1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Распределение испускаемых электронов зависит от угла между импульсом электрона p или его скоростью v и направлениемполяризации J. Число электронов, испускаемых под углом , оказалосьпропорционально () ∝ 1 + cos (8.36)с коэффициентом асимметрии ≈ −/ (релятивистские электроны испускаются в основном противоположно поляризации ядра).В данном конкретном случае результат связан со свойством так называемого левого тока, ответственного за слабые взаимодействия, включаябета-распад; антинейтрино практически полностью продольно поляризовано вдоль движения (см. раздел 14.6 том III). Электрон отдачи с тойже поляризацией спина (суммарный спин должен сохраняться) из-за сохранения импульса вынужден двигаться в противоположном направлении.Так как cos определяется скалярным произведением полярного вектораp и аксиального вектора J, то это псевдоскалярная величина.
Поэтомув зеркальной лаборатории эта величина изменила бы знак и мы получилибы отличное угловое распределение, ∝ 1 − cos . Наличие скаляра вместе8.5 Сохранение чётности273с псевдоскаляром в экспериментальном результате (8.36) делает результаты в двух лабораториях неэквивалентными и соответствует несохранениючётности в слабых взаимодействиях.Для систем с сохранением чётности операторы с определённым поведением при пространственной инверсии выявляют специфические правилаотбора: их матричные элементы при заданном начальном состоянии могут быть связаны только с определённым классом конечных состояний.Операторы, меняющие знак при пространственной инверсии, изменяютчётность состоянии, так что чётность конечного состояния должна бытьпротивоположной чётности исходного.
Возьмём, например, переходы, индуцированные дипольным моментом распределения заряда (задача 7.9).^Дипольный переход, описываемый матричным элементом ⟨ |d|⟩,возможентолько между состояниями противоположной чётности. Если чётностьсохраняется, среднее значение d в любом состоянии с определённой чётностью запрещено. Наличие ненулевого дипольного момента в стационарномсостоянии указывает на несохранение чётности. Существование полярныхмолекул (например, воды или NH3 ) показывает, что либо состояние неявляется стационарным, хотя, может быть, с большим временем жизни,либо ориентация молекулы фиксируется внешними полями. В свободномстационарном состоянии молекула имеет определённый угловой момент ивращение усредняет собственный дипольный момент до нуля.Экспериментальный поиск в течение долгого времени электрического дипольного момента в элементарных частицах, атомах и ядрах до сих пор непредставил определённых результатов, лишь понижая всё дальше и дальшеверхнюю границу его значения.
Между тем несохранение чётности в слабыхвзаимодействиях является хорошо установленным фактом. Проблема сдипольным моментом усугубляется векторным характером этого оператора.Его среднее значение в стационарном состоянии должно быть направленопо единственному сохраняющемуся вектору, характеризующему систему,а именно — по его полному угловому моменту. Однако угловой моментменяет знак при обращении времени, в то время как дипольный моментне меняет. Таким образом, обнаружение дипольного момента противоречило бы также -инвариантности. Силы, которые одновременно являются- и -нарушающими гораздо слабее, чем силы «нормальных» слабыхвзаимодействий.Другой полярный вектор, так называемый анапольный момент, пропорционален векторному произведению [r×s], где s является оператором спина.Он изменяет чётность состояния, хотя его существование не противоречит -инвариантности.
Нарушающий чётность анапольный момент был изме-274Глава 8 Дискретные симметриирен в атомах цезия [40]. С другой стороны, магнитный дипольный момент ⃗является аксиальным вектором пропорциональным орбитальному или спиновому моменту частицы (см. (1.74)). Существование ненулевого среднегомагнитного момента согласуется как с -, так и с -инвариантностью.8.6 Симметрия кристаллической решёткиМы знаем, что оператор импульса генерирует перемещения в пространстве. Плоская волна является собственной функцией оператора импульса и,^следовательно, оператора конечного сдвига (a):при этом преобразованииплоская волна просто получает дополнительную фазу (см.
уравнение (4.61)).Смещение a может быть любым вещественным вектором. Кроме того, различные операторы сдвига коммутируют, образуя абелеву группу.Картина становится более сложной, когда вместо свободного движениямы переходим к движению в поле идеальной кристаллической решётки.Сходство со случаем свободного движения остаётся в том, что можноназвать группой смещений решётки. Бесконечная решётка не меняетсяпри сдвиге на целое число периодов, тогда как свободное пространствоинвариантно при любом сдвиге. Здесь мы сохраняем только дискретнуюподгруппу полной предыдущей группы. Это вход в область физики твёрдоготела.
