1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В пределе → ∞, Δ → 0 мы выполняем полный учёт всехвозможных траекторий, так что функциональный интеграл становитсяобычным многомерным интегралом с предельным переходом к самомувысокому разрешению и бесконечной размерности,∫︁−11 ... −1 (/~) ∑︀[+1 , ],(7.182)Ψ(, ; 0 , 0 ) = limΔ→0∫︀где каждый охватывает всё пространство и нормирующий фактор ,введённый для каждого шага вместо фактора в (7.179), должен зависетьот Δ, чтобы обеспечить существование независимого предела.Если мы пойдём от = на один шаг дальше от до + Δ, то получим∫︁1 ... (/~) ∑︀ [+1 , ] .Ψ( +1 , + Δ) =(7.183) +1Здесь мы приобрели дополнительное интегрирование по / и соответствующий дополнительный член в экспоненте. Эта новая фаза не содержит7.13 Возвращение к картине Шрёдингера253координат, относящихся к предыдущим моментам < . Предыдущиекоординаты могут быть отинтегрированы.
Это определяет амплитудуΨ( , ), и мы получаем рекуррентное соотношение∫︁ (/~)[ +1 , ]Ψ( , ).(7.184)Ψ( +1 , + Δ) =Уравнение (7.184) справедливо в первом порядке по Δ. Мы должны последовательно пренебречь всеми членами второго и более высоких порядков по Δ. Если мы делаем ошибку порядка (Δ)2 в каждомиз = (интервал времени )/Δ фрагментов, суммарная погрешность небудет превышать величины(Δ)2 ∼ (Δ)2∼ Δ,Δ(7.185)которая исчезает в пределе Δ → 0 при конечном . Будем считать,что основной вклад√ в интеграл в пределе Δ → 0 происходит от путейс | +1 − | ∝ Δ, как в процессе диффузии. Позже мы подтвердим этопредположение. На таких малых расстояниях потенциал () не изменяется, и скорость можно аппроксимировать как ( +1 − )/Δ, так чтовклад в фазу от функции Лагранжа (7.173) на небольшом интервале равен{︃ (︂}︃)︂∫︁ +Δ +1 − 2′[ +1 , ] = ℒ ≈ Δ− ( +1 ) . (7.186)2ΔПосле упрощения обозначений +1 = , = − уравнение (7.184)примет вид∫︁ (/~)(/2Δ)2 −(/~) ()ΔΨ(, + Δ) =Ψ( − , ),(7.187)где должен быть выполнен предельный переход Δ → 0.
В этом пределепервая экспонента под знаком интеграла при конечных очень сильноосциллирует, в то время как амплитуда Ψ, как предполагается, конечна. Этоприводитк сильным сокращениям, за исключением узкой области значений√︀ ∼ ~Δ/ в соответствии со сделанным выше предположением. В этойоценке мы узнаём наши старые результаты для квантового расплыванияволнового пакета (см. раздел 5.5). Для малых Δ мы можем разложить254Глава 7 Квантовая динамикаволновую функцию под знаком интеграла согласноΨ( − , ) ≈ Ψ(, ) − Ψ(, ) 2 2 Ψ(, )+22(7.188)и распространить интегрирование по до ±∞, поскольку только узкаяобласть вблизи = 0 даёт заметный вклад. Нечётный по член с первойпроизводной по Ψ исчезает при интегрировании в симметричных пределах,в то время как интегралы от гауссовских функций дают√︂∫︁~Δ2 (/2~Δ) = 2,(7.189)√︂∫︁~Δ~Δ2 2 (/2~Δ) =2.Следующий (кубический) член разложения (7.188) снова обращается в нульиз-за чётности, в то время как член ∼ 4 дал бы результат с дополнительным фактором Δ по сравнению с (7.189).Аналогичным образом разложим левую часть (7.187):Ψ(, + Δ) ≈ Ψ(, ) + ΔΨ(, ).(7.190)С той же точностью экспоненту в (7.187) можно представить как−(/~) ()Δ ≈ 1 − ()Δ.~(7.191)Теперь мы должны сравнить члены низшего порядка в разложении(7.188).
Они согласуются, если нормировочный коэффициент выбрать согласно√︂~Δ = 2,(7.192)(сравните с пропагатором (5.29)). После этого коэффициенты первого порядка по Δ дают правильное уравнение Шрёдингера:Ψ(, )1~=2(︂)︂ 2−~Ψ(, ) + ()Ψ(, ).(7.193)7.14 Квантовая эволюция и ортогонализация255Используя предельный переход Δ → 0, мы свели оценку континуальногоинтеграла к решению дифференциального уравнения. Метод интегралапо траекториям, который мы не используем в данном курсе, способенсформулировать все понятия квантовой механики, включая операторы,уравнения движения и коммутационные соотношения. Но он особеннополезен в квантовой теории поля [31].7.14 Квантовая эволюция и ортогонализацияЭксперты в квантовой информатике утверждают, что работа квантового компьютера состоит из преобразований через взаимно ортогональныеквантовые состояния.
Тогда минимальное время, необходимое для такогопреобразования, определяет производительность компьютера. Очевидно,что одиночное стационарное состояние |Ψ ()⟩ с энергией будет эволюционировать, приобретая зависящую от времени фазу exp[(−/~)], иникогда не станет ортогональным к начальному состоянию |Ψ(0)⟩.Перекрытие между начальным и конечным состояниями есть() = ⟨Ψ()|Ψ(0)⟩,(7.194)так что вероятность выживания (7.115) равна () = |()|2 . Мы хотимопределить момент времени (если это вообще случится), когда () = 0.Поскольку перекрытие является в общем случае комплексным числом, тонужно удовлетворить двум условиям, Re () = Im () = 0.
