1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Удобно (хотя и ненеобходимо) с самого начала нормировать функцию,√() = −|| .(10.18)Эта функция (обратите внимание, что она чётная) имеет скачок производной в начале координат. Поэтому нужно быть осторожным при расчётесреднего значения кинетической энергии; самый простой способ сделатьэто — использовать эрмитовость оператора импульса для квадратичноинтегрируемых функций и интегрировать по частям (сравните с (9.9)):∫︁ ∞∫︁ ∞~2~22− ()∇ () = |∇()|2 =2 −∞2 −∞(10.19)∫︁ ∞~2~2 22=2 |∇()| =.2 02Отсюда⟨⟩ =~2 2+2∫︁∞ −2|| ().(10.20)−∞Эта энергия выше, чем фактическая энергия основного состояния 0 прилюбом значении . При → 0 (случай мелкой ямы с большой глубиной342Глава 10 Вариационный подход и диагонализацияпроникновения в классически запрещённую область) потенциальный член(линейный по ) больше, чем кинетический член, который квадратиченпо .
Поскольку потенциальный член отрицателен для потенциала притяжения, уравнение (10.20) даёт ⟨⟩ < 0. Поэтому фактический уровеньэнергии заведомо является отрицательным и состояние является связанным. Пренебрегая экспонентой под интегралом, мы, по существу, пришлик той же оценке, основанной на соотношении неопределённости, котораябыла приведена в разделе 5.6; параметр соответствует обратной глубинепроникновения в (5.46).
Вместо уравнения (5.48) мы получаем методом минимизации по улучшенную оценку энергии основного состояниядля мелкого потенциала притяжения любой формы.∫︁)︁2 (︁0 ≈ − 2 () .(10.21)2~∫︀Можно учесть поправку к этому результату, содержащую || ().10.3 Диагонализация в усечённом базисеПробная волновая функция также может быть выбрана как лучшее решение с помощью усечённого базиса (вариационный метод Рэлея-Ритца).Предположим, что некоторый ортонормированный базис |⟩ качественноблизок к фактическому собственному базису гамильтониана, выберем ограниченное подмножество базисных состояний |⟩ и возьмём комбинациюконечного числа выбранных состояний,|⟩ =∑︁ |⟩,(10.22)=1в качестве пробной функции.
Выполнив диагонализацию гамильтониана вусеченном пространстве, как это делалось в разделе 6.8 для произвольногоэрмитова оператора, сведём задачу к секулярному уравнению (6.84),^ − · 1)^ = 0.Det((10.23)Решение его даёт собственных значений и соответствующие волновые()функции, выраженные в виде набора коэффициентов суперпозиции(10.22).
Наименьшее собственное значение, найденное этим методом, является лучшим приближением, возможным в классе функций (10.22), к10.4 Двухуровневая система343фактическому значению энергии основного состояния. Если выбор усечённого пространства был физически оправдан, следующие собственныезначения могут также быть достаточно хорошими, хотя это и не гарантируется вариационным принципом. Для возбуждённого состояния (состояний)может быть более правильным обрезать полный базис по-другому, а затемортогонализовывать решения, полученные с разными обрезаниями.Задача 10.6Доказать, что при добавлении новых ортогональных базисных векторовк -мерному множеству первоначального набора мы приходим к значениюэнергии основного состояния, которое никогда не превышает полученного впредыдущем приближении (чем шире класс пробных функций, тем ближерезультат к точному решению). Поэтому энергия основного состояниямонотонно уменьшается в процессе расширения вариационного базиса;сравните с разделом 10.7.Задача 10.7Вывести секулярное уравнение, используя неортогональный базис.Решение.^ для выбранС помощью матричных элементов матрицы перекрытия ного базиса = ⟨|⟩(10.24)получаем секулярное уравнение^ − )^ = 0.Det((10.25)10.4 Двухуровневая системаСреди различных ситуаций, которые представляют часто встречающиесяфизические условия, особое место занимают системы с двумя состояниями.
В Фейнмановских лекциях [51] почти всё здание квантовой теориипостроено на изучении системы с двумя состояниями. Наиболее важнымпримером, возможно, является система со спином 1/2. Как обсуждалосьв разделах 1.9 и 5.11, объект со спином 1/2 имеет при произвольным выборе оси квантования (обозначаемой как ) только два состояния, которыеотличаются проекцией спина = ±1/2. Конечно, эти состояния образуют344Глава 10 Вариационный подход и диагонализациятолько базис, и любая суперпозиция этих двух состояний также возможна.В этом случае система буквально имеет только два состояния.
Во многихслучаях ограничение двумя состояниями является приближением, которое продиктовано физическими аргументами. Это можно рассматриватькак простейшее применение вариационного принципа: мы ищем решениеквантовой задачи, используя пробную функцию на усечённом двумерномбазисе.Двухуровневая система должна служить в роли основной ячейки (кубита) будущего квантового компьютера, представляя два возможных базисных состояния, 0 и 1, двоичной арифметики. К сожалению, для большинства кандидатов, предложенных для реализации квантового компьютера,двухуровневое приближение не является точным. Существование другихсостояний может быть вредным для работы компьютера, создавая дополнительный источник разрушения квантовой когерентности в рабочемдвумерном пространстве (декогеренция).В приближении двух состояний наиболее общий эрмитов, не зависящийот времени гамильтониан может быть представлен в виде матрицы 2 × 2,(︂)︂ (︂)︂11 121 ^==,(10.26)21 22 * 2где мы используем некоторый базис |1⟩, |2⟩ невозмущённых состояний.Следуя традиции, назовём диагональные матричные элементы 1,2 невозмущёнными энергиями, а недиагональные матричные элементы 12 = * = * — взаимодействием между невозмущёнными состоянии 21 = 12ями.
