1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Это даёт критерий для классификации наблюдаемых.Полезно сочетать эту классификацию с классификацией, основаннойна вращательных свойствах (позже они будут изучены гораздо более подробно). Величины, инвариантные относительно вращений, называютсяскалярами. Математическое определение скаляра ^ следует из интерпрета^ как генератора вращений:ции углового момента J^ ]^ = 0.[J,(8.25)Тем не менее скаляр может некоммутировать с пространственной инверсией.Мы можем разделить скалярные наблюдаемые, удовлетворяющие уравнению (8.25), на истинные скаляры и псевдоскаляры, которые меняют знакпри инверсии пространства.
Чтобы дать физический пример, рассмотримсначала векторы.268Глава 8 Дискретные симметрии^ может быть осноКак мы уже обсуждали, общее определение вектора Vвано на его поведении при бесконечно малых вращениях (см. раздел 6.10).Теперь мы можем выделить два класса векторных наблюдаемых: истинные(полярные) векторы V, декартовы компоненты ^ которых меняют знакпри пространственной инверсии,^ ^ ^ −1 ≡ ^ ^ ^ = −^ ,(8.26)и псевдовекторы, или аксиальные векторы A, компоненты которых неизменяются при инверсии,^ ^ ^ = ^ .(8.27)Операторы координаты, r, и импульса, p, являются истинными векторами.Но компоненты оператора орбитального момента, [r × p], построенногокак векторное произведение двух полярных векторов, не меняются припространственной инверсии, и поэтому орбитальный момент является аксиальным вектором.
Формальное доказательство, например для оператора^координаты, устанавливает с использованием эрмитовости оператора ,^ r^что произвольный матричный элемент преобразованного оператора ^преобразуется как∫︁∫︁3*^^ 1 (r)^r2 (r) = 3 1* (−r)^r2 (−r) =∫︁(8.28)3*= 1 (r)(−^r)2 (r),а это означает, что ^r является истинным вектором:^ r^ = −^r.^(8.29)Аналогично^ ^ = −^^ pp(8.30)в соответствии с классическим определением p = ṙ, которое справедливо и для квантовых уравнений движения (7.89) и (7.90).
В дополнение кразнице между электрическими и магнитными полями по отношению кобращению времени они ведут себя по-разному и при пространственнойинверсии: вектор электрического поля ℰ⃗ и вектор электрического тока jявляются полярными векторами, в то время как вектор магнитного поля8.4 Скаляры и псевдоскаляры, векторы и псевдовекторы269⃗ аксиальный.
А сила Лоренца ∼ [v × ℬ],⃗ будучи векторным произвеℬдением полярного и аксиального векторов, снова является полярным (иинвариантным относительно обращения времени) вектором.Обратите внимание, что мы используем картину активного преобразования, которое действует на объект, в то время как координатные ортыe() сохраняются неизменёнными. Полярный вектор V превращается в −V;тогда его координаты относительно старого набора e() изменяют знак.Координаты аксиальных векторов остаются прежними вместе с самимобъектом.При пассивной формулировке инвертируется система координат, e() ⇒−e() .
Это преобразование превращает правую тройку координатных осей,которые определяются в соответствии с [e() × e() ] = e() , в левую тройку,поэтому оно меняет знак всех величин, определение которых содержит указание на ориентацию осей координат или направление вращения. Полярныевекторы не затрагиваются, а их координаты снова меняют знак. Аксиальные векторы, такие как орбитальный момент, меняют свое направление,в то время как их координаты опять же не меняются.Теперь мы можем построить псевдоскаляр как скалярное произведениеполярного и аксиального векторов. Но примеры из предыдущего абзацадля этой цели мы не можем использовать.
В самом деле,(r · ⃗ℓ) = (p · ⃗ℓ) = 0.(8.31)Это свойство имеет простой смысл: если ⃗ℓ является генератором вращения,он перемещает частицы перпендикулярно радиус-вектору. Псевдоскаляр,называемый спиральностью, может быть построен с использованием другойчасти углового момента, а именно, спинового момента s, который, как и любой угловой момент, также является аксиальным вектором.
Спиральностьℎ − это проекция спина на направление движения,ℎ=s·p.(8.32)По отношению к вращению спиральность является скаляром, однако онаменяет знак при пространственной инверсии:^ ^ = −ℎ.^^ ℎ(8.33)270Глава 8 Дискретные симметрии8.5 Сохранение чётностиЕсли потенциал в уравнении Шрёдингера инвариантен относительнопространственной инверсии, (r) = (−r),(8.34)^ =^ +^ , коммутирует с оператором инверсии.гамильтониан в целом, Поэтому мы можем приписать стационарным состояниям квантовое числочётности.Другими словами, если волновая функция (r) описывает стационар^ное состояние -инвариантногогамильтониана с энергией , отражённаяфункция (−r) также соответствует стационарному состоянию с той жеэнергией. Если эта энергия не вырождена, две функции могут отличатьсятолько постоянным множителем, (−r) = (r). Повторяя операцию инверсии, получим (r) = (−r) = 2 (r), что означает 2 = 1, = ±1.