Для любойначальной суперпозиции ортонормированных стационарных состояний |⟩с энергиями ,∑︁∑︁∑︁|Ψ(0)⟩ = |⟩, |Ψ()⟩ = −(/~) |⟩,| |2 = 1, (7.195)=0=0=0перекрытие равно∑︁∑︁() =* (/~) ′ ⟨|′ ⟩ =| |2 (/~) .′(7.196)Задача 7.14а) В качестве начального состояния возьмите суперпозицию двух нормированных стационарных состояний с энергиями 0 , которая может бытьпринята за начало отсчёта энергий, 0 = 0, и 1 > 0. Найдите такую су-256Глава 7 Квантовая динамикаперпозицию этих состояний, которая эволюционирует в ортогональнуюкомбинацию, и определите минимальное время, необходимое для этого.б) Постройте состояние в виде суперпозиции (с равными весами) трёхнормированных стационарных состояний с энергиями 0 = 0, 1 >0, и 2 > 1 .
Найдите набор энергий, который будет гарантироватьэволюцию к ортогональному состоянию, и определите минимальноевремя, необходимое для этого.Решение.a) В этом случае, определив = |1 |2 /|0 |2 , имеем(︁)︁() = |0 |2 1 + (/~)1 .Ортогональность требует(︂)︂(︂)︂1 1 sin= 0, 1 + cos= 0.~~(7.197)(7.198)Первое условие (7.198) из мнимой части перекрытия удовлетворяетсяпериодически, и минимальное время равно=~.1(7.199)Второе условие (7.198) из действительной части перекрытия, будучивзятым в тот же момент времени = , даёт = 1.
Это значит, что длядостижения ортогональности, амплитуды 0 и 1 начальной√суперпозиции должны быть равны по абсолютной величине, т. е. 1/ 2, так чтоони могут отличаться только на постоянную фазу, например,1|Ψ(0)⟩ = √ (|0⟩ + |1⟩),2(7.200)1|Ψ( )⟩ = √ (|0⟩ − |1⟩).2(7.201)тогдаОпределим величину среднего значения энергии, которая остаётся постоянной во время эволюции:∑︁⟨⟩ =| |2 .(7.202)7.14 Квантовая эволюция и ортогонализация257В нашем случае равных весов вкладов в суперпозицию, ⟨⟩ = (0 +1 )/2 = 1 /2, так что минимальное время ортогонализации (7.199)равно=~.2⟨⟩(7.203)б) В этом случае все три веса равны 1/3,1|Ψ(0)⟩ = √ (|0⟩ + |1⟩ + |2⟩).3(7.204)Зависящее от времени состояние даётся выражением)︁1 (︁|Ψ()⟩ = √|0⟩ + −(/~)1 () |1⟩ + −(/~)2 () |2⟩ .3(7.205)Для перекрытия (7.194) мы находим() =)︁1 (︁1 + (/~)1 + (/~)2 .3(7.206)Эта сумма трёх комплексных векторов должна давать ноль при достижении ортогонального состояния.
В комплексной плоскости три векторапри этом условии должны образовать замкнутую петлю, что возможнотолько при определённом выборе энергий. Простейшим выбором является (вспомните группу симметрии трёхатомной молекулы (задача4.6))1 =2~,32 =4~.3(7.207)Общее решение получается добавлением целого числа поворотов на 2в комплексной плоскости,1(2/3) + 211 + 31==,2(4/3) + 222 + 32(7.208)где 1 и 2 — неотрицательные целые числа. Выбор (7.207) отвечает1 = 2 = 0, тогда 2 /1 = 2.
Минимальное время ортогонализации,согласно (7.207), равно в этом случае=2~,31(7.209)258Глава 7 Квантовая динамикачто, подобно (7.203), может быть записано в терминах среднего значенияэнергии начального состояния:⟨⟩ =0 + 1 + 21= 1 ,3=2~.3⟨⟩(7.210)Выбирая 1 = 2 = 1 в (7.208), мы получаем 2 = (5/4)1 и =(2~)/⟨⟩. Для эквидистантных компонент, = 1 , одинакововходящих в суперпозицию, минимальное время ортогонализации равно = 2~/1 . В этом случае система имеет период полной эволюции = 2~/1 , и за этот период система проходит через ( − 1) различныхортогональных состояний с интервалами времени Δ = . Как выразилсяодин автор, «это состояние ведёт себя замечательно и выглядит какстандарт времени, который тикает равномерно и циклично».Минимальное время ортогонализации для любого начального состоянияудовлетворяет неравенству, которое может быть получено следующим образом.
Для произвольной начальной линейной комбинации типа (7.195), гдемы всегда будем полагать энергию нижнего состояния 0 = 0, перекрытиедаётся уравнением (7.196). Тогда(︂)︂(︂)︂∑︁∑︁ Re () =| |2 cos, Im () =| |2 sin. (7.211)~~Теперь, как было предложено в [32], мы можем использовать тригонометрическое неравенствоcos > 1 −2( + sin ).(7.212)Его справедливость легко проверить, изобразив графики обеих частейнеравенства.
Равенство достигается только при = 0 и = . С помощьюнеравенства (7.212) в первой части равенства (7.211) находим(︂{︂[︂)︂]︂}︂∑︁2 2Re () >| | 1 −+ sin.(7.213)~~Используя нормировку волновой функции и определение (7.202) среднегозначения энергии ⟨⟩, можно переписать выражение (7.213) следующим7.14 Квантовая эволюция и ортогонализация259образом:Re () > 1 −2⟨⟩2− Im ().~(7.214)Если состояние эволюционирует к ортогональному по отношению к начальному состоянию, то и действительная, и мнимая части перекрытиядолжны исчезать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
