1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 27
Текст из файла (страница 27)
уравнение (6.21)). В качествеполного набора промежуточных состояний можно взять множество локализованных∫︀ 3 состояний с определёнными значениями координаты r, так что∑︀→ и, в соответствии с формулой (6.20), (Ψ , Ψ ) = ⟨r|⟩ = Ψ (r)является координатой волновой функции состояния . Тогда ⟨|⟩ является амплитудой вероятности нахождения координаты r в состоянии плоскойволны, т.
е. координатной волновой функции плоской волны:(Ψ , Ψ ) = ⟨|⟩ = ⟨r|p⟩ = (/~)(p·r) .(6.37)С учётом комплексного сопряжения в уравнении (6.36) мы приходим к стандартной форме преобразования Фурье (4.4):∫︁Φ (p) = 3 −(/~)(p·r) Ψ (r).(6.38)Если взять в качестве набора промежуточных состояний полный наборсостояний |′ ⟩ со всеми возможными значениями ′ тех же переменных, которые используются для идентификации исходного состояния |⟩, принципсуперпозиции примет форму∑︁(6.39)⟨|⟩ =⟨|′ ⟩⟨′ |⟩.′178Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыЭто равенство может быть выполнено в любом представлении тольков том случае, если амплитуда ⟨′ |⟩ отбирает всего одну точку ′ = во всей области интегрирования по ′ , т. е.⟨′ |⟩ = (′ , ),(6.40)где — символ Кронекера для дискретного спектра и дельта-функцииДирака для непрерывного спектра переменных .
Это означает, аналогично уравнению (6.33), что векторы состояния данного представления,но с различными значениями переменных должны быть ортогональны.В дискретном спектре вероятность можно нормировать, (; ) = |⟨|⟩|2 = 1,(6.41)и тогда, используя свойство (iii) (6.27),⟨|⟩ = 1.(6.42)Это совпадает с уравнением (6.40). С другой стороны, для ′ ≠ вероятность найти значение ′ в состоянии |⟩ с ̸= ′ должна исчезать, чтотакже следует из (6.40).
Ненормируемые состояния непрерывного спектрамогут рассматриваться с помощью предельного перехода. Напомним, чтосаму -функцию следует понимать именно таким образом (см. раздел 3.3).При условии выполнения нормировки максимальный набор независимыхпромежуточных состояний |⟩ образует полный ортонормированный базис,который может быть использован для разложения (6.19) произвольноговектора состояния |⟩.
Условие полноты набора |⟩, как видно из (6.19),формально можно записать в виде разложения единицы∑︁|⟩⟨| = 1.(6.43)Это следует понимать как утверждение, что действие оператора в левойчасти (6.43) на любой вектор состояния полностью воспроизводит этотвектор — собираются все проекции исходного состояния. Если мы поместимуравнение (6.43) в обкладки между локализованными состояниями, тополучим∑︁⟨r′ |⟩⟨|r⟩ = ⟨r′ |r⟩ = (r′ − r),(6.44)6.5 Линейные операторы⋆179что является нашим старым условием полноты (3.16) в новых обозначениях.Если набор полон, то полная вероятность всех возможных результатовизмерения переменных для данного (нормированного) состояния |⟩ всумме даст 1,∑︁∑︁∑︁∑︁ (; ) =|⟨|⟩|2 =⟨|⟩* ⟨|⟩ =⟨|⟩⟨|⟩ =(6.45)= ⟨|⟩ = 1.Требование полноты, по существу, эквивалентно учёту вероятностей всехвозможных процессов.Подводя итог, мы постулируем, что для каждой квантовой системы можно ввести векторное пространство.
