1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Классические уравнения Гамильтона для динамических переменных, координат () и сопряжённыхимпульсов () в системе, описываемой классической функцией Гамильтона(, ), имеют вид˙ =,˙ = −,(7.91)т. е. они очень похожи на квантовые коммутаторы (4.33). Для любойфункции (, , ) полная эволюция во времени вдоль траектории можетбыть выражена через скобку Пуассона {, } с гамильтонианом:}︂∑︁ {︂ ˙˙ +˙ +≡ {, } +.(7.92)=Здесь скобками Пуассона, в силу уравнений Гамильтона (7.91), являются}︂∑︁ {︂ {, } =−.(7.93) Динамическое уравнение (7.92) аналогично квантовому уравнению (7.86).Мы можем определить скобки Пуассона для любой пары динамическихпеременных, которые могут быть выражены как функции координат иимпульсов:}︂∑︁ {︂ {, } =−,(7.94) 232Глава 7 Квантовая динамикаи проверить, что все их алгебраические свойства совпадают с соответствующими свойствами (4.31) и (4.32) квантовых коммутаторов.
Соответствие,как видно из (4.28) и (4.30), может быть установлено в виде^ ]^[,⇔~{, }.(7.95)Тем не менее квантовые уравнения записываются для операторов, и можно взять любые матричные элементы этих уравнений. Вычисляя средниезначения (7.89) и (7.90) по любому состоянию |Ψ⟩ (как мы помним, этоначальное состояние |Ψ(0)⟩, но при этом полученное среднее значение такоеже, как если бы была взята волновая функция Шрёдингера |Ψ()⟩ с не зависящими от времени операторами), мы приходим к теоремам Эренфеста(1927):⟨^p⟩⟨^ṙ⟩ =,(7.96)^ = −⟨∇ (^r)⟩ .⟨ṗ⟩(7.97)Величина в левой части уравнения (7.96) представляет собой скорость центра тяжести волнового пакета; она связано с центром тяжести импульсногораспределения в соответствии с нормальным классическим выражением.Уравнение (7.97) определяет ускорение центра тяжести через среднее значение силы.
Но здесь картина может отличаться от классической.Сила в уравнении (7.97) представляет собой среднюю силу, действующуюна весь волновой пакет, а не силу, действующую на центр пакета. Траектория центра будет совпадать с классической, если эти силы совпадают.Есть три случая, когда усреднение по волновой функции приводит к темже значением, что и для силы, действующей только на центр тяжести:(i) свободное движение, когда никакая сила не действует — центр тяжестинаходится в покое или движется с постоянной скоростью; (ii) линейныйпотенциал, например, для однородного поля, когда = const и, следовательно, классическое условие выполняется; (iii) гармонический осциллятор,когда потенциал создаётся линейной силой, например, в одномерном случае1 2 (^) = ^ ,2^ = −^.(7.98)Во всех трёх случаях⟨ (^)⟩ = (⟨^⟩).(7.99)7.6 Операторная динамика233В других случаях уравнения Эренфеста не совпадают с уравнениямиНьютона.
Разница между двумя сторонами уравнения (7.99) зависит от того,насколько сильно микроскопическая сила (r) изменяется в пределахразмера волнового пакета. Если это изменение является плавным, мыможем использовать разложение(︁)︁)︁(︁)︁ 2 F(⟨^r⟩)1 (︁^ −⟨^ ⟩ ^ −⟨^ ⟩+ ··· ,F(^r) ≈ F(⟨^r⟩)+ ^r −⟨^r⟩ ·∇ F(⟨^r⟩)+ 2 (7.100)где все производные берутся в центре тяжести. При усреднении членс (^r − ⟨^r⟩) исчезает:⟨F(^r)⟩ ≈ F(⟨^r⟩) +)︁(︁)︁⟩ 2 F(⟨^r⟩)1 ⟨(︁^ − ⟨^ ⟩ ^ − ⟨^ ⟩+ · · · . (7.101)2 Центр тяжести движется близко к классической траектории, если флуктуации силы в области волнового пакета малы. Шансы на это больше дляпакетов малого размера, хотя частица не может быть локализована лучше, чем в пределах характерной длины волны .
