1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Можнотакже переопределить координатный оператор таким образом, чтобы результат измерения координаты остался бы после сдвига таким же, как и досдвига. Ясно, что для этого достаточно создать новый оператор, которыйследует за преобразованием волновой функции:^→^′ = ^ − ,∫︁′′⟨ ⟩ = * ( − )^′ ( − ) = ⟨⟩ .(4.59)(4.60)Стоит также отметить, что плоская волна после сдвига приобретает толькофазу, как следует из вида волны в бесконечном пространстве:(/~)0 (−)^()= −(/~)0 0 ().0 () = 0 ( − ) = (4.61)Это важно для квантовой теории кристаллов, где есть симметрия относительно сдвига на целое число периодов решётки (глава 8).4.6 Введение в теорию групп⋆^С математической точки зрения сдвиги ()образуют непрерывнуюгруппу.
В общем случае группа — это набор элементов {}, имеющих стандартные свойства: бинарная операция умножения определена таким образом, что для каждой упорядоченной пары элементов 1 2 существуетэлемент 3 , называемый их произведением, который может быть записанкак 1 2 = 3 ; эта операция ассоциативна, 1 (2 3 ) = (1 2 )3 ; существуетединичный элемент 1, такой что 1 = 1 = ; для каждого элемента существует обратный элемент −1 , такой что −1 =1. Легко видеть, что( )−1 = −1 −1 .Задача 4.6Построить возможные таблицы умножения для групп, которые содержатдва и три элемента.114Глава 4 Динамические переменныеРешение.В обоих случаях результат будет уникальным: все группы из = 2 элементов изоморфны и все группы из = 3 элементов также изоморфны.При = 2 группа содержит элементы 1 и , причём 2 = 1.
Этот пример соответствует группе инверсии координат, когда = ^ — операторинверсии.Для = 3 у нас есть элементы , −1 и 1 с единственно возможныминетривиальными правилами умножения: = −1 , −1 −1 = .(4.62)Примером может служить плоское вращение равностороннего треугольникана 120∘ , 240∘ и 360∘ . В обоих случаях = 2 и = 3 соответствуютциклическим группам, которые состоят из элементов , 2 , ..., −1 .
Для всехгрупп с конечным числом элементов =1 для любого элемента .Очевидно, все сдвиги в евклидовом пространстве любой размерности^ 1 ) и (a^ 2 ) — это их последообразуют группу. Умножение двух сдвигов (aвательное действие, которое эквивалентно сдвигу на вектор a = a1 + a2 исоответствует их сумме в обычном смысле векторной алгебры. Единичныйэлемент — это «сдвиг» на a = 0, а обратный сдвиг:(︁)︁−1^^(a)= (−a).(4.63)Эта группа является непрерывной, так как его элементы определяютсянепрерывным изменением параметров a. Это позволяет ввести генера^ . Группа называется абелевой или коммутативной, если, как вторы pданном случае, генераторы коммутируют друг с другом или в общем случае1 2 = 2 1 , т. е.
таблица умножения симметрична.В квантовой механике мы часто имеем дело с группами, элементамикоторых являются преобразования физических систем. Под действиемгруппы преобразования каждое состояние переходит в другое состояниетой же системы, а операция умножения определяется как результат двухпоследовательных преобразований.
Множество объектов, т. е. волновыхфункций, которые преобразуются только между собой под действием всехэлементов группы, образует представление группы. Если нет меньшегоподмножества внутри этого множества, которое может сформировать представление, то представление называется неприводимым. Любая «хорошая»функция может быть разложена в интеграл Фурье так, что достаточнорассмотреть преобразование плоской волны (4.61).
Плоские волны явля-4.7 Момент импульса как генератор вращения115ются собственными функциями для всех сдвигов — каждая плоская волнаформирует неприводимое одномерное представление группы сдвигов. Этообщее свойство абелевых групп — их неприводимые представления являются одномерными и определяются общими собственными функциями всехкоммутирующих генераторов.Нужно также отметить, что здесь и далее мы используем активноеописание преобразования, т. е.
преобразуем систему. Другой, эквивалентный, подход использует пассивное описание преобразования, т. е. когдапреобразуется система координат, используемая для описания системы. Вслучае сдвига мы можем сдвинуть начало координат вдоль оси на −,что даст новое положение объекта на расстоянии + как будто после ак^и^ −1 поменялисьтивного сдвига на . В этом описании роли операторов местами.4.7 Момент импульса как генератор вращенияАналогично сдвигу мы можем рассмотреть вращения системы вокругзаданной оси.
Если выбрать ось в качестве оси вращения, то в плоскости удобно использовать полярные координаты (, ): = cos , = sin .(4.64)Совершим в этой плоскости вращение системы на угол (положительноевращение против часовой стрелки), рис. 4.2. Повторяя те же рассуждения,что и для сдвига, преобразуем волновую функцию как(, ) → ′ (, ) = (, − ).(4.65)^ (), где индекс обоСоответствующий оператор вращения обозначим ℛзначает ось вращения. Из выражения (4.65) по аналогии с (4.48) находим,что^ ()() = ( − ),ℛ(4.66)где мы опустили переменные, не затронутые вращением.Опять у нас есть непрерывный параметр — угол поворота , и с ниммы проделываем те же действия, что были проделаны со сдвигом.