Каждое возможное состояние системыявляется вектором в этом пространстве и может быть представлено в виделинейной комбинации базисных векторов, принадлежащих к полному набору независимых состояний. Наблюдаемые физические величины будутописывается линейными операторами, действующими в этом векторномпространстве. Строго говоря, мы можем работать с лучами, а не полнымивекторами, так как нормировка векторов состояния является произвольной.6.5 Линейные операторы⋆^ — это правило, по которому преобразуется состоЛинейный оператор яние из данного пространства в другое состояние в том же пространстве,причём преобразование линейно по отношению к произвольным комплексным коэффициентам суперпозиции, представляющей исходное состояние,^^^(Ψ + Ψ ) = Ψ + Ψ .(6.46)Проекция вектора на данное состояние (формула (6.26)) является примеромлинейного оператора.
Если в результате действия оператора состояние|Ψ⟩ не меняется, а только умножается на численный (в общем случаекомплексный) множитель:^|Ψ⟩= |Ψ⟩,(6.47)^ соответто это состояние является собственным вектором оператора ,ствующим собственному (характеристическому) значению . Совокупностьсобственных значений данного оператора образует его спектр. Собственный180Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторывектор принадлежит к определённому собственному значению, хотя дляданного собственного значения может существовать несколько линейнонезависимых собственных векторов. В этом случае собственное значениеназывается вырожденным. Все собственные векторы линейного оператора,которые принадлежат к одному и тому же в собственному значению, образуют подпространство, и любая линейная комбинация этих векторов такжепринадлежит этому подпространству.
Размерность этого подпространстваесть степень (кратность) вырождения.Рассмотрим полный набор ортонормированных состояний |⟩. Как мыуже говорили, эти состояния удовлетворяют условиям (6.33) и (6.43),⟨|⟩ = (, ),∑︁|⟩⟨| = 1.(6.48)(6.49)^ действиеВ правой части (6.49) фактически стоит единичный оператор, 1,которого на произвольное состояние тривиально,^1|Ψ⟩= |Ψ⟩.(6.50)Как правило, мы будем опускать «шляпку» у единичного оператора.
Произвольный вектор может быть выражен в виде суперпозиции базисныхвекторов,∑︁|Ψ⟩ = |⟩,(6.51)где коэффициенты разложения (обобщенные Фурье-амплитуды) находятсяиз условия ортогональности (6.48), = ⟨|Ψ⟩.(6.52)В силу свойства линейности (6.46) действие линейного оператора полностьюопределяется его действием на векторы базиса |⟩:∑︁^^|Ψ⟩= |⟩.(6.53)^ на базисный вектор |⟩, опять моВектор, получающийся при действии жет быть представлен как комбинация базисных векторов |⟩ с некоторыми6.5 Линейные операторы⋆181коэффициентами ,∑︁^|⟩= |⟩.(6.54)^ в данномЧисленные коэффициенты образуют матрицу оператора базисе, поэтому формулу (6.54) можно интерпретировать двумя способами:(i) как преобразование («вращение») базиса, когда повёрнутые векторы базиса разложены по векторам старого базиса, и (ii) как правило, по которомулюбому оператору в фиксированном базисе |⟩ сопоставляется соответствующая матрица.
По аналогии с определением коэффициентов Фурье вуравнении (6.52) матричные элементы могут быть определены путёмумножения (6.54) на бра-вектор ⟨|,^ = ⟨||⟩.(6.55)В другом базисе матрица этого же оператора будет другой.^ ,^ является оператором, который естьПроизведение операторов, ^ = ^ а затем оператора .^результат последовательного действия оператора ,Матричные элементы этого произведения операторов могут быть найденыкак∑︁∑︁^ |⟩^^ = () = ⟨|= ⟨| |⟩ = ,(6.56)т. е. матрица произведения операторов является обычной матрицей, получающейся в результате перемножения (строк на столбцы) матриц, соответствующих перемножаемым операторам.