Таким образом, условиеклассического характера потенциального поля по отношению к частицес импульсом ∼ ~/ есть 2 /2 ≪ , где — характерный размернеоднородности поля, или22 ≫ ,(︂~)︂2≫ 1,(7.102)т. е. классическое действие на типичной длине, ∼ , должно быть многобольше, чем величина кванта действия ~. То же самое условие короткойдлины волны, как известно, есть в геометрической оптике, когда волновымиявлениями дифракции можно пренебречь. В противном случае квантовыефлуктуации существенны и понятие классической траектории не применимо.Задача 7.7Частица с зарядом находится в постоянном однородном электрическомполе ℰ.
Решить операторные уравнения движения и установить коммутационные соотношения между Гейзенберговскими операторами, взятыми вразличные моменты времени.Решение.234Глава 7 Квантовая динамикаСила равна = ℰ, и, как следует из (7.89), (7.90), центр тяжестиускоряется, как и в законе Ньютона,^() = ^(0) + ℰ,^() = ^(0) +1 ℰ 2^(0)+ .2 (7.103)При этом операторы при = 0 — это стандартные операторы Шрёдингера,не зависящие от времени. Хотя центр тяжести ⟨()⟩ движется по классической траектории, наличие квантовых флуктуаций видно даже здесь:операторы координаты для различных моментов времени не коммутируюти поэтому имеют взаимную неопределённость:[^(), ^(′ )] =~ ′( − ),(Δ) · (Δ)′ >~|′ − |.2(7.104)Однако эта неопределённость такая же, как в расплывании волновогопакета при свободном движении, поскольку оно не изменено присутствиемполя.
Вместе с тем операторы импульса коммутируют в любые моментывремени.Задача 7.8Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но для потенциала линейногогармонического осциллятора (7.98).Решение.Уравнения движения линейны и могут быть точно решены, как и вклассической механике:^(0),^() = cos() ^(0) − sin() ^(0),^() = cos() ^(0) + sin()(7.105)√︀где частота осциллятора равна = /. Коммутационные соотношенияимеют периодическую зависимость от времени, например,[^(), ^(′ )] =~sin((′ − )).(7.106)7.7 Теорема вириала2357.7 Теорема вириалаКоммутационные соотношения бывают полезны для получения многихважных выводов.
Начнём с напоминания результата классической механики:в любом состоянии финитного движения среднее по времени от полнойпроизводной по времени какой-то динамической переменной равно нулю.Среднее по времени, которое определяется как1() = lim →∞ ∫︁ /2 (),(7.107)− /2˙ так как (7.107) сводится к [( /2)−(− /2)]/равно нулю, если () = ,и все динамические переменные изменяются в этом состоянии в конечныхинтервалах, тогда как → ∞. Это утверждение также связано с понятием равновесия в статистической механике: величины «типа скорости»должны принимать равновероятные значения при «обратном» и «прямом»движении, если вся система ограничена в своём фазовом пространстве.Квантовая механика приводит к аналогичному результату. Рассмотримстационарное состояние дискретного спектра.
