1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Как правило, даже в многоуровневой системесмешивание в основном происходит между невозмущёнными уровнями,близкими по энергии.Классическая теорема о непересечении (Е. Вигнер, Дж. фон Нейман,1929 ) утверждает, что уровни одинаковой симметрии почти всегда избегают пересечения при изменении параметров. Пусть гамильтониан зависитот вещественного параметра и, как функция этого параметра, два невозмущённых уровня 1 () и 2 () пересекаются при = , так что Δ( ) = 0.Если имеется смешивающее взаимодействие , которое в общем случае348Глава 10 Вариационный подход и диагонализациятакже зависит от , пересечения фактических собственных состояний непроисходит (рис.
10.2). Вблизи = √︃(︂)︂Δ 22() ≈ ( − )+ 4| ( )|2 .(10.42) =Реальное пересечение может происходить только тогда, когда смешивающеевзаимодействие исчезает точно в той же точке, ( ) = 0. Для двухразличных функций, Δ() и (), вероятность иметь общий ноль мала,хотя случайно это может произойти.Особый случай имеет место, если система в точке пересечения обладаетопределенной точной симметрией, причём состояния |1⟩ и |2⟩ принадлежат различным классам симметрии.
Тогда гамильтониан ( ) не можетсмешивать такие состояния и ( ) = 0. Уровни, зависящие от параметров,обычно называются энергетическими термами. Мы приходим к заключению, что термы с различной симметрией могут пересекаться, в то времякак внутри одного класса симметрии пересечения не происходят.Задача 10.9Пусть в системе со многими состояниями попарные расстояния Δ междуближайшими невозмущенными уровнями и вещественные элементы матрицы смешивания ≡ /2 являются случайными величинами с функциямираспределения вероятностей (Δ)) и (). Показать, что, если функции и не имеют особенностей при нулевых значениях их аргументов, вероятность () расстояния между двумя соседними уровнями стремится кнулю линейно при малых расстояниях → 0 (нет пересечения).Решение.Распределение по расстоянию между ближайшими уровнями может бытьзаписано, согласно (10.33), в виде∫︁∫︁√︀ () = Δ (Δ) ()( − Δ2 + 2 ).(10.43)Интегрирование в плоскости (Δ, ) можно переписать в полярных координатах, Δ = cos , = sin ,∫︁∫︁ () = ( cos )( sin )( − ) =∫︁(10.44)= ( cos )( sin ).10.6 Эволюция во времени двухуровневой системы349Если функции и не являются сингулярными в начале координат, мыприходим к линейному отталкиванию, ( → 0) = , = 2 (0)(0).(10.45)С геометрической точки зрения мы искали вероятность оказаться точнов начале координат двумерной плоскости, что требует одновременногообращения в нуль двух декартовых координат.
В системе с инвариантностью относительно обращения времени матричные элементы всегдаможно взять вещественными (см. раздел 8.1). Если инвариантность относительно обращения времени отсутствует, матричные элементы , какправило, комплексные, и = 0 означает, что Re = Im = 0. Тогда пересечение уровней требует обращения в нуль трёх независимых параметроводновременно, что является ещё менее вероятным. С учётом аргументовпредыдущей задачи мы можем заключить, что вероятность наличия малых расстояний ведёт себя ∝ 2 . В принципе, статистика спектральныхуровней для малых расстояний могла бы, следовательно, дать информацию о наличии сил, нарушающих инвариантность относительно обращениявремени.В сложных системах множественные отклонения от пересечений присильном смешивании приводят в результате отталкивания уровней к формированию довольно однородной спектральной картины без больших зазоровмежду соседними уровнями и без слияния уровней.
Волновые функциипосле нескольких пересечений превращаются в очень сложные суперпозиции исходных состояний. Это приводит к характерной картине квантовогохаоса (см. главу III.18).10.6 Эволюция во времени двухуровневой системыЭволюция во времени системы с двумя состояниями относительно проста,если гамильтониан не зависит от времени. Любое начальное состояниепредставляет собой суперпозицию стационарных состояний,|Ψ( = 0)⟩ = + |+ ⟩ + − |− ⟩.(10.46)Она развивается во времени согласно|Ψ()⟩ = + ()|+ ⟩ + − ()|− ⟩,(10.47)350Глава 10 Вариационный подход и диагонализациягде± () = ± −(/~)± .(10.48)Эволюция также может быть выражена в терминах невозмущённого базиса (10.28),[︁]︁[︁]︁(+)(−)(+)(−)|Ψ()⟩ = + ()1 + − ()1 |1⟩ + + ()2 + − ()2 |2⟩. (10.49)Задача 10.10Пусть система изначально ( = 0) приготовлена в состоянии |1⟩.
