1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Оператор ^6.12 Операторы наблюдаемых197для динамической переменной мы определяем как сумму проекционныхоператоров (6.127) по всем возможным значениям ′ этой переменной (весьспектр ), умноженной на соответствующее значение этой величины,∑︁∑︁^ ′) =^ =(6.129)′ Λ(′ |′ ⟩⟨′ |.′′Задача 6.12В соответствии с общим определением (6.129) операторы координаты иимпульса могут быть выражены как∫︁∫︁ |⟩⟨|,(6.130)^ = |⟩⟨|, ^ =2~где локализованные состояния |⟩ и состояния плоской волны |⟩ мы используем как полные наборы, и нормировка в импульсном пространствевыбирается согласно (4.2). Докажите, что эти выражения определяютстандартный коммутатор (4.28).Решение.С использованием координатной волновой функции ⟨|⟩ = exp[(/~)]плоской волны коммутатор операторов (6.130) равен∫︁{︁}︁[^, ^] = (/~) |⟩⟨| − −(/~) |⟩⟨| .(6.131)2~Преобразуя состояния |⟩ в координатное представление и интегрируязатем по , получаем∫︁(/~)(−) |⟩⟨|( − ) =[^, ^] = 2~∫︁(6.132)= |⟩⟨|( − ) ~( − ).Тогда матричный элемент коммутатора между произвольными состояниямивыражается как∫︁⟨|[^, ^]|⟩ = * () ()( − )~( − ).(6.133)198Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыИнтегрируя сначала по с использованием дельта-функции, мы приходимк выражению]︂[︂ (︁∫︁)︁**=⟨|[^, ^]|⟩ = ~ () () − (6.134)∫︁*= ~ () (),что доказывает [^, ^] = ~.С учётом определения (6.129) результат действия оператора ^ на состояние |⟩ с определённым значением переменной сводится к умножениюсостояния на эту величину,∑︁∑︁^ ′ )|⟩ =^ =|⟩′ Λ(′ (, ′ )|⟩ = |⟩.(6.135)′′Таким образом, если переменная имеет в данном состоянии определённоезначение , это состояние является собственным состоянием оператора^ с собственным значением, как раз равным .

В результате измерения можно получить любое возможное значение и только одно из этихзначений. Таким образом, каждый возможный экспериментальный результат является собственным значением ^ и, наоборот, любое собственноезначение может в некоторых ситуациях появляться в результате измерения.Спектр оператора, отвечающего данной наблюдаемой, предопределяет всевозможные результаты её измерений.Теперь легко найти, как оператор ^ действует на произвольное состояние|Ψ⟩, а не на состояние с определённым значением .

В общем случаепеременная не имеет определённого значения в состоянии |Ψ⟩. Тем неменее множество состояний |⟩, охватывающее все возможные собственные^ является полным, и мы можем разложить |Ψ⟩, используя этотвекторы ,набор в качестве базиса,∑︁|Ψ⟩ =|⟩⟨|Ψ⟩.(6.136)Оператор ^ (см.

уравнения (6.129) и (6.128)) действует как∑︁∑︁^^|Ψ⟩=|⟩⟨|Ψ⟩=|⟩⟨|Ψ⟩.(6.137)6.12 Операторы наблюдаемых199Пусть имеется много одинаковых систем, приготовленных в состоянии|Ψ⟩. При измерении переменной каждое испытание даёт определённыйрезультат — одно из собственных значений . Среднее значение при большом числе измерений является ожидаемым значением ⟨⟩Ψ . Согласноопределению вероятности (; Ψ) различных значений среднее значениеравно∑︁⟨⟩Ψ = (; Ψ).(6.138)Вероятность равна квадрату амплитуды ⟨|Ψ⟩,∑︁|⟨|Ψ⟩|2 ,⟨⟩Ψ =(6.139)или, используя свойства взаимности (6.25) и линейности (6.26),∑︁∑︁∑︁⟨⟩Ψ =⟨|Ψ⟩* ⟨|Ψ⟩ =⟨Ψ|⟩⟨|Ψ⟩ = ⟨Ψ|⟩⟨|Ψ⟩.

(6.140)Сравнивая (6.140) с (6.137), мы получаем, что среднее значение переменной в состоянии |Ψ⟩ даётся диагональным матричным элементом^оператора ,^^⟨⟩Ψ = ⟨Ψ||Ψ⟩≡ (Ψ, Ψ),(6.141)как мы видели и ранее (см. (4.17)). Поскольку все результаты измерений, атакже их средние значения являются вещественными, операторы наблюдаемых должны быть эрмитовыми. Отметим также, что для нормированногособственного состояния |⟩, где имеет определённое значение , среднеезначение должно совпадать с этим собственным значением,⟨⟩ = .(6.142)Среднее значение само по себе не может полностью описывать распределение экспериментальных результатов.

Следующей важной характеристикойсостояния |Ψ⟩ является среднеквадратичное отклонение измерений от среднего значения ⟨⟩Ψ — то, что в главе 5 мы называли неопределённостью,200Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторы(Δ)Ψ . Теперь мы можем сформулировать это понятие более точно:√︀(Δ)Ψ = ⟨( − ⟨⟩Ψ )2 ⟩Ψ =√︁√︁(6.143)= ⟨2 − 2⟨⟩Ψ + ⟨⟩2Ψ ⟩Ψ = ⟨2 ⟩Ψ − ⟨⟩2Ψ .Неопределённость (Δ)Ψ исчезает тогда и только тогда, когда состояние^ В противном случае|Ψ⟩ является собственным состоянием оператора .результат измерения не может быть предсказан однозначно и квантоваятеория даёт только вероятности различных результатов.6.13 Одновременная измеримостьМы постулировали, что каждой динамической переменной может быть^ действующий в гильбертопоставлен в соответствие эрмитов оператор ,вом пространстве системы.

