1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В непосредственной близости от этойточки() ≈ − + ln() −1( − )2 .2(9.97)Тогда при больших Γ( + 1) ≈ −+ ln()∫︁2 /2 −(−).(9.98)Оставшийся интеграл (9.98) может быть продолжен до бесконечности, что√даёт распределение Гаусса с шириной = . Интеграл Гаусса приводитк формуле Стирлинга (9.96). Теперь мы можем проверить, что получитсяот следующего члена разложении (9.97):(︂ 3 )︂1( − )33 ( − )=.(9.99)63 =32Функция Гаусса в подынтегральном выражении фактически ограничивает√интегрирование шириной | − | ∼ , так что поправка (9.99) добавляет√вклад порядка exp[1/(3 )], который в пределе больших не изменяетасимптотики (9.96).
Напомним, что для целых Γ( + 1) = !.9.9 Асимптотика функции Эйри*Приобретя некоторый опыт работы с асимптотиками, возвратимся теперьк асимптотике функции Эйри, через которую выражено решение задачи одвижении в однородном поле (9.71). Из общих соображений мы ожидаем,9.9 Асимптотика функции Эйри*321что приближённое решение имеет вид осциллирующей функции в классически разрешённой области, > или > 0, (уравнение (9.68)), чтосоответствует большим отрицательным аргументам функции Ai(−). Вклассически запрещённой области далеко под барьером, < или < 0,аргумент функции Эйри — большая положительная величина, и здесь волновая функция, как ожидается, экспоненциально затухает.
Обратите внимание, что функция Эйри не имеет особенности в точке поворота = ,или = 0 (уравнение (9.73)). Для дальнейшего анализа удобно представить функцию Эйри (9.70) в виде действительной части экспоненциальнойфункции:{︂∫︁ ∞}︂13−(+ /3) ,(9.100)Ai() = Re0выбор знака в показателе не имеет значения. В классически разрешённойобласти мы имеем − ≫ 1, т. е.
= −||, || ≫ 1,{︂∫︁ ∞}︂1(||− 3 /3).(9.101)Ai() = Re0Точка стационарной фазы даётся максимумом показателя степени(︂)︂√︀3|| −= || − 2 = 0 = ||.(9.102)3Это действительно максимум, так как вторая производная отрицательна,(︂)︂32|| −= −2.(9.103) 23Окрестность √︀этого максимума даёт основной вклад в интеграл, если || ≫ 1.Полагая = ||+ ′ и раскладывая экспоненту до членов второго порядкапо ′ , мы получаем|| −√︀32≈ ||3/2 − || ′2 .33(9.104)√︀В интеграле (9.101) нижний предел равен ′ = − ||; в асимптотике мыможем заменить его на −∞, тогда получим{︂∫︁ ∞√ ′2 }︂13/2Ai() ≈ Re (2/3)|| ′ − || .(9.105)−∞322Глава 9 Одномерное движение: континуумAη=–i√ξ+xBРис.
9.4: Контур интегрирования для асимптотики функции Эйри Ai() при ≫ 1Последний интеграл гауссовского типа (хотя показатель и осциллирует),он равен (−)1/2 ||−1/4 . Наконец, беря вещественную часть комплексногопоказателя и возвращаясь к − вместо ||, мы получаем искомую асимптотику:(︂)︂123/2Ai() ≈ √cos(−) −, − ≫ 1.(9.106)34(−)1/4Это осциллирующее поведение с медленно уменьшающейся амплитудойсоответствует нашим ожиданиям распространения волны в классическиразрешённой области.При большом положительном ≫ 1 стационарные точки показателяэкспоненты в интеграле (9.100) даются формулой 2 = −. Интеграл (9.100)при > 0 сходится, если Im() < 0.