Сформулируем ситуацию более точно (но не вдаваясь в подробностикристаллографии).Мы называем идеальным кристаллом систему, гамильтониан которой не^ ) на любой вектор решётки R . Эти векторыменяется при смещении (Rмаркируют узлы решётки и могут быть представлены в виде комбинаций()трех базисных векторов a , = 1, 2, 3, с целыми коэффициентами =0, ±1, ...:(1)(2)(3)R = a1 + a2 + a3 .(8.37)Векторы a линейно независимы, хотя и не обязательно ортогональны.Минимальный объём, который может быть повторён при построении всегокристалла, — это объём элементарной ячейки⃒⃒⃒⃒ ∘ = ⃒[a1 × a2 ] · a3 ⃒.(8.38)Для дальнейшего рассмотрения мы также нуждаемся в обратной решётке с базисом, образованным тремя векторами b , = 1, 2, 3, которыеопределяются через их скалярные произведения с векторами a прямой8.7 Квазиимпульс и функции Блоха275решётки,(a · b ′ ) = ′ .(8.39)В простейшем случае кубической решётки, когда векторы a взаимноортогональны и равны по длине, |a1 | = |a2 | = |a3 | = , векторы b такжеобразуют кубическую решётку с периодом = 1/.
Удобно построитьобратную решётку аналогично (8.37), но с дополнительным фактором 2,используя семейство векторов(︁)︁(1)(2)(3)K = 2 b1 + b2 + b3 .(8.40)Тогда для любой пары векторов R и K имеет место простое тождество(K ·R ) = 1.(8.41)^ ) выполняется,Инвариантность кристалла относительно сдвигов (Rстрого говоря, только для бесконечной решётки. На самом деле кристаллимеет конечные размеры , , .
Для макроскопического кристалла, ≫ , детали граничных условий несущественны (хотя они могут игратьважную роль для нанокристаллов). Поэтому мы можем представить, чтокристалл периодически продолжается во всех направлениях и пространство равномерно заполнено бесконечным количеством идентичных копийреального образца. В этом предположении волновая функция объекта,движущегося внутри кристалла, удовлетворяет тем же периодическимусловиям, которые применялись в разделе 3.8.8.7 Квазиимпульс и функции БлохаИнвариантность относительно произвольных трансляций приводит к сохранению импульса при свободном движении. Хотя решётка инвариантна^ ) ≡ ^ , отображающим решёткутолько по отношению к трансляциям (Rсаму в себя, мы всё же можем найти аналог импульса, который сохраняетсяв этой ситуации.Гамильтониан идеальной решётки коммутирует со всеми трансляциямирешётки (периодические граничные условия передают эту инвариантностькристаллу конечных размеров),^ = 0.^ , ][(8.42)276Глава 8 Дискретные симметрииКак операторы, принадлежащие к подгруппе полной группы трансляций,эти трансляции также коммутируют между собой.
Таким образом, энергия и все сдвиги могут иметь одновременно определённые значенияв стационарном состоянии. Однако волновые функции в периодическомпотенциале в общем случае не являются плоскими волнами.Рассмотрим задачу на собственные значения для объекта (назовём егоквазичастицей), который движется в идеальном кристалле. Стационарныесобственные функции (r) всех операторов ^ подчиняются уравнению^ (r) = (r).(8.43)Как и для любого унитарного оператора, собственные значения — это комплексные числа на единичной окружности, | |2 = 1. С другой стороны,результат должен быть просто сдвинутой функцией:^ (r) = (r − R ).(8.44)Чтобы найти числа ≡ (R ), мы можем использовать групповое свойство^^ эквивалентно сдвигу ^ () =сдвигов на решётке: произведение сдвигов ^ () на вектор R + R , т.
е.=^ () (r) = (R + R )(r) = ^ ^ (r) = (R )(R )(r)(8.45)(R + R ) = (R )(R ).(8.46)илиРешение, удовлетворяющее требованию унитарности, имеет вид(R ) = −(k·R ) ,(8.47)где k представляет собой произвольный вещественный вектор, характеризующий изменение фазы собственной функции при смещении на векторрешётки,^ (r) = (r − R ) = −(k·R ) (r).(8.48)Сравнение (8.48) с аналогичным результатом (4.61) для пространственнооднородной системы показывает, что вектор k на решётке играет ту же роль,что и волновой вектор p/~ в однородном случае, оба определяются черезсдвиг фазы собственной функции при пространственном сдвиге.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
