1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Доказать правила8.13 Характеры*295умножения: () () = ( + );(8.96)(0) () = (−)(0);(8.97)() = ()(0)−1();()() = (2 − 2).(8.98)(8.99)б) Разложить элементы этой группы в сопряжённые классы.в) Найти одномерные унитарные представления группы.г) Найти двумерное неприводимое представление () группы с трансляциями (), представленными диагональными матрицами () [ ()] сдиагональными матричными элементами exp(∓), где — вещественный непрерывный параметр (волновой вектор).д) Показать, что матрицы () и характеры () неприводимого представления размерности удовлетворяют соотношению полноты ∑︁()( −1 ) = 1,(8.100) где является порядком группы и 1 в правой части уравнения (8.100)является единичной матрицей × .е) Используя уравнение (8.100), показать, что матрицы () неприводимого представления удовлетворяют добавочным ограничениям (линейнаязависимость)() = ∑︁(ℎ)(ℎ−1 ).(8.101)ℎж) Показать, что для двумерного представления пункта (г), характеризуемого волновым вектором , уравнение (8.91) даёт()1[()] =∫︁2() cos[2( − )]() [()].(8.102)0Проверить это уравнение в явном виде.з) Показать, что любые три матрицы отражения [()] в одном и томже представлении () линейно зависимы, в частности() [()] = cos(2)() [(0)] + sin(2)() [(/4)].(8.103)296Глава 8 Дискретные симметриии) Пусть собственные состояния | ± ⟩ операторов сдвига приняты в качестве базиса двумерного представления пункта (г).
Найти собственныесостояния |⟩ и собственные значения оператора отражения [(0)]и выразить собственные состояния [()] в обоих базисах.к) Введём оператор^ = √1 [1 − (/4)],2(8.104)который представляет собой суперпозицию прохождения и отраженияв плоскости, сдвинутой от начала координат на одну восьмую длиныволны.
Доказать, что этот оператор унитарный и преобразует собственные состояния |±⟩ операторов сдвига в собственные состояния [(0)].Найти эквивалентное представление группы (явный вид матриц [ ()]и [()]), соответствующее этому преобразованию.Задача 8.8Пусть () ( 2 ) — характер, соответствующей квадрату элемента группы2 в вещественномпредставлении . Вычислить его среднее по группе∑︀ () 2(1/ ) ( ).
(Представление называется вещественным, если всематрицы () () вещественны.)Нормальные моды колебаний молекул (раздел 8.9) определяются свойствами симметрии. Для каждой нормальной моды мы должны рассматривать малые смещения r ядер от их положения равновесия r∘ . Этисмещения преобразуются под действием преобразований, которые принадлежат к группе симметрии, r → r′ . Представление элемента группысимметрии задаётся матрицей, которая выражает новые смещения в терминах старых. Характеры (следы) определяются диагональными элементамитаких матриц для каждого элемента группы.Задача 8.9Рассмотрим молекулу из атомов, среди которых атомов расположенына оси симметрии. Найти характер преобразования, соответствующеговращению ℛ() на угол вокруг оси симметрии.Решение.Диагональные элементы присутствуют только для тех ядер, положенияравновесия которых остаются неизменными при этом преобразовании. Вчастности, для вращения вокруг оси симметрии диагональные элементыпоявляются только для ядер с положением равновесия на этой оси.
Для8.13 Характеры*297оси симметрии смещения каждого из этих атомов преобразуются как ′ = и′ = cos + sin , ′ = cos − sin ,(8.105)так что сумма диагональных элементов для этих атомов равна (1 ++ 2 cos ). Смещения оставшихся − атомов не дают вклада в характер,так как для того, чтобы сохранить симметрию молекулы, они должны бытьпереведены в положение других атомов (нет диагональных элементов). Эторезультат для всей молекулы, включая смещение центра масс и его общеевращение. Эти неколебательные степени свободы дают вклад 2(1 + cos ).В результате колебательное представление имеет характер() = ( − 2)(1 + 2 cos ).(8.106)Единичный элемент, = 0, даёт (0) = 3 − 6. Но в этом случае все атомыдают вклад в диагональные элементы, так что = , и мы приходим кстарому результату 3 − 6 для общего числа нормальных колебательныхмод (см. раздел 8.9).Дополнительная литература: [41–45].Движенье меря как живое. .
.Уильям Вордсворт, ПрелюдияГлава 9Одномерное движение: континуум9.1 Задача на собственные значенияПо определению, состояние стационарнo, если оно имеет определённуюэнергию , а его эволюция во времени описывается экспоненциальнойзависимостью в картине Шрёдингера,|Ψ()⟩ = −(/~) |⟩.(9.1)Не зависящий от времени вектор состояния |⟩ является собственным век^ а энергия является соответствующимтором гамильтониана системы ,собственным значением,^|⟩= |⟩.(9.2)Любое среднее значение физической величины (без явной зависимостиот времени) в стационарном состоянии не зависит от времени,^^ −(/~) ⟩ = ⟨||⟩,^⟨Ψ()||Ψ()⟩= ⟨−(/~) ||(9.3)что является отличительной особенностью стационарности. Конечно, то жесамое следует из операторных уравнений движения в картине Гейзенберга.Для гамильтониана замкнутой системы как эрмитова оператора собственные значения, формирующие энергетический спектр системы, вещественны, а собственные векторы |⟩ составляют полный набор ортогональныхсостояний (напомним, что собственные состояния с различными собственными значениями автоматически ортогональны, а вырожденные состоянияс одним и тем же собственным значением могут быть ортогонализованы).Однако спектр {} не задан априори, и задача решения уравнения Шрё-300Глава 9 Одномерное движение: континуумдингера фактически является задачей о нахождении собственных значенийи соответствующих собственных функций гамильтониана.Энергетический спектр может быть дискретным или непрерывным.
