1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Обычно мызаинтересованы в поиске возможных неэквивалентных представлений.Удобно выбрать из каждого класса в качестве его основного представителя унитарное представление, которое сохраняет скалярное произведениевекторов,(︁)︁()1 , ()2 = (1 , 2 ).(8.71)В конечных группах каждый класс эквивалентных представлений содержит унитарные представления. Это имеет смысл и для бесконечных групп,которые обладают свойствами компактности, как, например, группа вращений, которая характеризуется угловыми параметрами, изменяющимисяв конечных интервалах. Группа Лоренца некомпактна (здесь мы не будемвдаваться в подробности).Представление (), действующее в линейном пространстве ℒ, приводимо, если ℒ содержит нетривиальное (не пустое и не совпадающиес самим ℒ) инвариантное подпространство ℒ1 .
Инвариантность означает,что для любого вектора из ℒ1 и для любого элемента группы преобразованный вектор () принадлежит также к ℒ1 . Если ℒ не содержитнетривиальных подпространств, инвариантных относительно всех (),представление неприводимо. Легко найти неприводимые представления8.11 Представления групп*289циклических групп . Как и для любой абелевой группы, они являютсяодномерными, и каждое неприводимое представление даётся собственнойфункцией всех элементов, , 2 , ..., = (единичный элемент). Собственные значения равны = exp(2/ ), где = 1, 2, ..., и собственныефункции удовлетворяют уравнению = . Для точечной группы вращений вокруг некоторой оси собственные функции, как функцииазимутального угла , можно записать в виде () = exp(). Уместновспомнить из раздела 4.7, что они являются собственными функциямиоператора проекции углового момента на ось симметрии.
В этом случаенетривиальные значения этой проекции равны 0, 1, ..., − 1.Возьмём в качестве примера — группу симметрии системы, котораяимеет ось симметрии -го порядка (циклическая подгруппа вращений на углы 2/) и ось симметрии второго порядка, перпендикулярнуюк . Рассмотрим так называемое векторное представление: группу преобразований, определённую в (трёхмерном в данном случае) векторномпространстве, которая представлена теми же элементами, рассматриваемыми как операторы (матрицы) в этом векторном пространстве. Очевидно, чтосуществуют два инвариантных подпространства: одномерное (все векторывдоль оси ) и двумерное (все векторы в плоскости ).Пусть ℒ1 является нетривиальным инвариантным подпространствомпо отношению к (). Рассмотрим действие () на векторы ℒ1 и назовём эту часть первоначального оператора 1 ().
Соответствие → 1 ()является снова представлением, но теперь в меньшем пространстве ℒ1 .Оно также является унитарным, если было унитарным (). Говорят, чтоприводимое представление () индуцирует представление 1 () в инвариантном подпространстве ℒ1 . Если () является унитарным, оно сохраняетортогональность между векторами в ℒ1 и в остальном внутреннем пространстве ℒ (ортогональном дополнении ℒ2 ≡ ℒ¯1 ). Таким образом, дополнениеℒ2 также инвариантно относительно (). Это означает, что ℒ разделенона два взаимно ортогональных инвариантных подпространства и приводимое представление () распадается фактически на сумму представлений1 и 2 , действующих в этих подпространствах.
Это приведение можетбыть продолжено до тех пор, пока исходное приводимое унитарное конечномерное представление не будет разложено на неприводимые унитарныепредставления (выражаясь через их сумму). Некоторые из этих неприводимых представлений могут быть эквивалентными. Так как мы можемвыбрать базисы независимо в подпространствах ℒ , они не перекрываются.В полном базисе все матрицы () являются блочно-диагональными, числоблоков соответствует количеству представлений .290Глава 8 Дискретные симметрии8.12 Ортогональность и полнота*Многие важные результаты основаны на лемме Шура: линейный опе^ который коммутирует со всеми матрицами () неприводимогоратор ,представления группы , пропорционален единичному оператору в пространстве этого представления (сравните с задачей 6.8). Действительно,если |⟩ является собственным вектором ^ в этом пространстве, то длялюбого вектор ()|⟩ принадлежит тому же собственному значению^ = 0.
Таким образом, подпространство из-за коммутативности [(), ]ℒ вырожденных собственных векторов ^ является инвариантным подпространством. Однако представление () является неприводимым и неможет иметь нетривиальное инвариантное подпространство. Таким образом, будучи не пустым, ℒ совпадает со всем представлением пространства.^Это означает, что оно натянуто на вырожденные собственные векторы ,т. е.
в этом пространстве ^ = · ^1.Любое представление группы в -мерном пространстве ℒ определяетв произвольном ортонормированном базисе |⟩ матрицу () в соответствиисо стандартным определением матричных элементов () (см. уравнение (6.54)). Можно сказать, что представление определяет 2 функций (), определённых на группе. Эти функции не являются независимыми,так как они связаны групповым правилом умножения:∑︁ ( ) = ( ) ().(8.72)Вследствие этого существуют соотношения ортогональности между матричными элементами (). Чтобы получить их, возьмём произвольный^ действующий в пространстве представления, и построим егооператор ,среднее по группе:≡1 ∑︁−1^()(). (8.73)Здесь есть число элементов группы; для бесконечных групп обычноможно обобщить (8.73), заменив сумму интегралом по параметрам группы.Средний оператор коммутирует со всеми (). Действительно, для любого элемента группы ( )( ) =1 ∑︁1 ∑︁−1−1^^( )()()=( )().