Найтивероятность 2 () нахождения системы в состоянии |2⟩ в момент времени .Решение.Для этих начальных условий,(−)+ = − 2 ,(+)− = 2 .(10.50)Тогда искомая вероятность есть(︂ )︂⃒(︁)︁⃒2 4| |2⃒ (+) (−)⃒22 () = ⃒2 2 −(/~)+ − −(/~)− ⃒ =sin. (10.51)22~Вероятность колеблется с частотой Раби, равной расстоянию /~ междуточными частотами уровней. Максимальная вероятность 4| |2 /2 достигает1, если невозмущённые уровни вырождены, Δ = 0.
На первом этапе, ≪ 2~,населённость верхнего уровня квадратично растёт со временем (сравнитес (7.119) и далее с разделом III.6),2 ≈| |2 2 .~2(10.52)Задача 10.11Показать, что уравнение (10.49) характеризует унитарность преобразования между невозмущенными и зависящими от времени состояниями.10.6 Эволюция во времени двухуровневой системы351В вырожденном случае эволюция системы во времени, начиная с невозмущённого состояния |1⟩,|Ψ()⟩ =)︁1 (︁ −(/~)+ −(/~)− )︁1 (︁+|1⟩+ −(/~)+ −−(/~)− |2⟩, (10.53)22особенно проста.
Переход к базису |± ⟩ ≡ |±⟩ (для простоты предположим,что фаза = 0)) имеет вид)︁1 (︁|1⟩ = √ |+⟩ + |−⟩ ,2)︁1 (︁|2⟩ = √ |+⟩ − |−⟩ ,2(10.54)так что временну́ю эволюцию (10.53) можно переписать в виде]︁1 [︁|Ψ()⟩ = √ −(/~)+ |+⟩ + −(/~)− |−⟩ .2(10.55)Предположим, что верхнее состояние имеет энергию выше, чем порог длянекоторого распада, и в действительности является квазистационарным(см. разделы 5.8 и 9.12). Это может быть описано с помощью замены +на комплексную энергию ℰ = + − (/2).
После многих времён жизни ≫ 1/ пучок двухуровневых частиц будет состоять только из нижнейкомбинации |−⟩ с 1/2 начальной интенсивности,(︁)︁11|Ψ() ⇒ √ −(/~)− − |−⟩ = −(/~)− |1⟩ − |2⟩ .22(10.56)Теперь если этот пучок претерпевает некоторое взаимодействие с окружающей средой (например, поглощение в среде), которая различается дляневозмущенных состояний |1⟩ и |2⟩, так что компоненты |1⟩ и |2⟩ приобретают амплитуды 1 и 2 соответственно, состояние (10.56) преобразуетсясогласно)︁)︁1 (︁1 (︁|1⟩ − |2⟩ ⇒1 |1⟩ − 2 |2⟩ .(10.57)22Примечательно, что это означает регенерацию нестабильной распавшейсякомпоненты |+⟩, хотя и с меньшей амплитудой,1|Ψ⟩ = √ [(1 − 2 )|+⟩ + (1 + 2 )|−⟩] .2 2(10.58)352Глава 10 Вариационный подход и диагонализацияМы вернёмся к двумерным системам в приложениях для спина 1/2, распадакаона и нейтринных осцилляций.10.7 Яркое состояние и фрагментацияХотя в многомерных задачах точная диагонализация редко может бытьдостигнута, мы рассмотрим два модельных примера, где точное решениелегко получить, а лежащая в их основе физика поучительна и имеетдовольно общий характер.^ былоПредположим, что первое приближение для гамильтониана основано на − 1 ортогональных базисных состояний.
В результате диагонализации в этом приближении были получены собственные состояния^ и соответствующие собственные|⟩, = 1, . . . , − 1 гамильтониана значения . Эти состояния используются как новый базис ℬ( − 1). В сле^ вдующем приближении добавляется -е состояние. Среднее значение ^ ⟩ = ℎ; матричные элементы гамильтониана,этом состоянии равно ⟨ ||которые связывают это состояние с предыдущими ( − 1) состояниями вбазисе ℬ( − 1), равны , и для простоты будем считать вещественными.
