1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Такимобразом, мы приходим к определению (11.42).б) Используйте представление (11.58) и перемножьте два интеграла. Этодаст∞1 2 2 ∑︁ (−2)(, ; ) = +!∫︁ ′ (′ ) −2 −′2 +2(+′ ). (11.60)=0При || < 1 все выражения сходятся, и сначала нужно просуммироватьпо , а затем вычислить гауссовы интегралы. В итоге получим122 22[2−( + ) ]/(1− ) .(, ; ) = √︀21−Нормированные (по отношению кского осциллятора равны () = 1/41√2 !−2 /2∫︀(11.61)) волновые функции гармониче-ℋ (),(11.62)или в исходных переменных () =(︁ )︁1/4~12√− /2~ ℋ2 !(︂√︂~)︂(11.63)378Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осцилляторψn(x)n=4n=2n=0n=1xn=3Рис.
11.3: Стационарные волновые функции гармонического осцилляторасо стандартной нормировкой∫︁ () () = .(11.64)Несколько типичных волновых функций показаны на рис. 11.3.Задача 11.6Рассчитать функцию Грина (пропагатор) (см. уравнение (3.37)) длячастицы в потенциале линейного гармонического осциллятора.Решение.Используя волновые функции (11.63) и результаты (11.59) и (11.61),получаем√︂′ ′(, ; , ) =×2~ sin[( − ′ )](︁)︁ ⎫⎧(11.65)⎨ 2′ − (2 + ′2 ) cos[( − ′ )] ⎬× exp.⎩⎭2~ sin[( − ′ )]С помощью уравнения (3.24) легко проверить правильность предела (3.36).11.4 Гармонический осциллятор в плоскости37911.4 Гармонический осциллятор в плоскости: разделениепеременныхХотя основная тема этого раздела — одномерное движение, мы можем,пользуясь случаем, показать, как обобщить наше рассмотрение на многомерный гармонический осциллятор.
Для двух измерений (, ) гамильтониан2^2^ = ^ + 1 2 2 + + 1 2 22 222(11.66)является просто суммой двух гамильтонианов для независимых линейныхосцилляторов,^ =^ + ^.(11.67)Так как вероятности событий, связанных с независимыми переменными, перемножаются, волновая функция может быть найдена в виде произведенияволновых функции для отдельных степеней свободы,(, ) = () ().(11.68)Такой подход называется разделением переменных.С помощью (11.68) стационарное уравнение Шрёдингера может бытьзаписано как1 ^1 ^ + = .(11.69)Два члена в левой части (11.69) зависят от различных переменных, и ихсумма может быть константой, только если каждый из них также являетсяконстантой. Очевидно, это означает, что полная энергия разделяется наэнергии отдельных движений,^ () = (),^ () = (), + = .(11.70)Заметим, что разделение переменных вносит новые квантовые числа, в данном случае — энергии подсистем.
Разделение уравнений для колебаний по и по даёт такой же спектр, как в (11.15),(︂)︂(︂)︂11 = ~ +, = ~ +,(11.71)22380u=1Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осциллятор234Рис. 11.4: Спектр энергий двумерного гармонического осциллятора как функцияпараметра деформации = /поэтому уровни полной энергии системы помечены двумя целыми квантовыми числами, и ,(︂)︂(︂)︂11( , ) = ( ) + ( ) = ~ ++ ~ +. (11.72)22Соответствующая волновая функция является произведением (11.68) функций осциллятора (11.63), (, ) = () ().(11.73)Это простое упражнение даёт представление о том, как распространитьданный подход на любое количество независимых степеней свободы осциллятора.11.5 Изотропный осцилляторДля произвольных частот и энергетический спектр задаётся, очевидно, случайным набором чисел.