(8.74)8.12 Ортогональность и полнота*291Теперь мы имеем возможность сделать замену ′ = и использовать свойство перестановки. Это означает, что новая переменная снова пробегаетпо всей группе. Это приводит к( ) =1 ∑︁′−1^( ′ )() = ′1 ∑︁′−1^=( ′ )()( ) = ( ). ′(8.75)Согласно лемме Шура, для любого ^ средний оператор (8.73) оказываетсяпропорционален единичному оператору,1 ∑︁−1^^^()() = ()1, (8.76)^ Чтобы найти этотс численным коэффициентом, зависящим от выбора .коэффициент, возьмём след матрицы (8.76).
Используя циклическую инвариантность следа, получаем1 ∑︁1 ∑︁ ^−1^^ ^1 = ()^ (8.77)Tr[()()] =Tr = Tr^ = ()Tr ^ = Tr/.^или ()Так как оператор ^ произволен, мы можем выбрать еготолько с одним ненулевым матричным элементом, скажем, (). Тогда = Tr^ = (8.78)и -й элемент уравнения (8.76) принимает вид1 ∑︁1 () ( −1 ) = . (8.79)* (), и, накоДля унитарного представления −1 = † , или ( −1 ) = нец,1 ∑︁ *1 () () ≡ ( , ) = . (8.80)Здесь мы трактуем это соотношение ортогональности как скалярное произведение ( , ) матричных элементов, рассматриваемых как функции,292Глава 8 Дискретные симметрииопределённые на группе.
Количество ортогональных функций () равно 2 , а максимальное число линейно независимых функций на группеиз элементов равно . Это влечёт наличие ограничения 2 6 наразмерности неприводимых представлений.С помощью подобной конструкции используя оператор∑︁^ (2) ( −1 ),˜ 2) = 1(1) ()(1, (1)(8.81)(2)можно показать, что функции () и (), генерируемые неэквивалентными неприводимыми представлениями, ортогональны в смысле˜ 2) ≡ 0 для 1 ̸= 2. Вообще, можноскалярного произведения (8.80) и (1,записать условие ортогональности для представлений и как()()( , ) =1 .(8.82)Определим регулярное представление → Δ() в виде набора операторов,действующих на функции ( ), определённые на группе, согласноΔ()( ) = ( ).(8.83)Легко видеть, что это действительно представление:Δ(1 )Δ(2 )( ) = Δ(1 )( 2 ) = ( 1 2 ) = Δ(1 2 )( ).(8.84)Данное представление является -мерным (по числу линейно независимых функций на группе), хотя, вообще говоря, приводимым.
Пространствофункций может быть разложено в сумму подпространств, = 1, . . . , ,которые преобразуются по неприводимым представлениям () (). Полный набор базисных функций можно будет разделить на наборы бази()()сов {1 , . . . , } размерности , принадлежащих каждому из подпространств. Эти базисные функции преобразуются под действием Δ() согласно общему правилу (8.65),()Δ() ( )=∑︁() ( )Δ ().(8.85)=1Однако в регулярном представлении (8.83) результат для любого должен()быть ( ). Взяв = (единичный элемент), мы видим, что базисные8.13 Характеры*293функции на группе можно разложить в ряд() ()=∑︁()() (),(8.86)=1()()()где коэффициенты равны = ().
Так как множество являетсяполным, любая функция на группе может быть представлена аналогичнымобразом. Общее количество функций, порождённых всеми неприводимымипредставлениями, равно . С другой стороны, есть 2 функций в неприводимом представлении . Это приводит к теореме Бернсайда: суммаквадратов размерностей всех неприводимых неэквивалентных представлений равна порядку группы,21 + 22 + · · · + 2 = .(8.87)8.13 Характеры*Каждый элемент группы в представлении () может быть охарактеризован числом (), которое инвариантно относительно выбора базиса впространстве представления (более точное обозначение было бы (), номы часто будем опускать индекс ). Это число называется характером.Характер является следом соответствующей матрицы() = Tr{()}(8.88)и очевидно не зависит от базиса. Переход к любому эквивалентному представлению не меняет характера, поскольку′ () = ()−1′ () = Tr{′ ()} = ().(8.89)Так как характеры являются функциями на группе, мы можем вычислитьих скалярные произведения с помощью суммы (интеграла) по группе, какв (8.80) и (8.82).
Элементы неэквивалентных неприводимых представленийортогональны, и, следовательно, ортогональны и их характеры. Характерылюбого неприводимого представления нормируются в соответствии с(, ) =∑︁∑︁ 11 ∑︁( , ) = = = 1.(8.90)294Глава 8 Дискретные симметрииДля произвольной пары представлений, и , ортогональность характеровможно записать в виде(() , () ) = .(8.91)Если представление приводимо, матрицы () могут быть приведенык блочно-диагональному виду, где каждый блок соответствует неприводимому представлению. Кроме того, каждое неприводимое представление ()может входить несколько ( ) раз. Поскольку след полной матрицы равенсумме следов блоков, характер приводимого представления выражаетсякак∑︁() = () ().(8.92)Здесь число одинаково для всех элементов и может быть определеноиз ортогональности (8.91), = (, () ),(8.93)т. е.
характер определяет все веса . Таким образом, всё приводимоепредставление фактически определено, кроме возможных неоднозначностей, связанных с эквивалентностью. Норма полного характера (8.92) равна(︁∑︁)︁ ∑︁∑︁(, ) = () , () =2 .(8.94)Хотя характер () определён для данного элемента группы, характерывсех сопряжённых элементов равны,(−1 ) = Tr{(−1 )} = Tr{()()−1 ()} = Tr{()} = ().(8.95)Таким образом, на самом деле характеры фактически являются функциямисопряжённых классов.Задача 8.7 [16]а) Показать, что множество { (), ()}, где () — сдвиги вдоль оси → ′ = + при вещественном и () — отражения в перпендикулярной плоскости = , образует группу преобразований оси , прикоторых все расстояния остаются инвариантными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
