1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Это значит, что время ортогонализации удовлетворяетнеравенству0>1−2⟨⟩~>~.2⟨⟩(7.215)Это неравенство выполняется в примерах задачи 7.14. Оно превращается вравенство только для случая двух состояний, смешанных с равными весами(см. (7.203)).Много лет назад Л. Мандельштамм и И. Тамм [33] получили похожеенеравенство из соотношений неопределённости:>~.2⟨Δ⟩(7.216)Здесь в знаменателе стоит неопределённость энергии в начальном состоянии (эта величина очевидно не зависит от времени). Это неравенство менееограничивающее, так как можно сделать ⟨Δ⟩ очень большим, сохраняя⟨⟩ конечным. Специалисты по квантовым компьютерам иногда утверждают, что существование минимального времени ортогонализации означаетсуществование максимальной скорости, = 1/ , переработки квантовойинформации при данном количестве энергии ⟨⟩, введённой в компьютер.Дополнительная литература: [29, 30, 34–37].Глава 8С момента появления физики соображениясимметрии всегда давали нам необычайномощный и полезный инструмент для познанияприроды.
Постепенно они стали основойтеоретических формулировок физическихзаконов.Ли Цзун-дао, «Физика частиц и введение втеорию поля»Дискретные симметрии8.1 Инвариантность относительно обращения времениВ соответствии с разделом 7.10 преобразования симметрии, оставляющиегамильтониан инвариантным, приводят к законам сохранения. Для дискрет^ комму^ = exp()ных симметрий унитарный оператор преобразования тирует с гамильтонианом (см. уравнение (7.153)) и эрмитова наблюдаемая сохраняется. Операция обращения времени является исключением,так как она не приводит к закону сохранения. Тем не менее её следствиядля квантовых систем незаменимы.В классической механике уравнения движения в постоянном потенциальном поле инвариантны относительно обращения времени. Это утверждение надо понимать следующим образом.
Для решения классическихуравнений требуются начальные условия — мы задаём значения координат(0) и импульсов (0), которые берутся в некоторый начальный момент,например, при = 0. В результате решения уравнений до момента времени > 0 мы определяем траекторию в фазовом пространстве (), (). Система является обратимой во времени, если для любого «прямого» решениямы можем найти «обратное» решение, начинающееся в конечной точкетраектории с обращёнными конечными скоростями и проходящее весь путьобратно в исходную точку через все промежуточные точки за то же время(см.
рис. 8.1).Классический гамильтониан (, ) замкнутой системы является -инвариантным, если (, ) = (, −). Это тот пункт, где координаты иимпульсы, которые появляются на равной основе в гамильтоновом формализме, различаются. В классической механике это различие несущественно(напомним, однако, аргументы, используемые для состояний финитногодвижения в разделе 7.7).262Глава 8 Дискретные симметрии2~ ~2→11→21Рис. 8.1: Прямые и обратные траектории -инвариантность нарушается во внешнем магнитном поле.
Благодарясиле Лоренца, магнитное поле различает два противоположных направления скорости. Разница между постоянными электрическим и магнитнымполями связана с их происхождением: электрические поля генерируютсязарядами, тогда как магнитные поля создаются токами, которые обусловлены движением зарядов в определённом направлении. Если мы включимисточник магнитного поля как часть нашей системы, расширенная системаснова будет -инвариантной, так как обращение времени подразумевает,что все движения в системе должны быть обращены. Обратный ток будетсоздавать обращённое магнитное поле и вызовет обратное движение всистеме, восстанавливая -инвариантность всего большого комплекса.
