный ящикМы уже обсудили простейший случай инфинитного движения как минимум с одной стороны, в кусочно-постоянных потенциалах. Теперь обратимсяк случаю запертой волны. Здесь граничные условия приводят к связаннымсостояниям дискретного энергетического спектра.
Для начала ограничимодномерное движение, поставив с обеих сторон непроницаемые стенки(рис. 3.1).Мы ищем стационарные состояния с энергией . Внутри потенциального ящика одномерное движение является свободным. Квантовая волначастицы массы имеет волновое число , которое определяется значениемэнергии с точностью до знака (двукратное вырождение).
Двум знакамсоответствуют волны, идущие вправо или влево. Бесконечно высокие стенки полностью отражают волну, которая при отражении меняет знак на противоположный. Стационарная картина должна состоять из двухкомпонент:√︀() = + − , = 2/~2 .(3.1)Мы уже знаем из предельного случая, разобранного в разделе 2.4, чтопод бесконечными потенциальным барьером волны не проходят и чтовыполняются граничные условия:( = 0) = ( = ) = 0.(3.2)68Глава 3 Связанные состоянияU(x)E0axРис. 3.1: Потенциал «ящика»Условие для = 0 даёт = −, что соответствует отсутствию потока черезстенку. Следовательно, решение принимает синусоидальный вид (2.24):() = 2 sin().(3.3)Для выполнения граничного условия на стенке = уже нет свободныхамплитуд ( = 0 приводит к тривиальному решению полного отсутствияволны, ≡ 0).
Единственный путь для удовлетворения граничного условия — это выбрать специальные квантованные значения волнового числа:=, = 1, 2, ...(3.4)( = 0 зануляет всю функцию, а отрицательные значения дают те же решения, но с противоположным знаком). Выбор (3.4) определяет дискретныйэнергетический спектр: =~2 2 2 ,22(3.5)и квантовое число однозначно помечает стационарные состояния .Хотя добавление произвольного множителя не меняет относительныевероятности, волновые функции связанных состояний (финитное движение) могут быть нормированы в соответствии с (2.6). В данном случаенормировка может быть одинаковой для всех состояний . Нормированныестационарные волновые функции получаются в виде стоячих волн:√︂(︁ )︁2.(3.6) () =sinВозникшая картина в точности соответствует описанию нормальных колебаний струны, закреплённой на концах (рис. 3.2).
В соответствии с услови-3.1 Потенциальный ящик69n=3n=2n=1x=0x=a/2y=0x=aРис. 3.2: Волновые функции низших стационарных уровней частицы в потенциальном ящикеем квантования (3.4) длина кратна целому числу полуволн: = (/2).Вероятность |()|2 нахождения частицы в положении осциллирует в пространстве, проходя через максимумы и минимумы (узлы, где () = 0).
Приочень больших квантовых числах колебания происходят настолько часто,что имеет смысл взять среднее значение sin2 , равное 1/2, в малом интервале Δ, который всё ещё содержит достаточно много периодов колебаний.Такая усредненная вероятность,||2 Δ =Δ,(3.7)соответствует естественному описанию частиц, равномерно распределённыхмежду стенками. Однако, используя увеличительное стекло, мы смогли быразрешить структуру минимумов и максимумов.Легко обобщить это решение на трёхмерный ящик с размерами , и вдоль трёх ортогональных осей , и .
В соответствии с граничнымиусловиями волновая функция исчезает на всех стенках объёма = .Следовательно, волновая функция характеризуется здесь тремя целыми70Глава 3 Связанные состоянияквантовыми числами , и :√︂(︁ )︁(︁ )︁(︁ )︁8 , , (, , ) =sinsinsin,а энергия стационарного состояния (3.8) равна[︃]︃2~2 2 2 2+ 2 + 2 .( , , ) =2 2(3.8)(3.9)3.2 Ортогональность и полнотаНабор стационарных волновых функций (3.6) с учётом временной зависимости, определяемой энергией (3.5),√︂(︁ )︁2sin−(/~) ,(3.10)Ψ (, ) =обладает стандартными свойствами, которые мы встретим и в более сложных примерах.Число узлов внутри ящика равно − 1. Для каждого следующего состояние число узлов увеличивается на единицу.
