1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 50
Текст из файла (страница 50)
При наличии потенциала (но за его пределами)() ∝ − − 2 ∝ sin( + ).(9.156)В асимптотической области мы видим только свободное движение волновогопакета, так что фазовый сдвиг, который определяет его время задержки(9.58), полностью характеризует результаты рассеяния.Эта формулировка не описывает радиоактивный распад, когда нет никакого удалённого источника продуктов распада, например, альфа-частиц набесконечности. Альфа-частица (ядро 4 Не) образована из пары нейтронов ипары протонов внутри ядра из-за сильного притяжения в системе. При общей положительной энергии есть ненулевая вероятность (2.63) для альфачастицы туннелировать наружу через классически запрещённую областьпод кулоновским барьером.
На больших расстояниях от центра есть толькорасходящаяся волна() ∝ .(9.157)В этом случае задача приобретает особенности, подобные задаче о связанных состояниях с отрицательной энергией, которая будет рассмотренав главе 11. Как мы знаем, для = − < 0 волновая функция должнаэкспоненциально спадать при → ∞,√︂2−() ∝ , =.(9.158)~2Такое решение возможно только при определенных значениях энергии связи, и спектр связанных состояний является дискретным.
Таким же образомграничное условие (9.157) может быть выполнено только при определённых значениях энергии = ~2 2 /2. В отличие от подлинных связанныхсостояний здесь граничное условие является комплексным и допустимыезначения энергии будут также комплексными, как в уравнении (9.151). Этизатухающие состояния иногда называются гамовскими. Если бы потенциальный барьер (см. рис. 2.8) имел протяжённость до → ∞, состояниес энергией было бы нормальным связанным состоянием. Конечностьбарьера приводит к возможности туннелирования, конечному времени жизни ∼ ~/Γ и смещению энергии к нижней части комплексной плоскости(уравнение (9.151)).336Глава 9 Одномерное движение: континуумПонятие квазистационарного состояния полезно, только если его времяжизни достаточно велико, по крайней мере, несколько периодов ~/.
Тогдаширина мала по сравнению с вещественной энергией, Γ ≪ , а собственноезначение ℰ близко к вещественной оси энергии. Волновой вектор такжесодержит мнимую часть,√︃(︂)︂2− Γ .(9.159)=~22Для малых ширин мы находим√︂√︂(︂)︂2Γ Γ 2≈1−= 0 −.~244 ~(9.160)На больших расстояниях волновая функция (9.157) теперь также содержит,помимо уходящей осциллирующей волны, растущую экспоненту,√(9.161) ∝ [0 +(Γ/4~) 2/] = [0 +(Γ/2~0 )] ,где~0=0 =√︂2—(9.162)скорость частицы в свободном движении за барьером. Мы видим, чтополная волновая функция (9.150) имеет асимптотикуΨ(, ) ∝ [0 −()/~] (Γ/2~)[(/0 )−] .(9.163)Отсюда видно, что рост волновой функции для квазистационарного состояния при → ∞ является результатом накопления вероятности нахожденияраспадных частиц на больших расстояниях; все частицы, проникшие через барьер, уходят на бесконечность.
Амплитуда вероятности одинаковадля всех точек (, ), связанных классическим уравнением движения− = const = 0 .0Дополнительная литература: [26, 47, 49].(9.164)Ни одна из задач физики не имеет точногорешения.А. Б. Мигдал, В. П. Крайнов, «Приближённыеметоды квантовой механики»Глава 10Вариационный подход и диагонализация10.1 Вариационный принципСтационарное уравнение Шрёдингера (9.2) для дискретного спектрасвязано с определённой вариационной задачей минимизации функционала.Пусть — некоторая квадратично-интегрируемая функция, нормированная произвольным образом.
Рассмотрим среднее значение энергии в этомсостоянии,∫︁∫︁Ω* ^(10.1)⟨⟩ = , Ω = , = * ,как функционал от . Будем искать функцию , которая даёт экстремумэтого функционала. В непосредственной близости от экстремума перваявариация функционала,⟨⟩ =)︁ΩΩ1 (︁− 2 =Ω − ⟨⟩ ,(10.2)обращается в ноль. Будем варьировать функции и * под интегралами ииспользуем эрмитовость гамильтониана, чтобы получить вариацию энергиив виде∫︁{︁}︁1* ^**^⟨⟩ =(10.3) ( )[ − ⟨⟩] + [() − ⟨⟩ ] .Из уравнения (10.3) следует, что условие экстремума ⟨⟩ = 0 приводит кфункции , которая удовлетворяет уравнению Шрёдингера^ = ⟨⟩,(10.4)338Глава 10 Вариационный подход и диагонализацияи тогда среднее значение ⟨⟩ в этом состоянии является собственным значением гамильтониана.
