1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Интерференционные члены сокращаются, и мы получаем падающий и отражённый токи с одинаковой скоростью ~/, но различной интенсивностью = − =)︁~ (︁ 2|| − ||2 .(9.15)Переходя к далёкой асимптотике справа, мы можем получить только прошедшую волну с тем же волновым числом,()|→+∞ = ,(9.16)и соответствующий ток: =~||2 .(9.17)Теперь уравнение непрерывности (9.13) устанавливает связь между интенсивностями трёх волн,||2 = ||2 + ||2 .(9.18)Эта формула эквивалентна соотношению (2.36) между коэффициентамиотражения и прохождения,=, =, + = 1.(9.19)304Глава 9 Одномерное движение: континуумЕсли предельное асимптотическое значение потенциала 2 справа отличается от значения 1 = 0 слева (см.
рис. 9.2a), но мы всё ещё считаем > 2 , то нам нужно изменить приведённые выше аргументы, посколькупрошедший ток содержит другую асимптотическую скорость частицы:√︂~ ′2( − 2 )′,=||2 .(9.20)()|→+∞ = , ′ =~2Теперь сохранение тока даёт)︁(︁ ||2 − ||2 = ′ ||2 ,(9.21)что эквивалентно (9.19). Заметим, что мы используем только асимптотические свойства потенциала и допускаем произвольное поведение междуними.
Для того чтобы найти и по отдельности, мы должны связать универсальные асимптотические функции с конкретным решением в областипотенциала.Теперь мы можем рассмотреть случай энергии ниже порога прохождения, < 2 (рис. 9.2b). Под барьером, далеко справа, волновое число мнимое,и мы должны выбрать экспоненциально убывающее решение,√︂2(2 − )−()|→+∞ = , =.(9.22)~2Однако эта функция не имеет зависящей от координаты фазы (напомнимраздел 7.3) и не создаёт ток, = 0. Так как ток должен быть постояннымво всём пространстве, он равен нулю также слева, и мы имеем полноеотражение, = ,||2 = ||2 , = 1,(9.23)несмотря на тот факт, что волновая функция (9.22) проникает внутрьбарьера.9.3 Вырождение в континуумеНе существует ограничения на величину энергии, если она больше, чемнизшее асимптотическое значение потенциала 1 ; любое значение энергии > 1 разрешено, а спектр непрерывен.
Существует, однако, заметноеотличие между случаями > 1,2 и 2 > > 1 , хотя энергетический9.3 Вырождение в континууме305спектр непрерывен в обоих случаях. В первом случае движение бесконечнов обоих направлениях. Мы можем начать с источника справа, которыйдолжен дать нам другое, линейно независимое, решение с той же энергией, т. е.
мы имеем двукратное вырождение. Во втором случае движениебесконечно только влево, второе решение отсутствует и вырождения нет.В случае дважды вырожденного бесконечного движения для того, чтобысравнить решения с источником на противоположных сторонах от областипотенциала, рассмотрим так называемый вронскиан (определитель Вронского), построенный из этих двух решений. Вронскиан двух функций ()и () определяется как⃒⃒⃒ ⃒ [, ] = Det ⃒⃒ ′ ′ ⃒⃒ = ′ − ′ ,(9.24) где штрих означает производную /. Рассмотрим два произвольныхрешения одномерного уравнения Шрёдингера (9.5), 1 и 2 , с энергиями1 и 2 соответственно,1′′ + 12 ()1 = 0,2′′ + 22 ()2 = 0,21,2=2[1,2 − ()]. (9.25)~2Если мы умножим второе уравнение на 1 , первое — на 2 и найдём ихразность, потенциальная энергия выпадает и мы получаем1 2′′ − 2 1′′ +2(2 − 1 )1 2 = 0.~2(9.26)Это не что иное, как уравнение для вронскиана 12 = [1 , 2 ] этих двухрешений,122= 2 (1 − 2 )1 2 .~(9.27)В частности, для двух вырожденных решений, 1 = 2 , вронскиан являетсяконстантой,12= 0,1 = 2 .(9.28)С вронскианом, определённым в произвольном месте, например в асимптотике, условие = const является дифференциальным уравнением первогопорядка, которое может быть использовано для нахождения второго линейно независимого решения 2 , если известно 1 .306Глава 9 Одномерное движение: континуумДля вырожденной энергии в континууме решение, дополнительное к найденному ранее (см.
уравнения (9.14) и (9.20)), может быть принято какимеющее асимптотику с источником справа,{︂ ′ ′ ′+ − , → ∞,2 () =(9.29) ′ − , → −∞,где , ′ и ′ — амплитуды падающей, отражённой и прошедшей волн, имы рассматриваем общий случай произвольных асимптотических значенийпотенциала, когда асимптотические волновые числа и ′ могут бытьразными.Задача 9.1Доказать, что коэффициенты отражения и прохождения для источникасправа, и , такие же, как и для источника слева, и .Решение.Вычислите вронскиан двух решений в двух асимптотических областях.Задача 9.2Дан чётный потенциал () = (−) > 0, который спадает на большихрасстояниях.
