1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 31
Текст из файла (страница 31)
уравнение (6.69)), мы всегда можем определитьэрмитов оператор ^ таким образом, что^ ]^ = ,^[,^^ † = .(6.153)6.14 Количественное описание соотношения неопределённостей203^ в данномМы также можем вычесть вещественные средние значения ^ и состоянии и использовать новые, также эрмитовы, операторы^′ = ^ − ⟨⟩Ψ ,^′ = ^ − ⟨⟩Ψ .(6.154)Вычитание констант не меняет коммутатор,^ ′ ] = .^[^′ , (6.155)Построим теперь новое состояние^ ′ )|Ψ⟩,|Ψ̃⟩ = (^′ + (6.156)где — произвольный вещественный параметр.
Так как, в соответствиис условием (6.27),⟨Ψ̃|Ψ̃⟩ > 0,(6.157)получаем^ ′ )Ψ|(^′ + ^ ′ )|Ψ⟩ = ⟨Ψ|(^′ + ^ ′ )† (^′ + ^ ′ )|Ψ⟩ (6.158)0 6 ⟨(^′ + или^ ′ )(^′ +^ ′ )|Ψ⟩ = ⟨Ψ|(^′2 +[^′ , ^ ′ ]+2 ^ ′2 )|Ψ⟩. (6.159)0 6 ⟨Ψ|(^′ −Величины, подобные ⟨^′2 ⟩, являются, по определению (6.143), квадратами неопределённостей в данном состоянии (Δ)2Ψ . Таким образом, последнее неравенство можно записать в виде соотношения, связывающегонеопределённости некоммутирующих наблюдаемых,(Δ)2Ψ − ⟨⟩Ψ + 2 (Δ)2Ψ > 0.(6.160)Эта квадратичная форма должна быть положительной при любом вещественном значении .
Это имеет место, если корни являются комплекснымичислами или4(Δ)2Ψ · (Δ)2Ψ > ⟨⟩2Ψ .(6.161)204Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыМы получили количественную формулировку соотношения неопределённостей,(Δ)Ψ · (Δ)Ψ >1|⟨⟩Ψ |.2(6.162)Нижняя граница произведения неопределённостей для квантового состояния определяется средним значением коммутатора соответствующих операторов в этом состоянии.Используя наши предыдущие результаты для коммутаторов (см. раздел 4.3), мы приходим к точной формулировке соотношений, которые ранееиспользовались только при качественном рассмотрении в разделе 5.1,Δ · Δ >~,2(6.163)⟨ℓ ⟩Ψ.(6.164)2Заметим, что уравнение (6.163) определяет универсальную нижнюю границу, в то время как уравнение (6.164) зависит от состояния. Как мывидели в задаче 5.10, гауссовский волновой пакет (5.32) минимизируетсоотношение неопределённостей (6.163).(Δℓ )Ψ · (Δℓ )Ψ >Задача 6.15Определим информационную энтропию [] нормированной волновойфункции () как функционал∫︁ ∞[] = − ln , = |()|2 .(6.165)−∞Покажите, что функционал (6.165) имеет максимальное значение для гауссовского волнового пакета (5.32) среди всех функций, удовлетворяющихдополнительным условиям нормировки и заданной неопределённости координаты,∫︁∫︁ = 1, ( − ⟨⟩)2 = Δ2 .(6.166)Решение.Добавим интегралы (6.166) к функционалу (6.165) с множителями Лагранжа и ′ и найдём максимум по отношению к вариации .
Тогда множи-6.14 Количественное описание соотношения неопределённостей205тели определяются при выполнении условий (6.166), что даётm = √12Δ2−(−⟨⟩)2 /2Δ2.(6.167)Максимальная энтропия равна√m = ln 2Δ2 .(6.168)Выражения, подобные энтропии, приводят к оценке соотношения неопределённостей [20], которая сильнее, чем широко известный результат (6.163).Однако для доказательства требуется более сложный математическийаппарат.
При симметричном определении преобразования Фурье для координатной и импульсной волновых функций,∫︁∫︁ √√ − (),() = (), () =(6.169)22можно ввести обобщённую норму,(︁∫︁)︁1/() =,|()|(6.170)()и аналогично для . Будем предполагать стандартную нормировку()2()= 2= 1.(6.171)Пусть и ′ — положительные числа, удовлетворяющие условию11+ ′ = 1,(6.172)так что > 2 и ′ 6 2. Тогда имеет место неравенство [21],(︂ () ≡2)︂1/2()′(︂−2′)︂1/2′() > 0.(6.173)Здесь ′ является функцией , определённой согласно уравнению (6.172).При = ′ = 2 (2) = 0 за счёт нормировки (6.171).