Реальные системы обычно обладают обоими типами спектра. Состоянияконтинуума появляются выше некоторой пороговой энергии возбуждения,необходимой для распада системы. Координатные собственные функцииотличаются своим поведением в асимптотической области на большихрасстояниях частицы от остальной системы. Плотность вероятности нахождения связанных состояний частиц на очень больших расстояниях падает,поэтому функции могут быть нормированы.
Это граничное условие определяет энергетический спектр (см. главу 3). Фактически любая реальнаясистема, рассматриваемая в нерелятивистской квантовой механике, имеетконечный объём. Плоские волны являются исключением, но и их можнорассматривать как предельное построение для движения в объёме, которыйвозрастает до бесконечности. В этом пределе можно выделить два типасостояний: состояния с подлинно дискретным спектром, для которых расстояние между уровнями в этом пределе остаётся конечным, и состояния,относящиеся к континууму, которые в этом пределе могут иметь любуюплотность, как мы видели в разделе 3.8 при использовании периодическихграничных условий.В этом главе мы ограничимся рассмотрением одномерного движенияодной частицы в вещественном статическом потенциале (). Проблемыс кусочно-постоянными потенциалами могут быть рассмотрены на уровневолн де Бройля, как мы это сделали в главе 2.
Арсенал средств, собранныхтам, будет полезен и в более реальных ситуациях. Когда потенциал являетсягладкой функцией, а не набором постоянных фрагментов, мы приходимк дифференциальному уравнению (7.27), которое для стационарного случаяи одного пространственного измерения приобретает вид{︂}︂~2 2^() = −+ () () = ().(9.4)2 2При этом спектр собственных значений энергии должен определяться отбором физически приемлемых решений. Может оказаться удобнымпереписать это уравнение в виде (сравните с (7.33))2 + 2 () = 02(9.5)9.2 Непрерывный спектр301с зависящим от координат «волновым вектором» (волновым числом),√︂2[ − ()],(9.6)() =~2который является вещественным в классически разрешённых областях, > (), и мнимым в классически запрещённых областях, < ().9.2 Непрерывный спектрНапомним ещё раз, что бесконечное движение всегда можно рассматривать как предел движения в очень большом, но конечном объёме.
Средниезначения ⟨^ ⟩ физических операторов в общем случае определяются как∫︀∫︁ * ()^ ()1^∫︀≡ * ()^ ().(9.7)⟨ ⟩ =|()|2Такие величины могут иметь конечный предел, даже если волновая функция, взятая в бесконечном объёме, не нормируема, как, например, плоскаяволна.Назовём min абсолютный минимум потенциала. В любом состояниисреднее значение потенциальной энергии больше этого числа,∫︁1⟨ ⟩ = ()|()|2 > min .(9.8)Среднее значение кинетической энергии всегда положительно,⃒⃒∫︁∫︁⃒ () ⃒21 ~22 ()1 ~2*⃒⃒ > 0.⟨⟩ = − ()= ⃒ 22 2 ⃒(9.9)Здесь мы предположили, что оператор импульса эрмитов, поэтому егодействие может быть перенесено (с помощью интегрирования по частям)на левую функцию, а значение проинтегрированного члена исчезает длялюбого конечного объёма в процессе предельного перехода к бесконечности.Для асимптотики плоской волны с волновым вектором результат (9.9),естественно, равен ~2 2 /2.Объединяя уравнения (9.8) и (9.9), мы приходим к выводу, что спектрвозможных энергий ограничен снизу, = ⟨⟩ = ⟨ + ⟩ > min .(9.10)302Глава 9 Одномерное движение: континуумE>0xU(x)Рис.
9.1: Потенциал, исчезающий при → ±∞Имея в виду этот предельный переход, в дальнейшем мы не будем явноуказывать нормировочный интеграл .Важная информация может быть получена из уравнения непрерывности (2.11), которое в одномерном случае имеет вид+= 0,(9.11)где ток даётся уравнением (7.55),{︂}︂~ ** =− .2(9.12)В стационарном состоянии плотность вероятности = ||2 не зависитот времени и ток () является постоянным всюду,=0 = const.(9.13)Предположим, что потенциал () стремится к нулю снизу при → ±∞(см. рис. 9.1).
Тогда любое положительное значение энергии разрешено,так как можно поместить источник частиц далеко от потенциала в областисвободного движения и создать частицы с произвольным вещественнымволновым числом и энергией = ~2 2 /2, как мы делали в простых задачах главы 2. В этой асимптотической области решение может содержатьтолько падающую волну и отражённую волну, но так как энергия всюдуодинакова, отражённая волна имеет то же значение и, следовательно,ref = −. Таким образом, при далеко влево (на стороне источника)√︂2()|→−∞ = + − , =,(9.14)~29.2 Непрерывный спектр303E(a)U2E(b)xU(x)Рис. 9.2: Асимметричный потенциал: (a) энергия достаточна для прохождения;(b) случай полного отражениягде амплитуда произвольно определяется источником, в то время как должна определяться решением в области потенциала; без потенциалабыло бы = 0 (нет причины для отражения).Асимптотическая волновая функция определяет ток (9.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