Конечно, необходимо соблюдатьпорядок операторов, поскольку операторы в общем случае не коммутируют и их коммутаторы (см. раздел 4.3) не обращаются в нуль. Результат(6.56) можно также записать, используя условия полноты (6.49) для промежуточного набора состояний |⟩. Единичный оператор можно вставлятьвнутрь любого операторного соотношения:∑︁∑︁^ |⟩^^^⟨|=⟨||⟩⟨||⟩= .(6.57)Операторные соотношения, в отличие от матричных, имеют универсальныйвид, который не требует конкретизации базиса, поскольку они являютсясоотношениями между величинами, не зависящими от выбора системыкоординат.182Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторы6.6 Эрмитовы операторы⋆Операторы, соответствующие физическим наблюдаемым величинам,должны обладать специальными свойствами.
Проблема состоит в установлении связи (в общем случае комплексных) матричных элементов операторовс реальными результатами физических измерений.^ комплексноВо-первых, определим для каждого линейного оператора *^сопряжённый оператор , потребовав, чтобы в любом базисе матричныеэлементы двух операторов быть взаимно комплексно сопряженными,^* :(* ) = ( )* .(6.58)^ — транспонированВо-вторых, введём другой оператор, связанный с ,^ный оператор , который получается в результате перестановки строк истолбцов в матрице,^ :^ ) = .((6.59)С помощью формулы (6.57) легко устанавливаются простые правила дляпроизведения операторов:^ )^ *=^ *^*,((6.60)^ )^ =^ ^ .((6.61)Введём теперь путём объединения двух предыдущих свойств понятие^ † .
Для любого оператора ^ его эрмиэрмитово сопряжённого оператора тово сопряжённый оператор определяется таким образом, что для любыхдвух векторов |Ψ⟩ и |Ψ′ ⟩^ Ψ′ ) = (Ψ, ^ † Ψ′ ),(Ψ,(6.62)^ нат. е. его действие на кет-вектор даёт тот же результат, что действие ††^^бра-вектор. Очевидно, что ( ) = . С учётом соотношения взаимности(6.25) мы находим, применяя (6.62) к базисным векторам,^ † Ψ ) = (Ψ^ , Ψ ) = (Ψ , Ψ^ )*(Ψ , († ) = * (6.63)или, используя (6.58) и (6.59),^ † = (^ )* = (^ * ) .(6.64)6.6 Эрмитовы операторы⋆183Из (6.60) и (6.61) для произведения операторов получаем^ †.^ )^ †=^†((6.65)^ является эрмитовым (самосопряжённым), если он совпадаетОператор ^=^ † .
Матричные элементысо своим эрмитово сопряжённым оператором, эрмитова оператора удовлетворяют условию = * ;(6.66)диагональные элементы матрицы всегда вещественны, в то время каклюбой недиагональный матричный элемент комплексно сопряжён со своимзеркальным отражением относительно главной диагонали. Произведениедвух эрмитовых операторов является эрмитовым, только если они коммутируют:^ )^ †=^†^† = ^ ,^((6.67)^ .^ Тем не менее всегда можно построитьчто в общем случае не равно две эрмитовых комбинации, антикоммутатор:^ ]^+≡^^+^^[,(6.68)и (с множителем ) коммутатор (4.26):^ ]^ ≡ (^^−^ ).^[,(6.69)Задача 6.3Покажите, что^ оператор ^+^ † эрмитов;а) для любого оператора ^б) для любого эрмитова оператора и любых, не обязательно базисных,векторов |Ψ⟩ и |Ψ′ ⟩ справедлив аналог уравнения (6.66),^^ ′ ⟩* ;⟨Ψ′ ||Ψ⟩= ⟨Ψ||Ψ(6.70)^ оператор ^ †^ является эрмитовым, ив) для произвольного оператора для любого вектора состояния |Ψ⟩ выполняется^ † |Ψ⟩^⟨Ψ|> 0.(6.71)184Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыВ главе 4 мы познакомились с операторами, соответствующими простейшим динамическим переменным: координатам, импульсам и моментамимпульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