Тем не менее если частоты связаныпростым соотношением, например, = / = /, где и — целые чис-11.5 Изотропный осциллятор381ла, спектр зависит от одной комбинации квантовых чисел = + .Все состояния с одинаковым являются вырожденными, и спектр приобретает оболочечную структуру (см. рис. 11.4). Такой резонанс может бытьхорошо интерпретирован с помощью классических фигур Лиссажу, изображающих периодические траектории в плоскости с периодом = = .Интересный случай, в частности, возникает, когда частоты колебанийпо различным осям равны, = ≡ .
В этом случае мы можем ввестиобщее квантовое число = + , и энергия(︂)︂11 = ~ + + += ~( + 1)(11.74)22зависит от , а не от двух независимых квантовых чисел. Поэтому = +1уровней с тем же , но различным распределением между и имеютодну и ту же энергию.
Структура оболочек задаётся с помощью0123= +1( , )(, )1(0, 0)(0, 0).2(1, 0), (0, 1)(0, ±1)3(2, 0), (1, 1), (0, 2)(0, ±2), (1, 0)4(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3) (0, ±3), (1, ±1)(11.75)Здесь вырождение появляется только из-за равенства частот. Массыосцилляторов , и силы упругости могут быть разными, но частотысовпадают, давая простейший резонанс между двумя режимами колебаний.Если частоты не являются абсолютно равными, но все ещё близки, такчто их расстройка Δ ≪ , , точного вырождения нет. Тем не менеесистема по-прежнему имеет спектр из групп близких уровней с бо́льшимипромежутками между группами, чем внутри группы. Квазивырождение,или близость к резонансу, в том числе более сложные случаи /, лежатв основе структуры оболочек в системах многих тел, таких как атомы,ядра, атомные кластеры и искусственные объекты в конденсированныхсредах, известные как квантовые точки [11, 56].
Будучи квантовым остатком классических периодических орбит [5], оболочки появляются также вфизических примерах, отличных от гармонического осциллятора.Другим проявлением той же симметрии является появление новых интегралов движения. Действительно, подобно рассмотрению квадратичныхформ гамильтониана в классической механике [13], мы всегда можем свести′2кинетическую часть энергии к виду (1/2)(′21 + 2 ) с помощью преобразо-382Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осцилляторвания переменных =√ ′ ,′ = √ .(11.76)Такие канонические преобразования сохраняют классические скобки Пуассона (7.94) между координатами и импульсами и, следовательно, оставляютинвариантной всю гамильтонову динамику. Аналогично такое же каноническое преобразование квантовых операторов сохраняет их коммутационныесоотношения (7.95) и операторные уравнения движения (7.96) и (7.97).После такого преобразования гамильтониан двух осцилляторов (11.66) сравными частотами становится изотропным в плоскости,1^ = 1p^ ′2 + 2 ^r′2 ,22(11.77)где введены двумерные векторы r′ и p′ .
Гамильтониан (11.77) инвариантенотносительно вращений в плоскости . Поэтому генератор таких вращений(в новых координатах (11.76)), орбитальный момент вдоль оси (раздел 4.5),сохраняется,^ = 0.[ℓ^ , ](11.78)Сохранение орбитального момента обеспечивает возможность маркировки стационарных состояний, помимо энергии, по квантовому числу ,являющемуся собственным значением оператора ℓ^ (раздел 7.10).
Однакооператор ℓ^ , коммутирующий с полным гамильтонианом, не коммутирует^ и ^ , так как вращение вокруг оси смешивает - ис его частями -координаты. Классификация стационарных состояний с использованием и является несовместимой с определённым значением ℓ . Эта ситуация похожа на ту, что была рассмотрена в задаче 6.13 и в примере вектораРунге-Ленца (раздел 7.10). Это обычная квантовая дилемма: состояниямогут быть описаны либо на языке декартовых квантовых чисел, или сиспользованием орбитального момента, но не одновременно.