Новое состояние может располагаться как на краю старого спектра, таки в середине. Типичная ситуация, когда такая проблема возникает, — этояркое состояние: физическая природа состояния | ⟩ может представлятьособый интерес. Оно взаимодействует с фоновыми состояниями |⟩, и, какследствие, его интенсивность фрагментирована, так как оно разложенопо многим точным решениям полного -мерного гамильтониана.^ в базисе {|⟩, | ⟩} выглядит следующим образом:Матрица ⎛1 0⎜ 0 2^ =⎜⎝ ... ...1 2⎞.
. . 1. . . 2 ⎟⎟.... ... ⎠... ℎ(10.59)Мы ищем собственные состояния |Ψ⟩ в полном базисе размерности ввиде суперпозиций|Ψ⟩ =∑︁=1 |⟩.(10.60)10.7 Яркое состояние и фрагментация^ действует на это состояние согласноОператор (︃ −1)︃∑︁∑︁∑︁^^ =|Ψ⟩= |⟩ |⟩ + | ⟩ .=1=1353(10.61)=1Это выражение должно быть равно(︃ −1)︃∑︁|Ψ⟩ = |⟩ + | ⟩ ,(10.62)=1^ в полном пространстве. Проекгде — искомые собственные значения тируя уравнения (10.60)–(10.62) на отдельные ортогональные состояния,мы приходим к системе линейных однородных уравнений для амплитуд и собственных значений , + = ,ℎ +−1∑︁ = 1, . . . , − 1, = .(10.63)(10.64)=1Используя (10.63), выразим все коэффициенты через последний : = .
− (10.65)Подставив этот результат в уравнение (10.64), мы приходим к характеристическому уравнению, являющемуся условием для существования нетривиального решения,−ℎ=−1∑︁=12≡ (). − (10.66)Анализ этого уравнения можно легко сделать графически (см. рис. 10.3),где последнее состояние размещено ниже, чем остальные. Правая сторонауравнения (10.66), как функция энергии (), имеет −1 полюсов в точках,где находятся невозмущённые собственные значения . Так как∑︁2=−< 0,( − )2(10.67)354Глава 10 Вариационный подход и диагонализацияhEРис.
10.3: Графический анализ характеристического уравнения (10.66) для -госостояния, добавленного ниже предыдущего ( − 1)-мерного спектра () монотонно уменьшается в каждом интервале, не содержащем полюсов = в точках невозмущённых уровней. Левая часть уравнения (10.66)как функция представляет собой прямую с наклоном, равным единице,которая пересекает ось абсцисс в точке последнего добавленного состояния = ℎ. Пересечения прямой линии со всеми ветвями () дают ровно новых собственных значений. Во всех ситуациях наименьшее собственноезначение находится ниже самого низкого уровня предыдущего приближения, как это должно быть в рамках вариационного подхода.
Таким жеобразом самое высокое собственное значение сдвигается вверх. Другие −2собственных значений всегда находятся между значениями, найденнымина предыдущей стадии.Теперь, пометив собственные состояния |Ψ() ⟩, новые собственные значения и амплитуды суперпозиции (10.60) , мы можем нормироватьволновые функции|Ψ() ⟩ =∑︁ |⟩ + | ⟩(10.68)=1с помощью условия−1∑︁ 2| |2 + || = 1.(10.69)=1Вместе с (10.65) это определяет 2|| =11+∑︀ −1=12 /( − )2.(10.70)10.7 Яркое состояние и фрагментация355Это выражение также может быть записано с помощью уравнения (10.67)как[︁]︁−1 2|| = 1 − (/),(10.71)где для каждого собственного состояния производная берется при энергии соответствующего решения.Задача 10.12Оператор функции Грина оператора^()=1(10.72)^−имеет полюсы в точках, соответствующих собственным значениям = .Найти матричные элементы оператора (10.72) и показать, что вычеты вполюсах совпадают с весами (10.71) яркого состояния.Сила яркого состояния разбита на все стационарных состояний.
Дляслабой связи собственные значения энергии близки к их невозмущённымзначениям и фрагментация слаба | | ≈ 1 для ближайшего корня и| | ≪ 1 для других корней. В противоположном пределе∑︀очень сильного возмущения,когда суммарная интенсивность связи = 2 столь√велика, что превышает область Δ, покрываемую невозмущённым спектром, низшее и высшее состояния отталкиваются далеко от области Δ иделят пополам всю силу,(low − ℎ)2 ≈ (high − ℎ)2 = ,1| (low |) ≈ | (high |) ≈ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