Волновые функции состоянийимеют чередующуюся симметрию по отражению относительно серединыящика = /2. Если сдвинуть точку отсчёта, положив = −/2 (рис. 3.2),то можно записать волновую функцию как косинус для нечётных и синусдля чётных . Это позволяет разделить набор состояний на чётные инечётные функции от : (−) = () и () = −(−) соответственно.Таким образом, функциям можно приписать квантовое число чётностьΠ = (−)+1 . В этом простом случае чётность не является дополнительнымквантовым числом и полностью определяется номером или энергиейсостояния . Существование определённой чётности стационарного состояния следует из симметрии потенциала: ящик симметричен относительноцентральной оси.
Для трёхмерной коробки инверсия всех осей по отношению к центру позволяет определить чётность стационарного состояния какΠ = (−) + + +1 .Легко проверить, что стационарные волновые функции, соответствующие разным энергиям, ортогональны. Определим ортогональность двух3.2 Ортогональность и полнота71функций в терминах интеграла от их произведения по объёму ящика:∫︁ * () () = .(3.11)0Здесь был использован дискретный символ Кронекера{︂1, = , =0, ̸= .(3.12)Предвидя, что стационарные волновые функции в других случаях могутбыть комплексными, хотя в случае ящика они вещественны, определимортогональность с использованием комплексного сопряжения левой функции произведения, чтобы норма функции ( = в (3.11)) всегда былавещественна и положительна, а для нормированных функций равна 1.Набор этих волновых функций также является полным: как следуетиз стандартного преобразования Фурье, любые колебания струны можнопредставить в виде суперпозиции нормальных колебаний, которые представляют из себя не что иное, как наши стационарные состояния.
Произвольнаяфункция () с нулевыми значениями на стенках ящика внутри этогоящика может быть разложена в ряд (в общем случае бесконечный) Фурьепо синусам: () =∞∑︁ ().(3.13)=1* , с помощью ортогональности иУмножая обе части (3.13) на функцию условия нормировки (3.11) выделяем в правой части только слагаемое сномером :∫︁ * = () ().(3.14)0Если разложение в ряд (3.13) корректно, то функция () полностьюопределяется коэффициентами . Они несут ту же информацию, так чтомножество { } может быть названо волновой функцией в энергетическомпредставлении.
Теперь, подставив выражение (3.14) в разложение (3.13),получаем:∫︁∑︁ () = ′ (′ ) ()* (′ ).(3.15)72Глава 3 Связанные состоянияЭто должно быть тождеством: для любой функции (), удовлетворяющейграничным условиям, сумма в (3.15) извлекает из полного интеграла (взятого по допустимому интервалу) значение этой функции в данной точкевнутри интервала. Это условие полноты может быть сформулировано спомощью дельта-функции Дира́ка:∑︁ ()* (′ ) = ( − ′ ).(3.16)Ниже мы напомним основные свойства дельта-функции.3.3 Дельта-функция⋆Дельта-функция ( − 0 ) может быть определена на физическом уровнестрогости как интегральный оператор, который, действуя на произвольнуюрегулярную при = 0 функцию (), извлекает значение этой функциив точке 0 :∫︁ ( − 0 ) () = (0 ),(3.17)если точка = 0 находится внутри интервала интегрирования.
Еслиинтервал интегрирования не включает эту точку, то результат равен нулю. Для того чтобы так действовать, дельта-функция ( − 0 ) должнаравняться нулю везде, кроме точки = 0 , в которой её значение становится бесконечно большим, чтобы результат интегрирования получилсяконечным.Такие сингулярные функции даже не рассматриваются математикамикак функции. Они принадлежат к классу обобщённых функций или распределений. Условие полноты (3.16) означает, что в любой паре точек ̸= ′различные функции из бесконечного набора { ()} имеют разные знакии результат стремится к нулю после сложения бесконечного числа практически случайных вкладов.
Напомним, что функции ортогональны и имеютразное количество узлов. Напротив, для = ′ все вклады бесконечнойсуммы (3.16) положительны и результат этой суперпозиции бесконечен.Можно подойти к описанию дельта-функции через предельный переход,начинающийся с «нормальной» функции, которая в процессе переходаконцентрирует всю свою «силу» в одной точке = 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