Мы знаем иззадачи 6.13, что в таких случаях стационарные состояния должны бытьвырожденными. В результате задача двумерного изотропного осцилляторадопускает разделение переменных в двух наборах координат.11.6 Решение задачи в полярных координатах38311.6 Решение задачи в полярных координатахВведём полярные координаты (4.64) на плоскости, тогда оператор орбитального момента ℓ^ даётся производной по углу (4.68). Гамильтониан (11.77), где мы опустим штрихи у переменных, содержит в кинетическойчасти оператор Лапласа для двух измерений, который может быть записанв переменных (, ) как∇22 =21 1 2++.2 2 2(11.79)Угловая часть пропорциональна ℓ^2 , так что гамильтониан в полярныхкоординатах принимает вид2^ = −~2(︂21 +2 )︂+~2 ℓ^21+ 2 2 .222(11.80)От здесь зависит только часть, связанная с орбитальным моментом, которая может быть интерпретирована как вращательная или центробежнаяэнергия с моментом инерции = 2 .Новое разделение переменных подсказывает вид решения(, ) = ()Φ(),(11.81)а для угловой функции мы берём собственную функцию (4.72) операторапроекции орбитального момента, соответствующую целому квантовомучислу (не путать с массой, которая была исключена с помощью преобразования (11.77)),1Φ () = √ ,2 = 0, ±1, .
. . .(11.82)Этот набор функций является универсальным и определяется инвариантностью относительно вращений в плоскости. Энергетический спектр долженбыть найден из оставшегося радиального уравнения для функции (),которая зависит от ,[︂ 2 (︂ 2)︂]︂~1 ~2 2 1 2 2−+++ () = ().(11.83)2 2 222384Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осцилляторОбратите внимание, что энергия для ̸= 0 не может зависеть от знака ,вследствие инвариантности относительно обращения времени, что делаетдва направления вращения эквивалентными. Для каждого значения ||движение происходит в эффективном потенциале () =~2 2 1 2 2+ .222(11.84)Минимум этого потенциала смещается от начала координат в точку 0 () == (~||/)1/2 , а нижняя точка эффективного потенциала даётся выражением( )min = ~||.(11.85)Задача 11.7Решить дифференциальное уравнение (11.83), найти полный набор радиальных собственных функций () и показать, что энергетическийспектр даётся(, ) = ~(2 + || + 1),(11.86)где является радиальным квантовым числом, равным числу узлов ().Член ~|| соответствует новой нижней точке (11.85) эффективного потенциала для данного ||.Решение.Уравнение, которое нужно решить, имеет вид (в новых единицах (11.76)масса равна 1)[︂ 2]︂1 2 2 22+− 2 − 2 + = 0,(11.87)2 ~где 2 = 2/~2 .
Действуем аналогично тому, как мы искали решение длялинейного осциллятора в задаче 11.2. Асимптотическое решение при → ∞определяется производными и основным потенциалом осциллятора; как иранее,2 ∝ − ,=.2~(11.88)Новым элементом является наличие при ̸= 0 ротационной особенности вначале координат, → 0. Эта особенность имеет геометрический характер:11.6 Решение задачи в полярных координатах385азимутальный угол не определён в начале координат, так что зависимостьот должна исчезнуть, если функция имеет однозначный смысл в этойточке. Поведение в окрестности начала координат определяется производными, а также центробежным членом; соответствующее уравнение Эйлераимеет решение ∝ , которое определяет = ± через проекцию орбитального момента.
Для = 0 волновая функция без угловой зависимостистремится к константе вблизи начала координат; для ≠ 0 мы должнывзять положительную степень, чтобы получить узел радиальной функции,поэтому выбираем ∝ || , → 0.(11.89)Теперь аналогично (11.8) явно выделим асимптотическое поведение и будемискать решение в виде2 () = () || − .(11.90)После этой подстановки мы получим новое уравнение для (),[︂ 2(︂)︂(︁)︁]︂2|| + 12+− 4+ − 4 || + 1 = 0.(11.91)2Поскольку уравнение не меняется при формальной замене → −, решениеявляется функцией 2 , и удобно ввести новую переменную, = 22 ,что приводит к так называемому уравнению Куммера,(︂)︂(︁)︁21′′′ + || + 1 − −|| + 1 − () = 0,24(11.92)(11.93)где штрихи относятся к производным по .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