И наоборот, можно показать, что, если функция обеспечивает экстремум ⟨⟩, она подчиняется уравнению Шрёдингера.Это означает, что минимально возможное собственное значение гамильтониана даёт абсолютный минимум функционала ⟨⟩, что таким образомсоответствует волновой функции 0 основного состояния системы.Задача 10.1^Показать, что следующее за наименьшим min собственное значение даёт минимум ⟨⟩ на классе функций, ортогональных 0 . (Предполагается,что основное состояние не вырождено.)Решение.Условный экстремум может быть найден как абсолютный экстремумфункционала энергии с дополнительным членом, содержащим множительЛагранжа; в этом случае нужно искать экстремум нового функционала1 () = ⟨⟩ − ⟨0 |⟩.(10.5)Значение множителя Лагранжа должно быть найдено из условия ортогональности функции 1 (), минимизирующей функционал (10.5) к ранеенайденной функции основного состояния 0 ,⟨0 |1 ()⟩ = 0.(10.6)Процесс можно продолжать таким же образом для более высоких состояний,налагая дополнительные требования ортогональности с помощью новыхмножителей Лагранжа.Задача 10.2Рассмотрим систему в постоянном внешнем поле , действующем на переменную ^ системы так, что соответствующий член, добавленный к гамильтониану, равен^ = ^ .ℎ(10.7)Покажите, что среднее значение ⟨^ ⟩, найденное для волновой функцииосновного состояния |0 ⟩ (которое предполагается невырожденным) в присутствии поля, однозначно определяет это поле [50].Решение.10.1 Вариационный принцип339(1)Пусть основное состояние |0 ⟩ соответствует приложенному полю 1 и(1)(1)^ 1 ⟩ = 1 ⟨ |^ | ⟩⟨ℎ00(10.8)^—является средним значением оператора (10.7) в этом состоянии.
Если гамильтониан системы без поля , энергия основного состояния даётся(1)(1)(1)(1)(1)^0 = 1 ⟨0 |^ |0 ⟩ + ⟨0 ||0 ⟩.(10.9)(2)Изменяя поле, 1 → 2 , мы получим другое основное состояние |0 ⟩ иэнергию(2)(2)(2)(2)(2)^0 = 2 ⟨0 |^ |0 ⟩ + ⟨0 ||0 ⟩.(10.10)Предположим, что 2 приводит к тому же значению ⟨^ ⟩. Согласно ва(1)риационному принципу энергия 0 , как собственное значение основного^ 1 + ,^ ниже, чем среднее значение этого оператора для любогосостояния ℎ(2)другого линейно независимого состояния, в частности |0 ⟩:(1)(2) ^(2) ^(2)^ (2)^0 < ⟨0 |ℎ1 + |0 ⟩ = 1 ⟨ ⟩ + ⟨0 ||0 ⟩.(10.11)Это можно записать эквивалентным образом как(1)(2)0 < 0 + (1 − 2 )⟨^ ⟩.(10.12)(2)Но состояние |0 ⟩ аналогичным образом обеспечивает минимум энергиидля поля 2 . Действуя таким же образом, получаем(2)(1)0 < 0 + (2 − 1 )⟨^ ⟩.(10.13)Уравнения (10.12) и (10.13) несовместимы.
Это показывает, что предположение неверно и величина ⟨^ ⟩ действительно однозначно определяетприложенное поле , хотя совсем не обязательно, что любое среднее значение ^ вообще определяет некоторое поле . Этот простой результатполезен в теории функционала плотности для систем многих частиц (глава13, том III).340Глава 10 Вариационный подход и диагонализация10.2 Прямой вариационный методНа практике вариационный метод служит удобным способом нахождения приближённых решений для основного и низколежащих дискретныхсостояний уравнения Шрёдингера в реальных ситуациях (сложные атомы,молекулы, атомные ядра, конденсированные среды), когда точные решенияне могут быть найдены. Существуют различные способы применения этойидеи.
Прямой вариационный подход состоит в выборе (на основе физическихсоображений и правдоподобных предположений) пробной функции основного состояния относительно простого вида с несколькими свободными^параметрами . Затем вычисляется среднее значение ⟨⟩ ≡ ⟨||⟩/⟨|⟩гамильтониана в пробном состоянии и минимизируется зависящий от параметров результат ⟨⟩/ = 0. Отсюда определяются значения параметров, которые обеспечивают наилучшее приближение к волновой функцииосновного состояния в выбранном классе пробных функций.Если выбор был разумным, результат, как правило, близок к точному.При выборе пробной функции нужно принять во внимание конкретныеособенности задачи. Например, результат будет лучше, если пробная функция уже удовлетворяет правильным граничным условиям.
Однако это необязательно для применения прямой вариационной процедуры. Мы должны помнить, что фактическая энергия основного состояния всегда ниже,чем та, которую мы нашли с помощью вариационного подхода (они равны,если мы сразу выбрали точное решение).Задача 10.3Используя функцию Гаусса() ∼ −2(10.14)как пробную волновую функцию, оцените энергию основного состояниядля частицы массы в потенциале линейного гармонического осциллятора (5.55).Задача 10.4Для частиц, заключённых в потенциальном ящике между = 0 и = (см. раздел 3.1), оцените энергию основного состояния с помощью пробных10.2 Прямой вариационный метод341функций (взятых только внутри ящика).1.
1 () = + 2 .2. 2 () = −|−|(10.15).(10.16)3. 3 () = sin().(10.17)Сравните результаты с точным решением и между собой.Задача 10.5В разделе 5.6 мы привели аргумент в пользу того, что любой притягивающий одномерный потенциал с симметричными пределами на ±∞содержит, по крайней мере, одно связанное состояние. Доказать это утверждение с помощью вариационного∫︀ ∞принципа при условии, что потенциал () удовлетворяет неравенству −∞ () < 0.Решение.Наиболее подозрительный случай связан с мелкой ямой (задача 3.4), гдемы обнаружили, что решение всегда существует в виде (3.50). Это решениеявляется хорошим кандидатом для пробной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
