1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Таким об-8.7 Квазиимпульс и функции Блоха277разом, естественно использовать слово квазиимпульс или кристаллическийимпульс для вектора ~k, характеризующего волновую функцию квазичастицы в кристалле (мы будем часто также называть волновой векторk квазиимпульсом). Так как плоская волна, в сущности, определяется еётрансформацией при смещениях, волновая функция квазичастицы такжеопределяется вектором k, поэтому мы будем использовать обозначение k .Будем искать собственную функцию всех операторов трансляций какпроизведение плоской волны и некоторой другой функции,k (r) = (k·r) k (r).(8.49)Тогда из уравнения (8.48) следует, что для любого сдвига Rk (r − R ) = k (R).(8.50)Это означает, что амплитудная функция (r) не меняется при сдвигахрешётки.
Мы пришли к теореме Блоха: волновая функция стационарногосостояния квазичастицы на решётке характеризуется квазиимпульсом kи может быть представлена в виде (8.49), где функция k (r) являетсяпериодической с периодом, равным периоду решётки. От плоской волны воднородной среде мы пришли к плоской волне, модулированной с периодомрешётки. Явный вид модулирующей функции k (r) не может быть найденв общем случае; эта функция, например, может иметь максимумы илиминимумы в узлах решётки.Мы не удовлетворили периодическим граничным условиям (3.93).
Поскольку модулирующая функция является периодической на решётке, онане меняется при сдвиге на размер всего кристалла. Поэтому циклические условия, которые применяются к фактору плоской волны в функции(8.49), являются идентичными однородному случаю (3.93). Таким образом,компоненты квазиимпульса равны =2 , = 0, ±1, ... .(8.51)Это означает, что квазиимпульс квантуется как обычный импульс в ящикес циклическими граничными условиями.Теперь обратимся к разнице между импульсом и квазиимпульсом.
Последний не является однозначным. Он определяется через изменение фазы(8.48) волновой функции при сдвиге решётки. Однако та же цель можетбыть достигнута с любым вектором k′ , который отличается от k на про-278Глава 8 Дискретные симметрииизвольный вектор K (уравнение (8.40)) обратной решётки. В силу (8.41)векторы k и k′ = k + K определяют одну и ту же фазу (8.47).
Когда векторk пробегает по всему k-пространству, волновая функция k (r) периодически возвращается к своему значению с периодом обратной решётки. Мызаключаем, что волновая функция k (r) и её энергия k — периодическиефункции на обратной решётке.Имеет смысл ограничить k-пространство минимальным набором векторов k, который определит все различные функции k . Очевидно, чтоэтот набор заполняет элементарную ячейку обратной решётки.
Хотя выбор∘такой ячейки не является однозначным, её объём reciprфиксирован. Величина этого объёма равна обратному объёму (8.38) элементарной ячейкипрямой решётки. Подсчёт квантованных, согласно (8.51), компонент приводит, как и в (3.94), к интегралу по элементарной ячейке обратнойрешётки∫︁∫︁∑︁⇒=3 .(8.52)32/2/2/(2) С учётом фактора 2 в определении (8.40) эта величина равна∘∘= , · recipr= ∘ recipr(8.53)где есть число элементарных ячеек в фактическом образце.
В результатеимеется нетривиальных различных значений квазиимпульса k.Конечно, так и должно быть. Мы можем построить кристалл, добавляяячейку к ячейке, чтобы обеспечить возможность квазичастице быть локализованной на каждом узле (атомы, образующие решётку).
Все местаодинаковы и все локализованные состояния также идентичны, что приводит к одной той же волновой функции с центром в разных точках. Поэтомулюбой атомный уровень, повторенный в каждом ячейке, приводит к состояниям всего кристалла. Теперь позволим квазичастицам распостраняться по кристаллу, изменяя своё местоположение; вместо локализованныхсостояний мы приходим к волнам Блоха в качестве стационарных состояний в кристалле. Тем не менее число независимых состояний не можетизмениться при преобразовании в другой базис — оно по-прежнему должнобыть равно .Задача 8.3В блоховском состоянии, которое характеризуется квазиимпульсом p,истинный импульс, как правило, не имеет определённого значения. Пока-8.8 Энергетические зоны279U(x)0xРис.
8.3: Одномерный кристаллзать, что только те значения p имеют ненулевую вероятность, для которыхвыполняется условие p = ~k + ~K, где K является одним из векторовобратной решётки.Решение.Прежде всего нужно показать, что любая функция (r), которая является периодической с периодом решётки, может иметь ненулевые Фурьекомпоненты q только при q = K.Задача 8.4Рассмотрим стационарное состояние рассеяния двух квазичастиц в кристалле. Вначале они находятся на большом расстоянии как независимыеобъекты с квазиимпульсами k1 и k2 , подходят друг к другу, взаимодействуют и уходят с асимптотическими значениями квазиимпульсов k3 и k4 .Показать, что существует закон сохранения в видеk1 + k2 = k3 + k4 + K,(8.54)где K является одним из векторов обратной решётки. Случаи с K ̸= 0называются процессами переброса.8.8 Энергетические зоныЭнергетический спектр квазичастицы в кристалле состоит из энергетических зон.
Идентичные уровни энергии отдельных атомов вырождены.В результате связи между ячейками в кристалле образуются зоны. Каждаязона по-прежнему содержит уровней, которые характеризуются теперь значениями квазиимпульсов.Задача 8.5280Глава 8 Дискретные симметрииРассмотрим одномерную цепочку из идентичных притягивающих потенциальных ям с периодом (см. рис.
