1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 49
Текст из файла (страница 49)
() = 1 +2(9.124)(9.125)(9.126)(9.127)Таким образом, у нас есть точные выражения для коэффициентов отражения и прохождения:⃒∫︁⃒2⃒1 ⃒⃒1 = 2 ⃒ ()()⃒⃒ ≡ 2 ||2 ,(9.128)449.10 Функция Грина для одномерного рассеяния327⃒⃒2 ⃒⃒∫︁⃒⃒⃒11 * ⃒⃒2−⃒⃒⃒ = ⃒1 + ()()⃒ ≡ ⃒1 + .22 ⃒(9.129)Эти точные выражения по-прежнему содержат неизвестное решение ().Сохранение вероятности, + = 1, обеспечивает полезное соотношениемежду отражательной способностью и мнимой частью интеграла отволновой функции:=−1Im .2(9.130)Это аналог оптической теоремы, которая появится в трёхмерной задачерассеяния.Задача 9.11Найти коэффициенты отражения и прохождения для очень узкого потенциала, который моделируется дельта-функцией, () = ().(9.131)Решение.Результаты (9.128) и (9.129) обеспечивают формальные ответы в терминах искомой волновой функции в начале координат, (0):2 = 2 |(0)|2 ,4⃒⃒2⃒⃒1 = ⃒⃒1 + (0)⃒⃒ ,2=2.~2(9.132)Оптическая теорема (9.130) содержит мнимую часть волновой функциив начале координат,=−(︁)︁Im (0) .2(9.133)Поскольку волновая функция непрерывна в нуле, то можно найти значение(0) с любой стороны.
Функция при < 0 даёт[︂]︂2−(0) = +(0)(0) =.(9.134)22 − =0Окончательно мы находим = |(0)|2 =24 2,+ 4 2=22.+ 4 2(9.135)328Глава 9 Одномерное движение: континуумПри низкой энергии → 1 в то время как при высокой энергии, ≫≫ 2 /2~2 , → 1.Задача 9.12Найти прямое решение уравнения Шрёдингера для волновой функциив непрерывном спектре для потенциала (9.131) без использования функцииГрина.9.10 Функция Грина для одномерного рассеяния∞329∞–a/2a/2(a)κ(b)–g δ(x)Рис. 9.5: (a) потенциал из задачи 9.13; (b) иллюстрация графического решенияРешение.Напишите общий вид решения с двух сторон от особенности и получитесоответствующие условия, аналогичные уравнению (9.123),(︂ )︂(︂ )︂+ = − ,−= (0).(9.136) + −Задача 9.13В середине потенциального ящика шириной имеется дополнительный узкий потенциал притяжения, который может быть смоделированкак (), < 0 (рис.
9.5a). Для частицы с массой найдите условиесуществования состояния с отрицательной энергией.Решение.Без ящика -потенциал притяжения имеет одно и только одно связанноесостояние (см. раздел 3.5). При наличии ящика энергия этого состояниярастёт и связанное состояние с < 0 может исчезнуть. Волновая функциясвязанного состояния в -потенциале должна быть чётной и обращаться внуль на стенках при = ±/2. Соответствующее решение непрерывно в330Глава 9 Одномерное движение: континуумсередине{︂() = sinh[( + /2)], < 0,− sinh[( − /2)], > 0,(9.137)где√︂=2,~2 = − > 0.(9.138)Производная терпит разрыв в -потенциале как в (9.136),−~2 ′[ (+0) − ′ (−0)] + (0) = 0,2(9.139)что даётtanh~2 =,2|| = −||.(9.140)Решение существует, если прямая в правой части уравнения, как функция, пересекает кривую tanh(/2), т.
е. угол наклона прямой в началекоординат должен быть меньше, чем /2 (рис. 9.5b),~2<||2|| >2~2.(9.141)Сила -потенциала должна быть достаточно большой; в отсутствие ящика, → ∞, выполняется уравнение (9.141) и связанное состояние всегдасуществует в согласии с разделом 3.5.9.11 Потенциал как возмущениеФормальное решение (9.120) с функцией Грина (9.125), куда включеныподходящие граничные условия, открывает путь для практических приближений. Если потенциал слаб, мы ожидаем малую вероятность отраженияи почти полное прохождение.
