1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Серия таких измерений выявляет вероятность — частоту появления конкретного результата измерения,характеризующего состояние отдельной частицы.Начальную волновую функцию свободного и для простоты одномерного движения с некоторой неопределённостью импульса и энергии можнопредставить, например, в момент времени = 0 в виде волнового пакета:∫︁Ψ(, = 0) =Φ()(/~) ,(4.1)2~где Φ() — амплитуды плоских волн, собранных в пакет. Множитель (2~)−1добавлен, чтобы сделать будущую нормировку более удобной. Во времяпоследующей эволюции системы каждая составная часть пакета распространяется с ее собственной частотой ()/~, определяемой законом дисперсии().
В момент времени волновой пакет представляет собой суперпозициюисходных компонент с той же амплитудой Φ(), но с другими, зависящимиот времени фазами:∫︁Φ()(/~)[−()] .(4.2)Ψ(, ) =2~100Глава 4 Динамические переменныеМногообразие накопленных компонентами волнового пакета фаз приводитк интерференционной картине, которая развивается во времени.Утверждение, согласно которому амплитуды Φ() не меняются со временем, означает, что при свободном движении импульс сохраняется, даже еслион не имеет определённого значения в приготовленном квантовом состояниитипа пакета. Импульс частицы может быть измерен, например, с помощьюэффекта Комптона или каким-либо другим способом. При любом актерегистрации определяется только одно из значений, которые представленыв исходной суперпозиции (4.1) и сохраняются без изменений в процессеневозмущённой эволюции.
Измерение импульса производит разложениераспространяющегося волнового пакета на составляющие. Амплитуды Φ()интерпретируются как амплитуды вероятности нахождения импульса внебольшом интервале около значений импульса . Чем больше вероятность() ∝ |Φ()|2 ,(4.3)тем чаще значение будет регистрироваться при измерении.Набор амплитуд Φ() несёт ту же информацию, что и начальная координатная волновая функция Ψ(). Действительно, выражение (4.1) простоозначает, что мы выполняем Фурье-анализ волнового пакета. Как известноиз теории интегралов Фурье: для «хорошей» (не очень сингулярной) функции Ψ() обратное преобразование определяет Фурье-образ изначальнойфункции волнового пакета∫︁Φ() = Ψ()−(/~) .(4.4)Часто преобразования (4.1) и (4.4) записываются в симметричной форме с коэффициентом (2~)−1/2 (или (2~)−3/2 для трёхмерного движенияс интегрированием по 3 в выражениях (4.1) и (4.2)) в обоих выраженияхи для импульса, и для координаты.
Мы предпочитаем собрать эти коэффициенты в определении координатного волнового пакета (4.1) по аналогии спринятыми ранее в разделе 3.7 соглашениями. Для доказательства справедливости выражения (4.4) достаточно подставить его обратно в определение(4.1) и использовать представление дельта-функции через интеграл (3.25),которое формулирует условие полноты (3.16) для набора плоских волн.Задача 4.14.1 Импульсное представление101Пучок частиц с законом дисперсии () расщепляется при = 0 на дваволновых пакетаΨ(, = 0) = () + ().Начальное перекрытие пакетов определяется как∫︁ ∞Θ (0) = * () ().(4.5)(4.6)−∞Волновые пакеты движутся в бесконечном пространстве вдоль оси . Найдите, как зависит от времени перекрытие Θ ().Решение.Эволюция во времени перекрытия определяется через импульсные волновые функции , () (4.2):}︂*{︂∫︁∫︁(/~)[ −( )] ( )×Θ, = 2~{︂∫︁}︂(4.7)(/~)[ −( )]× ( ).2~Интеграл по координате , равный 2~( − ), аннулирует все интерференционные вклады, включая временную зависимость за исключениемкогерентных по пространственной фазе.
Используя дельта-функцию иинтегрируя по одному из волновых векторов, получаем∫︁ *Θ () = () () = Θ (0).(4.8)2~ Перекрытие остаётся неизменным, потому что при свободном движениикаждая из импульсных компонент движется независимо в соответствии с еёимпульсом и энергией. Только взаимно когерентные волны интерферируютв бесконечном пространстве, а они имеют одинаковые зависящие от энергии фазы. В любое время перекрытие точно так же выражается черезкоординатную волновую функцию , () (4.6) или через её импульсныйаналог , () (4.8).Вся эта процедура аналогична той, которую мы обсуждали для частицыв потенциальной ящике в разделе 3.2.
В обоих случаях мы используемнабор стационарных состояний (состояний с определённой энергией и поэтому с чисто гармонической временной зависимостью), как полный набор102Глава 4 Динамические переменныебазисных функций. Любая возможная волновая функции в данной системеможет быть представлена в виде линейной комбинации базисных функций.Комбинация может быть дискретной (ряд Фурье) для связанных состоянийв потенциальном ящике или непрерывной (интеграл Фурье) для волновых пакетов. Это различие не является существенным, так как свободноедвижение можно также рассматривать по примеру раздела 3.8, как движение в большом нормировочном объёме, когда квантование делает спектримпульса и энергии дискретным, хотя и очень плотным. Набор базисныхфункций полон в обоих случаях.
