1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Все трисохраняются в системе, инвариантной относительно вращений, сохраняется^также и сумма ⃗ℓ2 их квадратов. Если нет вырождения с состояниями,имеющими другие значения ℓ, эта сумма имеет определённое значениеℓ(ℓ + 1) (см. уравнение (5.90)). Тем не менее только одна из проекций ℓможет иметь определённое значение в этом состоянии, за исключениемтривиального случая ℓ = 0, когда все проекции исчезают. Ситуация, когдасимметрия состояния ниже, чем симметрия гамильтониана, называетсяспонтанным нарушением симметрии. Система может иметь некотороезначение ℓ^ , хотя оси и физически эквивалентны.
Это определяетсяисторией приготовления системы. Однако симметрия восстанавливается,если есть возможность вращения, которое приводит систему без получе-246Глава 7 Квантовая динамикания ею энергии к другой вырожденной ориентации. В отличие от этого,^ могут одновременно иметь определённыекоммутирующие компоненты pзначения.Не всегда легко установить взаимосвязь между свойствами симметриисистемы и законами сохранения (есть также примеры «случайно» сохраняющихся величин, например, при специальных значениях параметров).Однако, как правило, такая взаимосвязь существует. В качестве последнегопримера упомянем кулоновское поле, где, наряду с орбитальным моментом^⃗ℓ,который сохраняется для любого изотропного потенциала, существуетдругой интеграл движения, так называемый вектор Рунге-Ленца [13, §15],который был фактически известен гораздо раньше Лапласу.Задача 7.13Докажите, что вектор(︁)︁r^^^ = ~ [^^] − Mp × ⃗ℓ] − [⃗ℓ × p2(7.157)сохраняется в потенциале = /.В классическом варианте ~⃗ℓ является моментом количества движениячастицы, в то время как два члена в первом слагаемом (7.157) могутбыть объединены в одно векторное произведение.
Классический векторM направлен вдоль главной оси эллипса; это указывает на ориентацию^ незамкнутой траектории в плоскости вращения. Как и любой вектор, Mкоммутирует с орбитальным моментом (см. задачу 4.5):^ ] = ^ .[ℓ^ , (7.158)Таким образом, он не имеет определённого значения в состоянии с определённым значением орбитального момента. Однако другая классификация− с определённым значением проекции M и неопределённым орбитальным моментом − так же возможна. Мы вернёмся к данному примеру приквантовом рассмотрении кулоновской задачи.7.11 Формулировка с интегралом по траекториямСуществует эквивалентный подход к квантовой динамике на основеформализма функционального интеграла вместо операторов и уравненияШрёдингера [29]. В нерелятивистской квантовой механике такой подходредко даёт лучшее решение проблем, но он становится мощным методом7.11 Формулировка с интегралом по траекториям247в квантовой теории поля и задаче многих тел, особенно для получениярезультатов, выходящих за рамки теории возмущений (стандартный метод, основанный на разложении физических амплитуд по степеням силывзаимодействия, глава 4 том III).
Здесь мы лишь проиллюстрируем методинтегрирования по путям на простом одномерном случае.Эволюция квантового состояния определена, если мы найдем функциюГрина (пропагатор) (6.23), которую можно трактовать как амплитуду вероятности ⟨, |′ , ′ ⟩ нахождения частицы в положении в момент времени, если она стартовала из локализованного состояния ′ в момент времени′ < . Начальное и конечное состояния являются собственными состояниями операторов Гейзенберга ^(′ ) и ^() с собственными значениями ′ и соответственно. Так, например,^^^()|, ⟩ = (/~) ^−(/~) |, ⟩ = |, ⟩.(7.159)Состояние^−(/~) |, ⟩ = |⟩(7.160)является шрёдингеровским вектором состояния, локализованного в точке при = 0 и удовлетворяющего^|⟩ = |⟩.(7.161)Поэтому^|, ⟩ = (/~) |⟩(7.162)является решением уравнения (7.159). Так как момент = 0 произволен,то мы можем записать^′|, ⟩ = (/~)(− ) |, ′ ⟩.(7.163)Рассмотрим теперь развитие во времени состояния для бесконечно малогоинтервала времени от до + Δ.