В этом случае волновая функция должнабыть близка к волновой функции падающей волны, будучи лишь слегкаискажённой наличием потенциала.Решение уравнения Шрёдингера может быть проведено на один шагдальше по сравнению с (9.120), если использовать для итерации под знаком9.11 Потенциал как возмущение331x'=Ψ+ex'x'G VG V+ikxG V+ ...Рис. 9.6: Борновский ряд как последовательность взаимодействий ( ) и свободного распространения ()интеграла то же выражение для волновой функции:∫︁() = + ′ (, ′ ) (′ )×[︂]︂∫︁′′′′ ′′′′′′× + ( , ) ( )( ) .(9.142)Эта процедура может быть продолжена, что ведёт к бесконечному борновскому ряду() = +∞∑︁ () (),(9.143)=1 () () =∫︁1 ... (, 1 ) (1 )(1 , 2 ) (2 )... ( ) . (9.144)Структура этого ряда представлена на рис.
9.6 при очевидном значенииграфических символов.Функция (9.144) -го приближения соответствует плоской волне, распространяющейся справа налево в точку , взаимодействию с потенциалом ( ) в этой точке, свободному распространению (это описывается функцией Грина (−1 , )) до точки −1 , затем снова взаимодействию (−1 ),свободному распространению до −2 и т.
д. После взаимодействий линиязаканчивается в точке наблюдения . Таким образом, вся волновая функцияпредставлена в виде суммы по различным путям с многоступенчатымивзаимодействиями. В наблюдаемых величинах, таких как коэффициент отражения, все эти пути интерферируют. Интегрирования по соответствуютинтерференции процессов с актами взаимодействия, происходящими в различных местах с потенциалом различной интенсивности. При достаточнообщих условиях этот ряд сходится [48].На практике мы используем этот подход, когда потенциал рассматривается как слабое возмущение.
Ряд является разложением по степенямпотенциала, и мы ожидаем, что младшие члены ряда дают хорошее при-332Глава 9 Одномерное движение: континуумближение к точному результату. Ограничиваясь однократным рассеянием,мы приходим к первому Борновскому приближению∫︁′() ≈ + ′ (, ′ ) (′ ) .(9.145)Уравнение (9.128) определяет коэффициент отражения⃒∫︁⃒2⃒1 ⃒⃒2 = 2 ⃒ ()⃒⃒ .4(9.146)Вероятность отражения определяется фурье-компонентой потенциала,∫︁ = ()− , = −2,(9.147)для волнового вектора = −2.
Внешний потенциал сообщает импульс−2~ падающей волне, чтобы изменить её движения и преобразовать вупруго отражённую волну. В многоступенчатых процессах требуемаяпередача импульса получается за счёт эффекта многих взаимодействий.Мы не можем использовать уравнение (9.129), чтобы в том же приближении найти коэффициент прохождения ; это даст недопустимый результат > 1. Такая попытка неправильна, потому что мы уже избавились от всехчленов выше первого порядка (и нарушили оптическую теорему). Поэтомумы не можем взять члены второго порядка в уравнении (9.129). Тем неменее мы можем использовать = 1 − с , найденным в (9.146).
Следующие члены в волновой функции должны иметь второй порядок и датьпоправку к третьего порядка (интерференция с первым порядком), неменяя членов второго порядка в .Коэффициент отражения мал, ≪ 1, как предполагается в борновскомприближении, если |2 |2 ≪ 4 2 . Потенциал имеет ограниченный радиусдействия и поэтому не малы компоненты Фурье для ∼ 1/, как этоследует из соотношения неопределённости. Низкоэнергетическое рассеяниеимеет место, если длина волны частицы больше, чем область действияпотенциала ≪ 1. В этом случае все компоненты Фурье 2 того жепорядка, что∫︁2 ¯,(9.148)0 = () ≈ 2 ~9.12 Квазистационарные состояния333¯ — характерное значение потенциала в области его действия.
