1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 47
Текст из файла (страница 47)
последний членв (9.48))]︃[︃)︂(︂= 0.(9.49) − ′ − ~ =(′ )0Мы пришли к выводу, что производная фазы () по энергии определяетвремя задержки волновых пакетов по сравнению со свободным движением =~.(9.50)Отрицательное означает ускорение движения.Задача 9.5Определить время задержки волны, отражённой от барьера конечнойвысоты 0 (см. раздел 2.5).Решение.Удобно использовать (2.46) и тот факт, что || = 1 (при = 1). Такжевведём вспомогательный угол , который определяется как√︂√︂20cos ==, sin = , 0 =.(9.51)000~2Тогда из (2.49)= 2 − 2 − 2 − == cos(2) − sin(2) = −2 .
+ 02(9.52)9.5 Время задержки311Это означает, что фаза отражённой волны равна = −2, и, вычисляя/, получаем время задержки = 2~~22= √︀=,=~(0 − )(9.53)где = ~/ является классической скоростью частицы.Задача 9.6Определить время задержки для волн, отражённых от барьера конечнойдлины , и для волн, прошедших через этот барьер, при энергиях нижевысоты барьера (см.
раздел 2.6).Решение.Используя тот же угол , что в уравнении (9.51), амплитуды из задачи 2.4можно записать в виде)︁1 (︁(9.54)1 − −2 , = −− = −(−)2cos , = −−(+) = −(+)2sin(2) − ,2cos −2 ,(9.55)(9.56)где=√︀1 − 2−2 cos(4) + −4(9.57)иtan = coth() tan(2).(9.58)В пределе малой проницаемости барьера, ≫ 1, мы имеем → 2, ивремя задержки как отражённой, так и прошедшей волны совпадает с тем,которое было найдено в (9.53).Результат (9.53) является неожиданным: в пределе ≫ 1 время задержки при туннелировании не зависит от ширины барьера! Этот странныйрезультат в течение длительного времени был предметом дискуссий.
Понятый буквально он эквивалентен наличию сколь угодно высоких (дажесверхсветовых) скоростей в процессе квантового туннелирования. Тем неменее можно заметить, что весь вывод времени задержки (9.50) сделан312Глава 9 Одномерное движение: континуумв предположении, что реальная амплитуда волнового пакета, |( ′ )| в уравнении (9.47), является гладкой функцией энергии, которая может бытьпросто взята в центре тяжести = 0 , не давая вклада в стационарнуюфазу. Это предположение несправедливо в случае барьера с очень низкойпроницаемостью, ≫ 1. Здесь барьерный фактор exp(−) являетсяфункцией с резкой зависимостью от мнимого волнового числа.
Прошедший волновой пакет оказывается сильно отличающимся от падающего иотражённого. Принимая барьерный фактор во внимание при вычислениифазы (9.48), мы приходим к комплексному выражению[︂]︂(︂)︂1 2 =~+ =−.(9.59) ~Грубо говоря, «туннелирование происходит в мнимом времени». Для оченьширокого барьера стационарная точка перемещается дальше в плоскости комплексного времени. Очевидно, что второй член в (9.59) связанс неопределённостью скорости под барьером, Δ ∼ ~/. Если пытатьсяотслеживать движение внутри барьера, то условия локализации приводятк Δ ≪ и Δ ≫ ~/.9.6 Однородное полеВ качестве важного примера рассмотрим движение заряженной частицыв постоянном однородном электрическом поле ℰ (рис.
9.3).Потенциальная энергия равна () = −ℰ, где — заряд частицы,стационарное уравнение Шрёдингера имеет вид ′′ +2( + ℰ) = 0.~2(9.60)Энергетический спектр является непрерывным и не вырожденным, а свободное движения возможно только с одной стороны. Также напомним,что это один из исключительных случаев, когда центр тяжести волнового пакета движется вдоль классической траектории (задача 7.7). В этойзадаче удобно перейти к импульсному представлению через стандартноепреобразование Фурье (раздел 4.1):∫︁∫︁ (/~)() =(), () = −(/~) ().(9.61)2~9.6 Однородное поле313U(x)EaxРис.
9.3: Одностороннее движение заряженной частицы в постоянном однородномэлектрическом поле в предположении ℰ > 0Потенциальная энергия становится линейной функцией от ^ = ~(/),а уравнение, которое следует решить, — дифференциальным уравнениемпервого порядка по переменной ,(︂ 2)︂~ℰ=− .(9.62)2Решение этого уравнения очевидно:(; ) = −(/~ℰ)[(3 /6)−].(9.63)Легко проверить, что собственные функции для различных энергий ортогональны.
Мы можем положить = (ℰ)−1/2 для всех , чтобы получитьобычную нормировку:∫︁ * (, ′ )(, ) =2~∫︁(9.64)1 (/~ℰ)[(3 /6)−] −(/~ℰ)[(3 /6)− ′ ]== ( − ′ ).ℰ2~Здесь является «координатой» волновой функции, в то время как ,изменяясь от −∞ до ∞, является квантовым числом, идентифицирующимсостояние. Мы можем проверить полноту (см.