Этото же самое утверждение, что и полученное ранее на операторном языке:при чётном потенциале (8.34) невырожденные стационарные решения имеют определённую чётность. Если собственное значение энергии являетсявырожденным, (r) и (−r) могут быть линейно независимыми как, например, плоские волны с противоположными импульсами. Однако тогдалюбая их линейная комбинация описывает стационарное состояние с тойже энергией, и всегда можно построить чётную и нечётную суперпозиции(r) ± (−r).Таким образом, если уравнение (8.34), или в более общем виде^ ]^ = 0,[,(8.35)выполнено, стационарные решения уравнения Шрёдингера можно классифицировать по чётности.
В наших простых примерах главы 2 связанныесостояния в ящике или в симметричной конечной яме (где у нас есть только одномерная инверсия) могут приобрести определённую чётность, еслинаправить оси координат таким образом, что начало координат совпадаетсо средней точкой. В задачах континуума (на отражение и прохождение)симметрия была нарушена граничным условием, когда мы предположили,что источник волны расположен с одной стороны от области наблюдения.Симметрия восстанавливается из-за существования эквивалентного, зеркально отражённого решения с той же энергией, когда источник ставитсяна противоположной стороне.Задача 8.28.5 Сохранение чётности271Установить соответствие между стационарными состояниями одномерного движения в симметричном потенциале, 1 () = 1 (−), и в потенциале2 (), который совпадает с () при > 0 и отрезан от левой половиныплоскости непроницаемой стенкой при = 0.Чётность составной системы является мультипликативным квантовымчислом, будучи произведением чётностей подсистем или компонент.
В применении к элементарным частицам можно говорить об их внутреннейчётности: внутренняя волновая функция частицы также трансформируется определённым образом при пространственном отражении. Внутренняячётность протона и нейтрона одинакова (и не имеет значения, предположимли мы, что она чётная или нечётная, потому что во всех ядерных процессах,где чётность сохраняется, общее число нуклонов, нейтронов и протонов —так называемый барионный заряд — также сохраняется).
В релятивистскойтеории показывается, что эта чётность противоположна чётности антинейтрона и антипротона. Внутренние чётности электрона и позитрона, кваркаи антикварка тоже противоположны. В случае мезонов, таких как пионыили каоны, имеет смысл говорить о абсолютной внутренней чётности, таккак эти частицы могут быть созданы и поглощены поодиночке, изменяяобщую чётность состояния определённым образом. Волновая функция этихмезонов является скаляром при вращениях, но псевдоскаляром при пространственной инверсии, что определяется внутренней структурой мезонов,построенных из кварка и антикварка, которые имеют противоположныевнутренние чётности.Для того чтобы получить информацию о внутренней чётности частиц,нужно наблюдать процессы их образования, уничтожения и взаимнойтрансформации и сравнивать чётности начального и конечного состояния, учитывая внутренние волновые функции частиц, а также волновыефункции их относительного движения.
Эксперимент показывает, что большинство взаимодействий элементарных частиц инвариантно относительнопространственной инверсии. Насколько нам известно, только гамильтонианслабых взаимодействий не сохраняет чётность. Взаимодействия такоготипа возникают на очень малых расстояниях между частицами, ∼ 10−16 см,они ответственны за самые медленные ядерные процессы, такие как бетараспад нейтрона в протон, электрон и электронное антинейтрино, илибета-распад сложных ядер. Время жизни свободного нейтрона ∼ 103 с, велико по сравнению с характерным временем ядерных процессов, 10−(21÷23) с,которое может быть оценено по времени пролёта частицы со скоростью∼ (0.1 ÷ 1) через ядерный радиус ∼ 10−(12÷13) см.272Глава 8 Дискретные симметрииNi-60 (J=4)Co-60 (J=5)right polarized antineutrinoleft polarized electron moving backРис.
8.2: Схема эксперимента Ц. Ву и др.Грубо говоря, если чётность в процессе сохраняется, то в зеркальноотражённой лаборатории процесс происходит полностью аналогично иприводит к зеркально-отражённому результату. В бета-распаде это не так.В знаменитом эксперименте Ц. Ву и др. [39] (рис. 8.2) изучался бета-распадполяризованных (имеющих фиксированную ориентацию углового моментаJ) ядер 60 Co.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