Для волновых пакетов условие полноты —аналог выражения (3.16) — выглядит как в (3.25):∫︁∫︁ (/~) (/~)′ * (/~)(−′ )() == ( − ′ ).(4.9)2~2~Аналогично дискретному набору коэффициентов в выражении (3.32)для волновой функции в энергетическом представлении мы можем назватьамплитудную функцию Φ() волновой функцией в импульсном представлении. Опять следует подчеркнуть, что обе, координатная и импульсная,волновые функции содержат одну и ту же физическую информацию имогут быть использованы для описания системы как альтернативы. Таккак при свободном движении сохраняется импульс и его величина определяет энергию, то импульсное представление совпадает с энергетическимпредставлением и зависит от времени какΦ(, ) = Φ(, 0)−(/~)() .(4.10)Как следует из (4.6) и (4.8), если координатная функция нормированав соответствии с (2.6), то соответствующая импульсная волновая функциятакже нормирована:∫︁ *Φ ()Φ() = 1.(4.11)2~Аналогично ортогональность (2.11) функций Ψ() и Ψ′ () влечет ортогональность их импульсных представлений Φ() и Φ′ ().4.2 Знакомство с операторамиЕсли мы интерпретируем |Ψ()|2 как плотность вероятности обнаружениячастицы около точки (здесь мы фиксируем время и не отмечаем явноэтот факт, хотя измерение в другой момент времени в общем случае4.2 Знакомство с операторами103даёт другой результат), то результат многих идентичных измерений будетдавать среднее значение координаты в заданных условиях (сравните сраспределением Гаусса (3.22)):∫︁⟨⟩ = |Ψ()|2 .(4.12)Аналогично среднее значение импульса определяется импульсной волновойфункцией:∫︁ |Φ()|2 .(4.13)⟨⟩ =2~Мы называем такие средние величины математическими ожиданиями.В силу утверждения, что координатное и импульсное представлениянесут одну и ту же информацию, должно быть возможным нахождениесреднего значения координаты непосредственно из импульсной волновойфункции, а математическое ожидание импульса непосредственно из координатной волновой функции.
Можно получить такой алгоритм с помощьювыражения (4.4), которое при подстановке в (4.13) приводит к∫︁∫︁ (/~) −(/~)′ *2⟨⟩ =|Φ()| = ′Ψ ()Ψ(′ ). (4.14)2~2~Интеграл по может быть представлен как(︂)︂(︂)︂∫︁(/~)(−′ )−~= −~( − ′ ),2~а затем интегрирование по ′ даёт итоговый ответ:(︂)︂∫︁⟨⟩ = Ψ* () −~Ψ().(4.15)(4.16)Таким образом, координатное представление Ψ() позволяет предсказатьматематическое ожидание и для координаты, и для импульса.Результат (4.12) может быть переписан аналогично выражению (4.16):∫︁⟨⟩ = Ψ* () Ψ().(4.17)104Глава 4 Динамические переменныеАналогично мы можем выразить оба средних значения и в терминах импульсной волновой функции:∫︁ *⟨⟩ =Φ () Φ(),(4.18)2~(︂)︂∫︁ *Φ().(4.19)Φ () ~⟨⟩ =2~Видно, что в координатном (импульсном) представлении координата (импульс) появляется в виде множителя, тогда как в сопряжённом импульсном(координатном) представлении они становятся дифференциальными операторами.Задача 4.2Чему равно отношение средних значений импульса ⟨ ⟩1 /⟨ ⟩2 для двухвозможных состояний одной частицы 1 () = exp( − 2 ) и 2 () == exp( − 22 ), где и > 0 — вещественные константы?Решение.С помощью прямых вычислений мы получаем, что средние значенияимпульсов одинаковы и равны ⟨⟩ = ~.
Это частный случай более общегоутверждения из главы 7, которое связывает поток вероятности с градиентомфазы волновой функции.Легко повторить наши выводы для динамической переменной, которая является функцией координаты или функцией импульса. Например,для среднего значения ⟨⟩ кинетической энергии () = 2 /2 мы пойдёмпо пути уравнений (4.13)–(4.16), начиная с выражения∫︁ 2⟨⟩ =|Φ()|2(4.20)2~ 2и заканчивая выражением(︂)︂∫︁~2 2*⟨⟩ = Ψ () −Ψ().2 2(4.21)Мы приходим к выводу, что любое среднее значение может быть выражено с помощью оператора, определённого по-разному для любого конкретного (координатного или импульсного) представления, но с результатом, независящим от представления.
В общем случае для динамической перемен^ (помеченный «шляпкой») таким образом, чтоной введём оператор 4.3 Коммутаторы105среднее значение этой величины в любом представлении волновой функцииΨ может быть записано как∫︀∫︁^ Ψ* Ψ^⟨⟩ ≡ ∫︀⇒ Ψ* Ψ,(4.22) Ψ* Ψ∫︀где означает интегрирование по всем переменным представления, выбранного для волновой функции. Первое выражение (4.22) не предполагаеткакой-либо нормировки волновых функций, в то время как второе применимо только к нормированному случаю, как это было принято в (4.12) идалее.
В будущем, как правило, мы будем предполагать, что наши волновыефункции нормированы.Позже мы будем иметь дело с более общими величинами, а именнос матричными элементами, которые похожи на средние значения, ногде левое и правое состояние под интегралом могут быть разными попримеру перекрытия в задаче 4.1. Мы будем использовать удобные «бра-кет»^ ′ ⟩, которые состоят из бра-вектора (комплекснообозначения Дирака ⟨Ψ||Ψсопряжённая функция Ψ* ), оператора и кет-вектора (функция Ψ′ ):∫︁′^^ Ψ′ .⟨Ψ||Ψ ⟩ ≡ Ψ* (4.23)Такие величины формируют матрицу в общем случае бесконечномерную,где строки и столбцы соответствуют всевозможным состояниям Ψ и Ψ′ .Для средних значений, Ψ′ = Ψ, мы иногда будем использовать терминдиагональный матричный элемент, в то время как в случае разных функцийматричный элемент будет называться недиагональным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