Тогдагде условие ≪ 1 можно записать в виде¯ 2 2 2¯¯¯¯ ∼∼¯ ≪ 1.~2 2~2 /2 ~2 2 /(9.149)Первый фактор − это отношение потенциальной энергии к кинетической,¯ что, в соответствии с соотношением неопределённости (5.45), необходимо,для локализации частиц в области взаимодействия, а второй коэффициентпредставляет собой отношение потенциальной и фактической кинетическойэнергии . Таким образом, для успешного применения борновского прибли¯ так и с .жения хорошо иметь слабый потенциал, по сравнению как с ,В случае высокой энергии длина волны мала, ≫ 1, и соответствующиевысокие фурье-компоненты малы, что облегчает применение борновскогоприближения.Задача 9.14Рассмотреть потенциальный барьер (рис.
2.4) и сравнить точное решениес решением в борновском приближении.9.12 Квазистационарные состоянияКвазистационарные состояний были рассмотрены в разделе 5.8 в связис ширинами уровней и конечным временем жизни. Волновая функциятакого состояния имеет временную зависимость (5.74),Ψ() = −(/~)(−Γ/2) ,(9.150)т. е. формально аналогична временно́й зависимости стационарного состояния с комплексной энергиейℰ =−Γ.2(9.151)Как мы знаем, эрмитовы операторы могут иметь только вещественныесобственные значения. Гамильтониан частицы (9.4) эрмитов на классенормируемых волновых функций, и мы можем иметь только решения уравнения Шрёдингера с вещественной энергией.
В наших задачах рассеянияволновая функция была не нормируемой и рассматривалась в пределебесконечного объёма. Однако величина энергии определяется удалённым334Глава 9 Одномерное движение: континуумисточником, который создаёт стационарный поток частиц с вещественной > 0.Рассмотрим теперь условия, при которых уравнение Шрёдингера можетиметь решения типа (9.150). Классический пример даётся радиоактивнымраспадом (Г. Гамов (1928)).
Конечно, реальная проблема является трёхмерной, хотя качественно она может быть рассмотрена (см. задача 2.6) какодномерное радиальное движение, 0 < < ∞, ограниченное бесконечновысокой потенциальной стенкой при = 0 (рис. 2.8). Это рассмотрениесоответствует, по существу, трёхмерному случаю с орбитальным моментомℓ = 0. Соответствующее граничное условие для регулярного решения есть( = 0) = 0.Область положительных энергий принадлежит непрерывному спектру.«Нормальная» стационарная постановка задачи соответствует рассеяниюна потенциале () частиц с вещественной энергией > 0, испускаемыхисточником при → ∞ и движущихся влево.
Частицы (с энергией дажеменьшей, чем высота барьера, < ) проникают во внутреннюю областьи образуют отражённую назад волну после проникновения. В асимптотической области [ → ∞, ≫ ()] волновая функция стационарногосостояния является суперпозицией двух волн: падающей волны, идущейсправа, и волны, отражённой от центра,() ∝ − − () ,(9.152)√︀с волновым вектором = 2/~2 и амплитудой рассеянной волны (),аналогом -матрицы в задаче 9.4. Из-за сохранения тока коэффициентотражения равен() = |()|2 = 1.(9.153)Это означает, что () можно записать в виде() = 2() ,(9.154)где () — фаза рассеяния (см. раздел 9.5), обусловленная наличием потенциала (); () — это фаза, накопленная на пути к центру, а 2 – полнаяфаза.
Знак минус в уравнении (9.152) выбран таким образом, что для свободного движения, ≡ 0, не должно быть никакого сдвига фазы, () = 1,и тогда() → 0 () ∝ − − ∝ sin(),(9.155)9.12 Квазистационарные состояния335что удовлетворяет граничному условию (0) = 0 в особой точке началакоординат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