Таким образом, какследует из (6.173), производная / > 0 при = 2. Непосредственное вычисление этой производной даёт замечательное неравенство, связывающее206Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыинформационные энтропии для функций координаты и импульса,[()] + [()] > 1 + ln() = ln().(6.174)Доказательство может быть распространено на функции многих переменных, когда преобразование Фурье выполняется по отношению ко всемиз них; в этом случае правую часть уравнения (6.174) необходимо умножитьна величину размерности . Поскольку гауссовские функции обеспечиваютмаксимальную энтропию, уравнение (6.168) можно связать с неопределённостями Δ и Δ с помощью ряда неравенств [20],Δ2 >1 2[()] −2[()]1>>.224Δ2(6.175)Для гауссовых функций неравенства обращаются в равенства; граничныезначения величин в (6.175) дают стандартное соотношение неопределённостей (6.163).Задача 6.16Рассмотрим частицу массы в -м стационарном состоянии в непроницаемом потенциальном ящике шириной .
Найдите функцию распределения и средние значения координаты и импульса частицы, среднийквадрат флуктуаций координаты и импульса, а также проверьте соотношение неопределённостей; вычислите среднюю кинетическую энергию исредний квадрат её флуктуаций.Решение.Нормированная стационарная волновая функция частицы, заключённойв потенциальном ящике 0 6 6 (см. (3.6)), даёт распределение координатв -м состоянии:(︁ )︁2| ()|2 = sin2 .(6.176)Фурье-преобразование приводит к волновой функции в импульсном представлении∫︁ () = −(/~) () =0(6.177)]︁√ [︁(/)= 2 1 − (−) −(/~).(/)2 − (/~)26.14 Количественное описание соотношения неопределённостей207Отсюда находим функцию распределения по импульсу () = | ()|2 =4(/)2[1 − (−) cos(/~)].[(/)2 − (/~)2 ]2(6.178)Кажущаяся расходимость в точках = ±~/ компенсируется нулямивыражения в первой квадратной скобке.Для последующих расчётов нам понадобятся интегралы[︂]︂∫︁11 22 − sin(2) − cos(2) , sin =42(︂ 2)︂∫︁31 cos(2)22 sin =−−sin(2) −.6484(6.179)(6.180)Очевидно, что среднее значение координаты находится в середине ящика,∫︁ ⟨||⟩ = | ()|2 = .(6.181)20Величина среднего квадрата координаты равна[︂]︂122 1,⟨| |⟩ = −3 2()2(6.182)и дисперсия координаты составляет(Δ)2 = ⟨|2 |⟩ − ⟨||⟩2 =[︂]︂261−.12()2(6.183)При больших результаты приближаются к классическому равномерномураспределению вероятностей между = 0 и = .
Действительно, квантовые вероятности (6.176) быстро осциллируют и можно заменить sin2 (/)его средним значением 1/2, так что | ()|2 ⇒ 1/.Для вычисления средних значений и 2 проще всего использоватькоординатное представление и соответствующий оператор ^ = −~(/).Тогда сразу видно, что⟨|^|⟩ = 0,(6.184)208Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыкак и должно быть для стоячей волны. Средний квадрат импульса равен⟨|^2 |⟩ = (Δ)2 =(︂~)︂2,(6.185)что легко получить, зная энергию частицы (внутри ящика полная энергияравна кинетической),^ = ⟨||⟩= 2 ~2 2⟨|^2 |⟩=.222(6.186)Для произведения неопределённостей из (6.183) и (6.185) получаем:(Δ)2 (Δ)2 =]︀~2 [︀()2 − 6 .12(6.187)Соотношение неопределённостей выполняется даже для минимальногослучая = 1,√2 − 6~(Δ)1 (Δ)1 = ~ √> .(6.188)22 3При рассмотрении флуктуаций кинетической энергии ситуация кажется противоречивой.
На первый взгляд, так как внутри ящика полнаяэнергия сводится к кинетической, → , значение энергии, равное ,фиксировано и, следовательно, кинетическая энергия не флуктуирует,^ 2 |⟩ = ⟨||⟩^ 2 . С другой стороны, если мы воспользуемся для расчё⟨|та плотностью вероятности распределения по импульсам (6.178),∫︁ ∞42^ |⟩ = (),(6.189)⟨|42−∞ 2~то увидим, что этот интеграл расходится при больших импульсах. Действительно, при || → ∞ распределение плотности () ∝ −4 и интегралот () × 4 (6.189) является расходящимся.Чтобы разрешить это противоречие, мы должны обсудить процедуруфизического измерения.
При измерении величины кинетической энергиичастицы, заключённой в ящик, мы должны моментально удалить стенки ипозволить частице свободно двигаться. При внезапном возмущении (задача 3.3) волновая функция не успевает измениться, но импульс становитсяинтегралом движения (так как потенциальных стенок больше нет), так чтокаждая компонента импульса распространяется независимо и может быть6.14 Количественное описание соотношения неопределённостей209зарегистрирована с вероятностью (). Повторяя эксперимент много раз,можно получить функцию распределения по импульсу или кинетическойэнергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