уравнение (3.16)) этого314Глава 9 Одномерное движение: континуумнабора функций:∫︁∫︁ (/~ℰ)(−′ )* ′(/~ℰ)(′3 −3 )/(6)(; ) ( ; ) = =ℰ(9.65)= 2~( − ′ ),где фактор 2~ соответствует нашему определению интегралов по импульсному пространству.Теперь мы можем найти координатную волновую функцию (9.61):∫︁1 (/~)[(−)−3 /(6ℰ)]√ () =,(9.66)2~ℰгде = −/(ℰ) − классическая точка поворота при энергии (рис.
9.3).Как видно из уравнения (9.60), () зависит от координаты и энергиив комбинации − , т. е. различные энергии приводят к одинаковомуповедению на соответствующем расстоянии от точки поворота. Вводябезразмерный импульс= ,~(︂=2ℰ~2)︂1/3(9.67)и безразмерную координату, измеренную в единицах длины волны 1/, = ( − ),мы находим волновую функцию в интегральной форме∫︁ [−3 /3]() = √.2ℰ(9.68)(9.69)Обратите внимание, что полученная функция является вещественной. Этоговорит нам, что ток вероятности равен нулю, как и следовало ожидать приполном отражении от барьера, даже если волна проникает в запрещённуюобласть < 0.9.7 Функция Эйри и функции Бесселя*Функция Эйри определяется как(︂ 3)︂∫︁1 ∞Ai() = cos+ .
03(9.70)9.7 Функция Эйри и функции Бесселя*315Переходя в (9.69) к интегралу по положительным значениям , получаем() = √ Ai(−).ℰ(9.71)Функция Эйри связана с широким классом цилиндрических функций, которые часто встречаются в приложениях. Это хороший пример, где мыможем получить математические знания, чтобы использовать их позжедля квазиклассического приближения.Как видно из уравнения (9.60) и подстановок (9.67) и (9.68), волноваяфункция () удовлетворяет дифференциальному уравнению2 + = 0, 2(9.72)где = 0 является точкой поворота, область > 0 соответствует классически разрешённому движению и < 0 области под барьером.
Как всегда,это уравнение имеет два линейно независимых решения, а физическимрешением является их определённая комбинация, Ai(−). В точке поворотафункция Эйри и её производная имеют конечные значения, которые могутбыть вычислены [46] непосредственно, если положить = 0 в определении(9.70),3−2/3Ai(0) =,Γ(2/3)(︂)︂3−4/3Ai(−)=.Γ(4/3)=0(9.73)Результат выражается через Гамма-функции, которые имеют значенияΓ(2/3) ≈ 1.354 и Γ(4/3) = (1/3)Γ(1/3) ≈ 0.893.
Эти числа задают определённую комбинацию, которую нам нужно найти.Если мы введём новую переменную таким образом, что = (2/3) 3/2(позже мы увидим причину этой замены переменной), и новую функцию() =[︁ () ]︁√, =(3/2) 2/3(9.74)то после простых алгебраических преобразований получим дифференциальное уравнение(︂)︂2 1 1++ 1 − 2 = 0.(9.75) 2 9316Глава 9 Одномерное движение: континуумЭто конкретный случай уравнения для цилиндрических функций (такназываемых функций Бесселя) (),)︂(︂1 2 2+(9.76)+ 1 − 2 = 0, 2 где — произвольный вещественный или комплексный параметр.
Нашафункция () соответствует = ±1/3. Будем искать решение уравнения (9.76) в виде ряда. Для начала рассмотрим окрестность точки = 0,которая является особой точкой для коэффициентов. В последнем членемы можем пренебречь 1 по сравнению с 2 / 2 , если ̸= 0. Это приводитк уравнению Эйлера, где все члены имеют одно и то же степенное поведение () ∝ . Тогда уравнение определяет = ± и, соответственно, дварешения, ведущие себя как ± в начале координат.Для определенного знака мы можем найти весь ряд () =∞∑︁ + .(9.77)=0Чтобы удовлетворить уравнению, коэффициенты должны быть взаимосвязаны,+2 ( + 2)(2 + + 2) + = 0.(9.78)Это двухчленное рекуррентное соотношение показывает, что начинаяс = 0, мы получаем только чётные или, полагая = 2 и = 2 ,+1 = −.4( + 1)( + + 1)(9.79)С помощью рекуррентного соотношения для гамма-функции (обобщениефакториала для нецелого аргумента)Γ( + 1) = Γ()(9.80)мы приходим к решению уравнения (9.79): = (−)22 Γ(0+ 1)Γ( + + 1)(9.81)9.7 Функция Эйри и функции Бесселя*317и с обычным выбором общего множителя 0 = 2− получаем стандартноеопределение функций Бесселя: () =∞∑︁=0(−) (/2)+2.Γ( + 1)Γ( + + 1)(9.82)Если не является целым числом, две функции ± линейно независимы,как можно видеть из их поведения вблизи начала координат.