Теже рассуждения применимы к вращающейся системе, в которой угловаяскорость действует подобно магнитному полю.Нерелятивистская квантовая механика позволяет сформулировать обращение времени близким к классической механике образом, но формарезультата зависит от представления. Рассмотрим уравнение Шрёдингерадля волновой функции Ψ() в некотором представлении (число переменныхволновой функции произвольно):~Ψ()^= Ψ().(8.1)8.1 Инвариантность относительно обращения времени263^Предполагая, что система замкнута, /= 0, выполним формальноеобращение времени, → −:−~Ψ(−)^= Ψ(−).(8.2)Чтобы привести это уравнение обратно к виду (8.1), сделаем комплексноесопряжение, после чего получим~Ψ* (−)^ * Ψ* (−).=(8.3)Таким образом, обращённая во времени функция̃︀Ψ()= Ψ* (−)(8.4)удовлетворяет уравнению Шрёдингера с обращённым во времени гамильтонианом^̃︀^ *.=(8.5)^̃︀̃︀ ^ →Замена Ψ → Ψ,описывает обращение времени в квантовой механике. Здесь комплексное сопряжение по смыслу похоже на обращениетраекторий в классическом случае, для плоской волны (k·r) оно эквивалентно замене k → −k.
Матричные элементы гамильтониана,∫︁^^ 2 (),12 = ⟨Ψ1 ()||Ψ2 ()⟩ ≡ Ψ*1 ()Ψ(8.6)^ взятые в выбранном представлении с элегде Ψ-функции и оператор ,ментом объёма , преобразуются в∫︁∫︁(︁)︁*̃︀ 12 = Ψ1 (−)^ * Ψ* (−) = Ψ^ 2 (−) Ψ1 (−)(8.7)2^или, используя эрмитовость (6.62) гамильтониана ,∫︁̃︀^ 1 (−).12 = Ψ*2 (−)Ψ(8.8)̃︀ 12 изменились неМы видим, что в преобразованном матричном элементе только направление во времени, но и роли «начального» Ψ2 и «конечного»264Глава 8 Дискретные симметрииΨ1 состояний поменялись местами по сравнению с первоначальным матричным элементом 12 в соответствии с идеей замены между собой началаи конца процесса.Преобразованный гамильтониан (8.5) совпадает с исходным, если он вещественный.
Тогда мы говорим, что система -инвариантна и обе функции,̃︀Ψ() и Ψ()(см. уравнение (8.4)), являются решениями того же уравненияШрёдингера. Для стационарного состояния,Ψ() = −(/~) ,̃︀Ψ()= (/~)(−) * ,(8.9) и * удовлетворяют стационарному уравнению Шрёдингера с одной итой же вещественной энергией . Если это собственное значение невырожденно, т. е.
только одно независимое решение с этим значением , и и * совпадают с точностью до величины несущественной фазы. Еслиже собственное значение энергии вырождено, то и * могут быть независимыми и мы можем взять их комбинации Re() и Im() в качественовых функций с тем же значением энергии. Таким образом, в случае -инвариантности стационарные волновые функции базиса могут бытьвыбраны вещественными.8.2 Преобразование операторов при обращении времениОбращение времени — это не обычное унитарное преобразование, так^ (уравнение (8.4)).как оно включает в себя комплексное сопряжение Его действие на суперпозицию состояний не является линейным в смыслеопределения (6.46)), так как оно изменяет коэффициенты суперпозициина их комплексно сопряжённые (такие преобразования иногда называютантилинейными).
Мы можем определить операцию обращения временикак^ ^^ ,^ = (8.10)^ меняет → − в явной зависимости от времени, ^ является операциейгде ^комплексного сопряжения и — дополнительный унитарный оператор,который необходим для обеспечения правильного поведения физическихнаблюдаемых при обращении времени.^ зависит от представления. Преобразование подобия (6.101)Оператор определяет обращённый во времени оператор^̃︀ ^ ^ ^ −1= .(8.11)8.2 Преобразование операторов при обращении времени265С другой стороны, во многих случаях мы знаем результат обращения времени из нашего классического опыта (на основе принципа соответствия).Оператор координаты не меняется, в то время как импульс должен изменить свой знак:^r = ^r,̃︀^ = −^̃︀pp.(8.12)Используя координатное представление (7.17), мы видим, что желаемыйрезультат достигается без добавления специального унитарного операторав уравнении (8.10); достаточно выполнить комплексное сопряжение:^ = ^^ p^ −1 = p̃︀^ * = (−~∇)* = ~∇ = −^pp.(8.13)Орбитальный момент также меняет знак:^^⃗ℓ˜ = 1 [^^ r×p^ −1 = −⃗ℓ.^ ]~(8.14)Тем не менее дополнительная унитарная операция необходима, когда участвуют неклассические степени свободы.