Введёмбесконечно малый поворот на угол и найдём соответствующий оператор:^ () = 1 − .ℛ(4.67)116Глава 4 Динамические переменныеαРис. 4.2: Вращение волновой функцииОтсюда соответствующий генератор пропорционален производной по углу/ или -компоненте момента импульса (4.34). Переходя к полярнымкоординатам (4.64), легко получить:1ℓ^ = (^^ − ^^ ) = −~^ () = 1 − · ℓ^ .(4.68)Для вращения на конечный угол мы восстанавливаем полный операторв экспоненциальной форме:^ () = −ℓ^ .ℛ(4.69)Здесь аналогия между вращением и сдвигом заканчивается. В трёхмерном пространстве у нас есть три независимых плоскости вращения, исоответствующие генераторы являются компонентами ℓ^ момента импульса,направленными вдоль осей вращения перпендикулярно этим плоскостям.
В^ генераторы вращения вокруг различных осей ℓ^ неотличие от компонент pкоммутируют (4.37). Операторы вращения образуют группу вращений R(3)в трёхмерном пространстве, но эта группа неабелева. Важные следствияэтого факта будут обсуждаться в первой главе второго тома. Разницасуществует и для двумерного случая. Группа R(2) является абелевой иимеет только один генератор (вращение в плоскости).
Принимая ось вкачестве оси вращения, находим собственные функции () оператора ^с собственными значениями, обозначенными числом :ℓ^ () = − () = () () ∝ .(4.70)4.8 Преобразование операторов117Аналогично плоской волне в случае сдвига в процессе вращения у этойфункции изменяется только фаза (см. (4.61)):^ () = ( − ) = (−) .ℛ(4.71)Но в компактной геометрии однозначная функция координат должна принять то же самое значение после полного поворота на угол = 2. Этоприводит к условию exp(2) = 1.
Поэтому собственные значения ℓ^являются целыми числами, = 0, ±1, ±2 .... Это не что иное, как пространственное квантование из уравнения (1.49). Мы опять подтвердили,что так называемые квантовые постулаты вытекают из требований симметрии, а если точнее, то для данного случая — топологии. Отметим также, что,как и в случае полноты набора плоских волн, угловые функции exp() сцелыми значениями образуют полный набор в пространстве однозначныхугловых функций; соответствующее разложение — это просто ряд Фурье.Для того чтобы получить ортонормированный√ набор, нужно умножитьэкспоненту на нормировочный множитель 1/ 2:1 () = √ ,2∫︁ 2∫︁ 21′*()()= (− ) = ′ .′200(4.72)(4.73)Будучи собственной функцией всех операторов поворота в плоскости, каждая функция () реализует одномерное представление этой абелевойгруппы.4.8 Преобразование операторовПреобразование координатного оператора (4.59) является частным случаем более общего правила.
Если мы хотим преобразовать и волновую^ то мы применяем преобразование ^ к результафункцию , и оператор ,^ту действия . Предполагая существование обратного преобразования,получаем(︁ )︁^^ = ^^^−1 ^ ≡ ^′ ′ .(4.74)118Глава 4 Динамические переменныеЭто означает, что преобразование только самого оператора определяетсякак^ ⇒ ^′ = ^^^−1 .(4.75)В случае сдвига мы получаем:^^ ^(−)^^ (/~)^ .^ ⇒ ()≡ ()= −(/~)^ (4.76)Чтобы найти результат подобного преобразования, можно использовать^наличие непрерывного параметра. Взяв производную от ()по параметру и сохраняя порядок операторов, получаем^()^ (/~)^ .= − −(/~)^ [^, ]~(4.77)Результат преобразования определяется коммутатором исследуемого оператора с генератором преобразования, в данном случае с оператором импульса.Для простых операторов координаты и импульса выражения (4.24) и (4.77)дают^()= −1,^()= 0.(4.78)Эти дифференциальные уравнения решаются с начальными условиями^( = 0) = ^,^( = 0) = ^.(4.79)Решение представляет собой естественный результат преобразования в результате сдвига:^() = ^ − ,^() = ^,(4.80)координатный оператор сдвигается как в (4.59), импульсный операторостаётся неизменным.Задача 4.7^Найдите преобразование произвольной функции ^ () при сдвиге ().Решение.Оператор преобразования (4.76):^ (; ) = −(/~)^ ^ ()(/~)^ .(4.81)4.8 Преобразование операторов119Используя результат (4.33), из (4.77) получаем: ^ (; ) ^ (; )=−.(4.82)Общее решение этого дифференциального уравнения в частных производных даётся произвольной функцией со смещённым аргументом:^ (; ) = ^( − ).(4.83)Из начальных условий ^ (; 0) = ^ () получаем, что преобразованныйоператор есть смещённый начальный оператор^ (; ) = ^ ( − )(4.84)в согласии с преобразованиями (4.49) и (4.59).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