В отсутствие взаимодействия невозмущённые состояния являютсясобственными состояниями гамильтониана с невозмущёнными энергиями.Далее будут полезны обозначения√︀Δ = 2 − 1 , = Δ2 + 4| |2 ;(10.27)мы будем считать, что Δ > 0.Стационарные волновые функции |⟩ представляют собой суперпозициибазисных невозмущённых состояний (см. уравнение (10.22))|⟩ = 1 |1⟩ + 2 |2⟩,(10.28)где амплитуды 1,2 должны быть найдены при условии нормировки|1 |2 + |2 |2 = 1.(10.29)10.4 Двухуровневая система345Стационарное уравнение Шрёдингера^|⟩= |⟩(10.30)сводится к набору (6.83) алгебраических уравнений для амплитуд 1,2 ,1 1 + 2 = 1 ,1 * + 2 2 = 2 ,(10.31)и нетривиальные решения появляются при энергиях ± , которые даютсякорнями секулярного уравнения (6.84),( − 1 )( − 2 ) − | |2 = 0,(10.32)]︁√︀11 [︁2 + 1 ± Δ2 + 4| |2 ≡ (1 + 2 ± ) .(10.33)22Чтобы найти стационарные собственные векторы, нужно решить одноиз уравнений (10.31) для правильного значения .
Если возмущение является комплексным в исходном базисе, = | | , может быть удобнымисключить фазы, например, с помощью новых амплитуд± =1 = 1 (/2) ,2 = 2 −(/2) ,(10.34)которые удовлетворяют уравнениям(1 − )1 + | |2 = 0,(2 − )2 + | |1 = 0(10.35)и могут быть взяты действительными.Задача 10.8Найти амплитуды собственных функций.Решение.Решение следует из уравнения (10.35); при выборе Δ > 0 и знака +, 1 и2 имеют одинаковые знаки.
В случае отрицательного решения их знакипротивоположны. Общий знак произволен, решение можно записать в виде√︂√︂+Δ−Δ(+)(+)2 =, 1 =;(10.36)22√︂√︂−Δ+Δ(−)(−)2 = −, 1 =.(10.37)22Легко проверить ортонормированность решений.346Глава 10 Вариационный подход и диагонализацияE(+)before mixingafter mixingE(–)Рис. 10.1: Расталкивание уровнейВ невозмущённом пределе, → 0, верхний уровень |+ ⟩ совпадает с |2⟩,а нижний, |− ⟩, — с |1⟩,(+)2→ 1,(+)1→ 0,(−)2→ 0,(−)1→ 1.(10.38)10.5 Расталкивание и непересечение уровнейКак видно из уравнения (10.33), произвольное эрмитово возмущение приводит к отталкиванию уровней, рис.
10.1. Новые энергетическиеуровни ± имеют интервал больше, чем у невозмущённых уровней,√︀+ − − = = Δ2 + 4| |2 > Δ.(10.39)Расщепление, = 2| |, появляется даже для вырожденных невозмущённыхуровней, Δ = 0.Обратите внимание, что в случае вырождения√ все амплитуды собственных состояний имеют абсолютное значение 1/ 2, т. е. независимо от силысмешивания исходные состояния смешаны одинаково. Например, для вещественного и Δ = 0 собственные состояния являются симметричной иантисимметричной суперпозицией базисных состояний,)︁1 (︁|± ⟩ = √ |1⟩ ± |2⟩ .2(10.40)Таким образом, вместо пересечения базисных уровней мы получаем ихотталкивание и максимальное смешивание; если параметризовать коэффициенты смешивания (10.34) с помощью угла поворота базиса в плоскости,1 = cos , 2 = sin , максимальное смешивание соответствует = 45∘ .10.5 Расталкивание и непересечение уровней21'12'347Рис. 10.2: Исчезновение пересечения уровнейОтталкивание уровней — это формально ещё одно проявление вариационного свойства: за счёт увеличения размера пробного пространства от = 1 до = 2 мы сдвигаем нижнее состояние ещё ниже (а верхнее состояние выше), чтобы избежать пересечения.
Это формальное свойствоприводит к важным физическим следствиям. Рассмотрим сначала случайслабого возмущения . Чтобы выяснить, что является мерой слабости, сделаем разложение по /Δ в двухуровневом решении. Меньшая компонента(+)1 верхнего уровня (уравнение (10.36)) в данном случае не исчезает, ноостаётся малой:√︃ √︀Δ2 + 4| |2 − Δ| |(+)√︀1 =≈,(10.41)22Δ2 Δ + 4| |(+)где мы пренебрегли поправками второго порядка. Большая амплитуда 2отличается от единицы только членами второго порядка. Безразмерноеотношение недиагональных элементов матрицы (10.26), обеспечивающихсмешивание, к интервалу между невозмущёнными уровнями служит показателем слабого смешивания (предел теории возмущений будет рассматриваться более подробно позже).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