Определите два фундаментальных решения уравнения Шрёдингера для энергии , которые даются чётными и нечётными функциями± () = ±± (−) со значениями в начале координат+ (0) = 1,′+ (0) = 1;− (0) = 0,′− (0) = 1.(9.30)Пусть безразмерные логарифмические производные этих решений в точке0 за пределами области потенциала равны± = 0′± (0 ).± (0 )(9.31)Рассмотрите рассеяние волны, идущей с одной стороны, и найдите вероятности отражения и прохождения в терминах ± . Это даёт удобный подходк численному решению задачи.Решение.Возьмём решение (), которое состоит из падающей и отраженной волныслева, прошедшей волны справа и комбинации двух базисных вещественных9.4 Матрица переходарешений между ними,⎧ ⎨ + − ,+ + () + − − (),() =⎩ ,307−∞ < 6 −0 ,−0 6 6 0 ,0 6 < ∞,(9.32)где = ~2 2 /2.
Сшивая решения при = ±0 и учитывая свойствасимметрии базисных решений и их вронскиана (+ , − ) = 1, находим[︂]︂1 + + − + −2=−+,2 + − − − [︂]︂(9.33)1 + + − + −2 =−−,2 + − − − где = 0 . В терминах фаз ± , определяемых как exp(± ) = (± ++ )/(± − ), коэффициент прохождения даётся = | |2 = 2 (+ − − )21 − 2 cos(+ − − ).=22222( + + )( + − )(9.34)Коэффициент отражения равен = ||2 =1 + 2 cos(+ − − ).2(9.35)9.4 Матрица переходаОбщее решение уравнения Шрёдингера в дважды вырожденном континууме представляет собой суперпозицию ранее рассмотренных случаев дляисточника, расположенного слева и справа.
В этом решении у нас естьчетыре асимптотических амплитуды:{︂ + − , → −∞,() =(9.36)′′ + − , → ∞.При заданных коэффициентах и мы однозначно определяем решениедифференциального уравнения во всём пространстве. Более того, из линейности уравнения следует, что амплитуды и являются линейнымифункциями и . Эта взаимосвязь может быть записана с помощью мат-308Глава 9 Одномерное движение: континуумрицы перехода , которая кодирует решение в виде линейной зависимости«выход-вход» двухкомпонентного набора на выходе от двухкомпонентногонабора на входе,(︂)︂(︂)︂(︂)︂ ′=, =.(9.37) ′Некоторые свойства матрицы перехода могут быть установлены с помощью общих рассуждений.
Важное ограничение на матрицу продиктованотребованием инвариантности относительно обращения времени, котороевыполняется для вещественного потенциала. Обращение времени (см. раздел 8.1) эквивалентно комплексному сопряжению в сочетании с обменомролями волн, бегущих направо и налево. Тогда матрица преобразованиядолжна быть той же самой. Эта операция даёт → *, → * , → * , → *.Таким образом, для обращённой системы)︂ (︂ * )︂(︂ * )︂ (︂ ′=.*′ *(9.38)(9.39)Сравнивая это уравнение с комплексно сопряжённым к уравнению (9.37) итребуя, чтобы они тождественно совпадали для любых и , находим(︂)︂ *′*′* = , = , =.(9.40) *Теперь примем во внимание сохранение тока.
По аналогии с (9.21) этодаёт(︁)︁(︁)︁ ||2 − ||2 = ′ ||2 − ||2 .(9.41)Теперь мы можем выразить и через и , используя матрицу перехода(9.40), в результате чего получим(︁)︁(︁)︁(︁)︁ ||2 − ||2 = ′ ||2 − ||2 ||2 − ||2(9.42)и окончательно —)︁(︁||2 − ||2 = Det = ′ .(9.43)9.5 Время задержки309Задача 9.3Доказать утверждение задачи 9.1, используя свойства матрицы перехода.Задача 9.4Рассмотреть случай симметричного барьера ( ′ = ) и найти матрицурассеяния , которая связывает падающую и выходящую волны,)︂(︂)︂(︂=.(9.44)Показать, что эта матрица унитарна, † = † = 1.Решение.С помощью матрицы (9.40) с ||2 − ||2 = 1 получаем)︂(︂1− * 1.= *1(9.45)(9.46)Унитарность -матрицы выражает закон сохранения вероятности, в данномслучае — при упругом рассеянии (включая отражение и прохождение).9.5 Время задержкиСохранение тока определяет только абсолютные значения амплитудв процессах отражения и прохождения.
Однако информация, даваемаярешением уравнения Шрёдингера, не ограничивается только этим, таккак волновая функция при наличии тока является комплексной. Обсудимкратко физический смысл фаз отражённой и прошедшей волн.Рассмотрим отражение или прохождение падающего волнового пакета(см.
раздел 5.4) с амплитудой (), которая отлична от нуля в узком интервале волновых векторов. Для каждой монохроматической компонентымы можем найти амплитуды отражения, (), и прохождения, ( ′ ). Хотяпервоначальная амплитуда () может быть взята вещественной, прошедшая амплитуда комплексна и содержит фазу ( ′ ) (не путать с дельтафункцией). Эта разность фаз, по сравнению со свободным движением,приобретается в результате изменения условий распространения в области310Глава 9 Одномерное движение: континуумпотенциала. Соответствующая часть волнового пакета с его зависимостьюот времени может быть записана в асимптотической области как∫︁ ′′′′Ψ (, ) =|( ′ )| +( )−(/~)( ) .(9.47)2Вблизи центра тяжести пакета 0′ фазовый множитель в подынтегральномвыражении можно записать в виде[︂]︂]︁ [︁ ′′′′~0 − (0 ) + (0 ) + ( − 0 ) −+ ′ .(9.48)~~ ′Так как = ~2 ( ′ /) ′ = ~ ′ ′ , центр тяжести прошедшего пакета(который определяется по стационарной фазе, когда соседние компонентыинтерферируют конструктивно) движется согласно (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