Тогда общеерешение уравнения (9.76) является их линейной комбинацией, () = () + − ().(9.83)Возвращаясь к исходной переменной и приравнивая коэффициенты в формуле (9.83) к значениям (9.73) в начале координат, мы выразим функциюЭйри и тем самым решение для () квантовой задачи (уравнение (9.71))через функции Бесселя:√ [︂)︂)︂]︂(︂(︂2 2/32 2/31/3+ −1/3.(9.84)Ai(−) =333Если же = является целым числом, мы не можем найти два линейнонезависимых решения таким методом. Действительно, решение с = − посуществу та же функция, что и , поскольку первых членов ряда (9.82)исчезают, потому что гамма-функции в знаменателе имеет полюса и рядфактически начинается с = . Тогда после переименования − = мысразу видим, что− () = (−) ().(9.85)Это означает, что для целого мы должны искать второе независимоерешение.
Мы сделаем это позже в соответствующем месте курса.Задача 9.7Вычислить определитель Вронского [ , − ].Решение.Используя метод раздела 9.3, получаем, что для любых двух цилиндрических функций 1 () и 2 () [1 , 2 ] =const,(9.86)318Глава 9 Одномерное движение: континуумгде константа зависит от выбора решений 1,2 . Сравнение рядов (9.82) дляиндексов ± показывает, что при 1 = и 2 = −const = −2.Γ( + 1)Γ(1 − )(9.87)Используя тождества (9.80) иΓ()Γ(1 − ) =,sin()которые следуют из определения гамма-функции,∫︁ ∞Γ() = − −1 ,(9.88)(9.89)0мы находим [ (), − ()] = −2 sin().(9.90)Для целых определитель Вронского равен нулю, что указывает на линейную зависимость и − .9.8 Асимптотическое поведение*Теперь наша цель заключается в том, чтобы установить поведение функции Эйри в асимптотической области, что означает достаточно далёкойот точки поворота.
Мы используем этот пример, чтобы дать представлениеоб асимптотических свойствах решений дифференциальных уравнений,выраженных через различные специальные функции [47]. Общий подходвосходит к Лапласу, а конкретная форма метода наискорейшего спуска —к Риману.Как правило, задача может быть сведена к исследованию интегральногопредставления следующего типа:∫︁() = (; ),(9.91)где мы интересуемся поведением () при больших значениях параметра ;пределы интегрирования также могут зависеть от . Когда → ∞, частоможет заметить, что основной вклад в интеграл происходит от областей9.8 Асимптотическое поведение*319вблизи определенных точек . Тогда мы можем изучить поведение функции () в этих областях, сделать замену в интеграле, соответствующуюупрощённым выражениям, и вычислить интеграл.Задача 9.8Найти асимптотическое поведение при → ∞ интеграла∫︁ 0() = − (),(9.92)0если функция () не имеет особенностей внутри интервала интегрирования, включая = 0 , а вблизи начала координат её основной член равен ,так что она может быть представлена в виде ряда (0 + 1 + 2 2 + .
. . )аналогично функции Бесселя (9.82).Решение.В пределе → ∞ и > 0, exp(−) становится очень малой за исключением окрестности = 0. Эта окрестность, которая сокращается приувеличении , определяет основной вклад в интеграл. Так как мы знаемповедение подынтегральной функции в этой области, то можем выполнитьинтегрирование почленно и получить асимптотику интеграла. Первый шагдаёт∫︁ 0() ≈ − (0 + 1 +1 + . . . ).(9.93)0Конечно, разложение строго справедливо только в некоторой окрестностиот начала координат, поэтому вместо 0 мы должны были бы установитьнекоторый предел ′ . Однако поскольку основной вклад в интеграл такили иначе происходит от очень маленьких , мы расширяем интегрирование до бесконечности, допуская погрешность менее exp(− ′ ). Вспоминаяопределение гамма-функции (9.89), получаем() ≈ 0Γ( + 1)Γ( + 2)+ 1+ ....+1 +2(9.94)Мы имеем право продолжить ряд, так как отброшенная часть экспоненциально мала по сравнению с членами ряда.Таким же образом мы можем показать, что в аналогичном интеграле,∫︁() = () (),(9.95)320Глава 9 Одномерное движение: континуумасимптотическое поведение при → ∞ определяется вкладами точек = , где функция () имеет максимумы.Задача 9.9Получите формулу Стирлинга для асимптотики гамма-функции (9.89)при → ∞,√Γ( + 1) ∼ 2 − .(9.96)Решение.Для Γ( + 1) соответствующая функция () = − + ln() имеет максимум, / = 0, в точке = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