Пропагатор для этой эволюции имеетвид ⟨, + Δ|′ , ⟩. Конечное состояние, согласно (7.163), равно^|, + Δ⟩ = (/~)(Δ) |, ⟩(7.164)248Глава 7 Квантовая динамикаи^⟨, + Δ|′ , ⟩ = ⟨, |−(/~)(Δ) |′ , ⟩.(7.165)^ = (^Оператор , ^) фактически входит линейно в матричный элемент(7.165), так как Δ бесконечно мало. Поэтому мы всегда можем представитьего в виде, когда все операторы ^ находятся слева от всех операторов ^;для наших стандартных гамильтонианов (7.24) эта проблема упорядоченияне появляется. Поскольку гамильтониан в картине Гейзенберга тот же(см.
уравнение (7.84)), мы можем отнести его к моменту в бра-векторе изаменить оператор ^ его собственным значением , так что вместо (^, ^)мы получим (, ^). Оставшаяся зависимость от ^ может быть рассмотренааналогично, если мы сделаем преобразование к импульсному представлению|, ⟩,∫︁∫︁ −(/~)′′′⟨, | , ⟩|, ⟩ =|, ⟩.(7.166)| , ⟩ =2~2~^ на кет-вектор в (7.166) приводит к заменеТеперь действие операторов ^ в операторов на их собственные значения , в то время как оставшеесяскалярное произведение ⟨, |, ⟩ — это просто сопряжённая плоская волнаexp[(/~)]. В результате пропагатор (7.165) не содержит операторов ивыражается в терминах классической функции (, ):∫︁ −(/~)[(.)(Δ)−(−′ )]⟨, + Δ|′ , ⟩ =.(7.167)2~Для того чтобы описать весь процесс конечной длительности от до ′ ,мы представляем этот интервал времени в виде последовательности + 1фрагментов Δ, так что ′ = 0 , 1 = ′ + Δ, ..., = +1 = ′ + ( + 1)Δ.Согласно главному свойству (6.22) полный пропагатор равен интегралупо всем промежуточным точкам,′′⟨, | , ⟩ =∫︁1 ...
⟨, | , ⟩⟨ , | −1 , −1 ⟩ · · · ⟨1 , 1 |′ , ′ ⟩.(7.168)Каждое промежуточное скалярное произведение даётся выражением вида(7.167), которое содержит полное интегрирование по импульсу. Пропагатор7.12 Связь с классической механикой249для конечного времени становится равным∫︁ ∏︁ (/~)({},{})≡ (, ; ′ , ′ ),⟨, | , ⟩ =2~′′(7.169)=1где мы снова используем обозначения (6.23), а функция в экспонентеравна=+1∑︁[( − −1 )−1 − ( , −1 )Δ] .(7.170)В пределе → ∞ и Δ → 0 разность −−1 в уравнении (7.170) можноаппроксимировать с помощью производной (˙ )Δ от интерполирующейфункции ( ), закреплённой на концах, (′ ) = ′ , () = .
Результатсводится к∫︁ ∑︁=[˙ − (, )] Δ → [˙ − (, )] .(7.171)′Интегрирование по в (7.169) теперь выполняется по всем функциям( ), ( ) или по всем траекториям (путям) между (′ , ′ ) и (, ), вкладыкоторых взвешиваются пропорционально интегралу действия (7.171).Полная амплитуда выражается через интерференцию всех возможныхпутей:∫︁( ) ( ) (/~) ∫︀ ′ [−(,)]˙⟨, |′ , ′ ⟩ =,(7.172)2~где мы ввели символ для функциональных дифференциалов.7.12 Связь с классической механикойВ классической механике уравнения движения следуют из принципа наименьшего действия [13]. Система, описываемая координатами (для простоты мы указываем лишь одну координату), характеризуется функциейЛагранжа, зависящей от координат и скоростей, ℒ(, ).˙ Для нерелятивистской частицы массы в потенциальном поле () функция Лагранжа250Глава 7 Квантовая динамикаравна, в соответствии с экспериментом,ℒ(, ˙ = ) = () − () = 2− ().2(7.173)Классическое действие вдоль траектории ( ), которое соединяет данную начальную точку ′ (′ ) и конечную точку (), задаётся интеграломдействия∫︁ [( )] = ℒ(( ), (˙ )).(7.174)′Фактическая траектория, реализуемая в классической механике, являетсятраекторией, которая соответствует экстремуму (минимуму для достаточно коротких траекторий) действия.