Набор собственных векторов |⟩ оператора ^является полным и ортонормированным. Однако полная характеристикасостояния требует знания максимального набора величин, которые могутодновременно иметь определённые значения. Величины и одновременно измеримы в состоянии |Ψ⟩, если измерение каждой из них даётоднозначный результат.

Тогда состояние |Ψ⟩ должно быть собственным^состоянием обоих операторов, ^ и ,^|Ψ⟩= |Ψ⟩,^|Ψ⟩= |Ψ⟩.(6.144)Если (6.144) выполнено, мы имеем^^^|Ψ⟩= |Ψ⟩= |Ψ⟩,^ |Ψ⟩^= |Ψ⟩,(6.145)т. е. состояние |Ψ⟩, где величины и одновременно измеримы, является^ ]^ с собственным значением равнымсобственным для коммутатора [,нулю,^ −^ )|Ψ⟩^^ ]|Ψ⟩^(^= [,= 0.(6.146)Для произвольной пары величин , условие (6.145) может быть выполнено только для конкретных состояний |Ψ⟩ и часто не может выполнятьсявообще.

Однако существуют пары коммутирующих переменных, которыеудовлетворяют операторному тождеству^ ]^ = 0.[,(6.147)6.13 Одновременная измеримость201Покажем, что (6.147) является необходимым и достаточным условиемсуществования полного набора состояний, которые являются одновременно^собственными состояниями операторов ^ и .Тот факт, что уравнение (6.147) необходимо, почти очевиден. Предположим, что такая система состояний |Ψ ⟩ ≡ |⟩ действительно существует.Тогда произвольный вектор |Ψ⟩ можно разложить согласно∑︁|Ψ⟩ =|⟩⟨|Ψ⟩.(6.148)Поскольку^^|Ψ⟩=∑︁^ |Ψ⟩,^|⟩⟨|Ψ⟩ = (6.149)мы имеем для произвольного состояния |Ψ⟩^ ]|Ψ⟩^[,= 0,(6.150)и это эквивалентно (6.147).Обратно, пусть (6.147) справедливо. Покажем сначала, что любой собственный вектор |Ψ⟩ оператора ^ с невырожденным собственным значени^ Из |Ψ⟩^ем является в то же время собственным вектором .= |Ψ⟩ и^^^^коммутативности = следует, что^^ |Ψ⟩^^^^|Ψ⟩== |Ψ⟩= |Ψ⟩,(6.151)^т.

е. |Ψ⟩также является собственным вектором ^ с тем же собственным^значением . Так как не вырождено, векторы |Ψ⟩ и |Ψ⟩линейно зави^симы, |Ψ⟩ = |Ψ⟩, а это означает, что |Ψ⟩ также является собственным^ Теперь предположим, что собственное значение вектором оператора .^оператора является -кратно вырожденным. Как указывалось выше (раздел 6.8), в данном ограниченном -мерном пространстве мы можем всегда^ В результате получим линейные комбинации,диагонализовать оператор .^ причём любаякоторые являются собственными векторами оператора ,линейная комбинация векторов в этом подпространстве автоматически^является собственным вектором оператора .Задача 6.13202Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторы^ и ^ два оператора, коммутирующих с ,^ |⟩ — собственноеПусть ^^^состояние с собственным значением , и [, ]|⟩ ≠ 0.

Докажите, чтособственное значение является вырожденным.Ситуация, описанная в последней задаче, показывает пути к нахождениюдополнительных квантовых чисел для того, чтобы иметь возможностьразличать между состояниями, вырожденными по отношению к некото^ Отсюдарому оператору, в данном случае — по отношению к оператору .^^следует, что, по крайней мере, один из векторов |⟩ и |⟩ (или оба)^являются линейно независимыми от |⟩. Пусть, например, |⟩ и ||⟩линей^ в вырожденномно независимы.

Мы можем диагонализовать оператор ^ Векторы нового базиса имеют одинаковые собственныеподпространстве .^ но собственные значения оператора ^ не могутзначения оператора ,быть все равными (докажите это!). Таким образом, собственные значения могут быть использованы для классификация различных состояний содним и тем же значением .Задача 6.14^ антикоммутируют, ^^+^ ^ = 0. Могут ли ониОператоры ^ и одновременно иметь определённые значения? Приведите пример антикоммутирующих операторов.6.14 Количественное описание соотношениянеопределённостей^ и состояние |Ψ⟩, причёмРассмотрим пару эрмитовых операторов ^ и ^ ]|Ψ⟩^[,≠ 0.(6.152)Как следует из предыдущего раздела, в состоянии |Ψ⟩ эти два оператора немогут иметь одновременно определённые значения; по крайней мере, однаиз неопределённостей, (Δ)Ψ или (Δ)Ψ , должна быть отлична от нуля.Поскольку коммутатор двух эрмитовых операторов меняет свой знак приэрмитовом сопряжении (см.

Характеристики

Список файлов книги