Компоненты спина, являясь частьюполного углового момента, должны изменить свои знаки при обращениивремени аналогично компонентам орбитального момента. Поэтому требуется определение обращения времени ^ с дополнительными унитарнымиоператорами, действующими в спиновом пространстве (см. раздел 5.5из II тома).̃︀Суммируя изложенное выше, можно сказать, что вектор состояния Ψ,^полученный из исходного вектора Ψ с помощью операции , описываетконечное состояние, в котором обращены все характеристики типа скорости:̃︀ все импульсы и угловыеесли в состоянии Ψ они были p и J, в состоянии Ψ̃︀̃︀ = −p и J = −J соответственно.
Если процесс → моменты становятся pразвивается в соответствии с уравнением Шрёдингера,^|Ψ ⟩ = −(/~) |Ψ ⟩,(8.15)то в обратном по времени процессе ˜ → ˜,^̃︀ ̃︀̃︀ ⟩ = −(/~)|Ψ|Ψ ⟩.(8.16)Инвариантность относительно обращения времени (обратимость кванто^̃︀^ так что для каждого прямого процессавой механики) означает, что = ,266Глава 8 Дискретные симметрии(8.15) существует обратный процесс (8.16), который развивается по тем жезаконам.
В настоящее время мы знаем, что -инвариантность нарушаетсяв природе. Но это слабое нарушение наблюдалось только в специфическихпроцессах распада нейтральных - и -мезонов [38].8.3 Инверсия и чётностьОперация ^ пространственной инверсии — это другая дискретная симметрия гамильтониана, имеющая важное значение для поиска и классификации стационарных состояний. Операция ^ меняет знак пространственныхкоординат таким образом, что локализованное состояние частицы |r⟩ преобразуется согласно^ = | − r⟩.|r⟩ ⇒ |r⟩(8.17)В координатном представлении для произвольного состояния |⟩ имеем∫︁∫︁3^^⟨r||⟩ = ⟨r||x⟩⟨x|⟩ = 3 ⟨r| − x⟩⟨x|⟩ =∫︁(8.18)3= (r + x)(x) = (−r).Таким образом, действие оператора инверсии на координатную волновуюфункцию просто есть^(r)= (−r).(8.19)При применении операции пространственной инверсии к плоской волнеp (r) = exp[(/~)(p · r)] она, как и ожидалось, эквивалентна изменениюнаправления движения, p → −p.Легко проверить, что оператор инверсии является линейным, в отличиеот оператора обращения времени.
Оператор ^ эрмитов и удовлетворяеточевидному геометрическому соотношению^ 2 = 1,(8.20)которое показывает, что ^ = ^ −1 , и, следовательно, эрмитов оператор ^также является унитарным. Этот оператор имеет только два собственныхзначения Π = ±1. Эти собственные значения определяют квантовое число8.4 Скаляры и псевдоскаляры, векторы и псевдовекторы267чётность, которое различает чётные функции,^(r)= (−r) = (r),Π = +1,(8.21)и нечётные функции,^(r)= (−r) = −(r),Π = −1.(8.22)Любая функция может быть однозначно представлена как суперпозициясобственных функций с определенной чётностью,(r) = even (r) + odd (r) =(r) + (−r) (r) − (−r)+.22(8.23)Задача 8.1Покажите, что чётность волновой функции (по отношению к соответствующему аргументу) одна и та же в координатном и импульсном представлениях.8.4 Скаляры и псевдоскаляры, векторы и псевдовекторыПреобразование пространственной инверсии для операторов, в соответствии с общим правилом (6.101), имеет вид^ ′ = ^ ^ ^ −1 .(8.24)^′ = ^ коммутирует с оператором пространственИнвариантная величина ной инверсии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