Условие экстремума выполняетсяна траектории, которая определяется уравнениями Эйлера-Лагранжа,ℒ ℒ=. ˙(7.175)В простейшем случае (7.173) это приводит к уравнению Ньютона,˙ = −= .(7.176)Функция Лагранжа связана с функцией Гамильтона согласно уравнению(, ) = ˙ − ℒ(, ()),(7.177)а скорость = ˙ должна быть выражена как функция импульса согласно=ℒ.(7.178)Хотя интеграл действия (7.171), в соответствии с (7.177), походит на классическое действие (7.174), на самом деле он отличается.
В формуле (7.172)функции импульса ( ) — это переменные интегрирования, не связанныес ( ). Тем не менее мы действительно приходим к классическому действию в случае гамильтониана, который, как в (7.24) или (7.173), являетсяполиномом второго порядка по импульсу. Тогда мы можем проинтегрировать по импульсным переменным ( ), приведя экспоненту к полномуквадрату. Для гамильтониана (, ) = () + 2 /2 квадратичная формапереходит в −( − )˙ 2 /2 + ˙ 2 /2, а остающийся после интегрирования7.13 Возвращение к картине Шрёдингера251член ˙ 2 /2 дополняет функцию − () до классического лагранжиана(7.173). Интегрирование распределения Гаусса по импульсам оставляеттолько функциональный интеграл по координате:′′∫︁()⟨, | , ⟩ = ( )(/~)[( )](7.179)′ (′ )со стандартным классическим действием вдоль траектории ( ) с фиксированными концами (уравнение (7.174)). Нормировочный коэффициент в (7.179) может быть рассчитан (он также включает фактор 1/(2~)), нопроще найти его с помощью прямого сравнения с уравнением Шрёдингера,как показано ниже.Интегрирование по импульсным переменным в функциональном интеграле эквивалентно выбору точки стационарной фазы, где подынтегральноевыражение (7.171) имеет экстремум,[( ), ( )]=0( )˙ =.(7.180)В простом случае (7.173) стационарная фаза соответствует = c = ˙в каждой точке.
Таким образом, эта процедура (точная в случае распределения Гаусса) отбирает импульс, удовлетворяющий классическомууравнению Гамильтона (7.180), и поэтому вес бесчисленных траекторий,дающих вклад в интеграл, сводится к классическому действию по экстремальной траектории.
Уникальная классическая траектория удовлетворяетпринципу наименьшего действия, что приводит к уравнению Лагранжа.Альтернативная формулировка квантовой механики (Р. Фейнман [30])принимает интеграл по путям в качестве отправной точки. В ней предполагается [29], что все виртуальные траектории с заданными граничнымиусловиями, которые не реализуются в классическом случае, дают вклад вполную квантовую амплитуду процесса. Вклад траектории определяется,как в оптике, согласно принципу Гюйгенса, её фазой, /~, равной классическому действию по этому пути в единицах /~ (мы подчеркивали ранее,что постоянная Планка, по существу, обеспечивает масштаб).7.13 Возвращение к картине ШрёдингераТеперь, немного изменив обозначения, мы отождествим физическуюамплитуду вероятности ⟨, |0 , 0 ⟩ нахождения частицы в окрестноститочки в момент времени при заданном начальном состоянии с волновой252Глава 7 Квантовая динамикаxNt∆txnx n–1x0t0Рис.
7.3: Построение функционального интегралафункцией⟨, |0 , 0 ⟩ = Ψ(, ; 0 , 0 ),(7.181)и выведем квантово-механическое уравнение Шрёдингера, продемонстрировав тем самым эквивалентность двух формулировок.Возвращаясь от символического определения интеграла по путям, придадим ему ясный операционный смысл. Разделим снова каждую траекторию( ) на очень большое число небольших фрагментов длительностьюΔ = ( − 0 )/ и аппроксимируем траекторию в пределах -го фрагмента, = 1, ..., , прямой линией между точками −1 и (см. рис. 7.3).На каждом малом шаге координата может меняться во всей доступнойобласти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