8.3). Каждая яма имеет связанноесостояние с энергией . Частицы могут туннелировать между соседнимиямами с амплитудой туннелирования ; туннельные (прыжковые) амплитуды должны рассматриваться как матричные элементы гамильтониана,ответственные за переходы между соседними ячейками. Найти стационарные состояния и энергетический спектр системы.Решение.Гамильтониан (в базисе локализованных состояний |⟩, помеченных поих местоположению, = 1, ..., ) может быть записан в терминах егоматричных элементов ′ = ′ + (, ′ +1 + , ′ −1 ).(8.55)Нам нужно диагонализовать эту матрицу × .
Стационарные бегущиеволны — это суперпозиции локализованных состояний,∑︁|⟩ = |⟩.(8.56)Уравнение Шрёдингера^|⟩= |⟩(8.57)приводит к рекуррентным соотношениям для амплитуд ,( − ) + (+1 + −1 ) = 0.(8.58)Решением является экспонента, ∝ exp(), но условие унитарностивыбирает чисто мнимые экспоненты = , где — квазиимпульс и —координата ячейки , = ,(8.59)так что в каждой следующей ячейке волна Блоха получает необходимуюфазу , в то время как квазиимпульс различает возможные решения.Величина (8.59) играет роль координатной волновой функции в нашемдискретном пространстве; модулирующей функцией здесь являетсяконстанта.
При подстановке (8.59) секулярное уравнение (8.58) определяет8.9 Симметрия молекул281энергетический спектр() = + 2 cos().(8.60) -кратно вырожденный уровень расширяется до энергетической полосыот − 2 до + 2. Квантование (8.51) квазиимпульса, = (2/ ), даёт уровней с изменяющимся от = −/2, = −/ до = /2, = /и∑︁| ⟩ = (2/ ) |⟩(8.61)играет роль импульсной волновой функции√ в дискретном случае. Нормировка функции (8.61) определяет = 1/ .Как правило, квазиимпульс k не определяет однозначно состояние квазичастицы, как в задаче 8.5. Волновые функции с различной модуляциейk могут иметь одинаковые фазовые сдвиги при смещениях.
Если вместоодного уровня в каждой яме было бы два уровня, то мы получили бы двеэнергетических зоны с уровнями в каждой. Уровни с одинаковыми kследует отличать по дополнительным квантовым числам, например, по ихпроисхождению от определённого состояния отдельного атома или простопо порядковому номеру, соответствующему возрастанию энергии. Дажебез всякого периодического потенциала состояния свободного движениямогут искусственно описываться с помощью квазиимпульса || < / дляпроизвольного значения периода и номера зоны (см. рис.
8.4a). Наличиепотенциала с реальным периодом приводит к новому спектру (8.60) взоне (рис. 8.4b).Сложность энергетического спектра, как правило, связана с тем, чтозоны могут перекрываться по энергии. С другой стороны, могут бытьзапрещённые интервалы между зонами, где нет никаких уровней (Δ нарис. 8.4b). В твёрдых телах эта структура энергетических зон определяетсвойства проводимости (металлы, полупроводники и диэлектрики).8.9 Симметрия молекулВ разделе 5.7 мы кратко упомянули классификацию молекулярных возбуждений. Ядра в молекуле образуют скелет, который имеет определённуюпространственную структуру.
Так как амплитуды нулевых колебаний ядерзначительно меньше среднего расстояния между ними, эта пространственная симметрия является характерным свойством молекулы, которое позво-282Глава 8 Дискретные симметрииεK332211k– 3πa– 2πa– πaπa02πa3πa2πa3πa(a)εK33Δε2322BΔε12– 3πa– 2πaAπ– a11B'A'k0πa(b)Рис. 8.4: Спектр свободного движения в зонной картине (a); спектр (8.60), искажённый периодическим потенциалом (b)ляет предсказать нормальные колебательные моды и степень вырождениячастот.Мы знаем, что среди 3 пространственных степеней свободы молекулыс атомами три из них соответствуют смещениям, а ещё три — вращениямкак целого.
Остальные 3 − 6 степеней свободы отвечают модам нормальных колебаний. Исключением являются линейные молекулы, которыеимеют только 3 − 5 глобальных степеней свободы, и мы можем их клас-8.9 Симметрия молекул283(1)(2)(3, 4)Рис. 8.5: Нормальные моды CO2 молекулысифицировать рассматривая движения вдоль оси и в перпендикулярныхнаправлениях. Продольное движение атомов даёт − 1 нормальныхмод (перемещение как целого вдоль оси должно быть исключено).Остальные (3 − 5) − ( − 1) = 2( − 2) степеней свободы соответствуютпоперечным колебаниям. Вследствие симметрии между двумя перпендикулярными осями у нас есть ( − 2) мод с двойным вырождением.
Такимобразом, для линейной молекулы CO2 с = 3, как показано на рис. 8.5,у нас есть две продольных моды (1, 2 ) и одна дважды вырожденная (3,4 ) поперечная мода. Из-за идентичности атомов кислорода можно далееутверждать, что из двух продольных мод одна симметрична, а другаяантисимметрична по отношению к смещениям атомов кислорода.Задача 8.6Выполнить классификацию нормальных колебательных мод для молекулы, у которой имеется атомов в плоскости. В качестве примероврассмотреть плоские молекулы H2 O и BF3 .Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