Дискретный спектр возникает вследствие граничных условий и отвечает финитному движению,при котором вероятность нахождения системы на больших расстоянияхэкспоненциально мала. При усреднении по стационарному состоянию |Ψ⟩с энергией операторные уравнения движения для величины без явнойзависимости от времени дают^˙^ ]|Ψ⟩^^~⟨Ψ||Ψ⟩= ⟨Ψ|[,= ( − )⟨Ψ||Ψ⟩= 0,(7.108)^если среднее значение ⟨Ψ||Ψ⟩не бесконечно. Это объясняет оговоркуотносительно дискретного спектра в квантовой механике или финитного движения в классическом случае. Заметим, что эта теорема, вместес уравнениями (7.96) и (7.97), сразу говорит, что в любом стационарномсостоянии дискретного спектра⟨^p⟩ = 0,^ = 0.⟨F⟩(7.109)Очевидно, это было бы неправильно в континууме, где даже для плоской волны среднее значение импульса не обращается в нуль (формальноволновые функции в уравнении (7.108) не нормируемы).236Глава 7 Квантовая динамика^ ), уравнение движенияЕсли взять в качестве нашего оператора ^ ⇒ (^r · pгласит(︂)︂^p^^) =^ + (^r · F).(^r · p·p(7.110)Так как среднее значение левой части равно нулю для волновой функциидискретного спектра, мы приходим к теореме вириала, касающейся среднейкинетической и потенциальной энергий в полной аналогии с такой теоремойв классической механике,^ = ⟨(^r · ∇ )⟩.2⟨⟩(7.111)Этот результат особенно прост в случае, когда потенциал имеет вид степенной функции, ∼ , где — радиус в сферической системе координатили, в общем случае, если потенциал есть однородная функция, (, , ) = (, , ),(7.112)с вещественным параметром .
Для = 1 + , ≪ 1, получаем + (r · ∇) = (1 + )(r · ∇) = ,(7.113)и теорема вириала (7.111) упрощается до выражения⟨⟩ =⟨ ⟩,2 = ⟨⟩ = ⟨ + ⟩ =2++2⟨ ⟩ =⟨⟩.2(7.114)В кулоновском случае, = −1, мы уже использовали это соотношениедля круговых орбит в (1.22). Для гармонического осциллятора, = 2,имеем ⟨⟩ = ⟨ ⟩. Теорема в том же виде (7.114) справедлива для системымногих тел, когда закон подобия (7.112) имеет место для потенциала взаимодействия (r), где r является расстоянием между взаимодействующимичастицами.7.8 Вероятность выживанияНачальное нестационарное состояние |Ψ(0)⟩ развивается в соответствии с^ динамикагамильтоновой динамикой (7.1).
Для эрмитова гамильтониана унитарна и норма вектора состояния сохраняется. Тем не менее вектор«вращается» в гильбертовом пространстве и через некоторое время можетстать совершенно отличным от исходного.7.8 Вероятность выживания237Во многих практических задачах важно знать вероятность выживания,т. е.
долю исходного состояния, которая сохраняется в эволюционирующемвекторе состояния |Ψ()⟩:⃒⃒2⃒⃒ () = ⃒⟨Ψ(0)|Ψ()⟩⃒ .(7.115)Согласно (7.4) эта вероятность равна квадрату диагонального матричногоэлемента оператора эволюции в исходном состоянии:⃒⃒2^⃒⃒ () = ⃒⟨Ψ(0)|−(/~) |Ψ(0)⟩⃒ .(7.116)Как уже говорилось в разделе 5.8, распад нестабильного состояния, какправило, предполагается экспоненциальным, () ∝ exp(−). Тем не менее как мы упоминали ранее, на начальном этапе эволюция отклоняетсяот экспоненциального закона.
Мы можем оценить, что происходит вначалес помощью простого разложения точного выражения (7.116).Такое разложение до членов второго порядка даёт⃒⟨⟩⃒2(︂)︂⃒⃒⃒ ^1 2 ^ 2 2 ⃒⃒⃒⃒⃒ () ≈ ⃒ Ψ(0)⃒1 − +− ⃒Ψ(0) ⃒ .⃒⃒~2~(7.117)Здесь член нулевого порядка равен единице, члены ∝ исчезают, в то времякак члены ∝ 2 объединяются в неопределённость энергии ⟨ 2 ⟩ − ⟨⟩2 == (Δ)2 начального состояния,2222^^ 2 |Ψ(0)⟩ = − (Δ)2 .⟨Ψ(0)||Ψ(0)⟩−⟨Ψ(0)|~2~2~2(7.118)В результате при малых временах () = 1 −(Δ)2 2.~2(7.119)Вероятность выживания падает медленнее, чем по экспоненте; характерноевремя этого этапа обратно пропорционально нопределённости энергиинестабильного состояния, ∼ 1/(Δ).Более сильный результат может быть получен [28] с помощью операторных уравнений движения (7.86).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