Поэтому мы можем деформировать контур интегрирования в нижнюю часть комплексной плоскости (см. рис. 9.4).Новый контур содержит вертикальный участок вдоль√ мнимой оси внизот начала координат до стационарной точки = − и горизонтальнуючасть от стационарнойточки до ∞. Вдоль линии , где = − и √меняется от 0 до , вклад в интеграл чисто мнимый, и поэтому он не даётвклада√в асимптотику. В оставшемся интеграле мы можем положить = − +, где изменяется от 0 до ∞ и экспонента может быть записанакак exp{ (; )}, где√√︀√︀(− + )32 (; ) = −(− + ) − = − 3/2 − 2 − 3 .
(9.107)333√ 2Для больших гауссовский член − эффективно обрезает диапазонзначений , который даёт вклад в интеграл при малом ∼ −1/4 . Тогда по-9.9 Асимптотика функции Эйри*323следний член в (9.107) имеет порядок −3/4 ≪ 1. Пренебрегая этим членомв асимптотике, мы приходим к гауссовскому интегралу по ; стандартноевычисление даёт13/2Ai() ≈ √ 1/4 −(2/3) ,2 ≫ 1,(9.108)что объясняет выбор переменных в уравнении (9.74). Как и ожидалось, мыполучили решение, экспоненциально спадающее в классически запрещенную область.Задача 9.10Введём классический импульс в разрешённой области для движенияв однородном поле, > ,√︀√︀() = 2( + ℰ) = 2ℰ( − ),(9.109)и мнимый импульс в запрещённой области < , где√︀√︀|()| = 2(− − ℰ) = 2ℰ( − ).(9.110)Показать, что асимптотика волновой функции (9.71) может быть выраженакак(︁)︁ () ≈ 2 √︀cos () − /4 , ≫ ,(9.111)()где является нормировочной константой и˜ () ≈ −(), ≪ ,где фаза свободного движения в разрешённой области равна∫︁1 ′ (′ ),() =~ (9.112)(9.113)в то время как затухание волновой функции в запрещённой области определяется мнимой фазой∫︁1 ′()˜= |(′ )|.(9.114)~ Решение.324Глава 9 Одномерное движение: континуумИспользуйте асимптотику функции Эйри и простые интегралы√∫︁ 2 2′′ ( ) =( + ℰ)3/2 ,3ℰ(9.115)√∫︁ 2 2′′3/2 |( )| = −(− − ℰ) .3ℰАсимптотика (9.111) состоит из падающей и отражённой волн одинаковойамплитуды (ток должен сохраняться), полученной при () → −(), т.
е.при дополнительной фазе . Затухающая волновая функция в запрещённойобласти является, в сущности, той же волной с дополнительной фазой /2или () → |()| Наличие фазы /4 в распространяющихся волнах (9.111)связано с плавным поведением в области вблизи точек поворота, котораяне содержит никаких особенностей, но не описывается асимптотическимивыражениями.
Точно решаемая задача в однородном поле служит опорнойточкой в общем квазиклассическом рассмотрении (см. главу 15).9.10 Функция Грина для одномерного рассеянияЗдесь мы разовьём регулярный метод решения уравнения Шрёдингерав континууме, а позже обобщим этот подход для решения трёхмерныхзадач. Значение этого метода состоит в возможности построения последовательности приближений для случаев, когда точное решение недостижимо.Уравнение, которое нужно решить, имеет стандартный вид (9.5), где 2 () = 02 − (),02 =2,~2 () =2 ().~2(9.116)Будем считать, что потенциал () сосредоточен на конечном отрезкеоси и может быть полностью проигнорирован при || > , где можноназвать радиусом действия потенциала, так что за пределами этого интервала = 0; мы можем также опустить индекс, переименовав 0 → (асимптотическое волновое число).Если бы потенциал отсутствовал, то решение с источником слева былобы просто плоской волной (с произвольной нормировкой).
В присутствии потенциала решение будет содержать отражённую волну, а такжепрошедшую волну с фазовым сдвигом (см. раздел 9.5). Полное решениеуравнения (9.116) можно искать, выделив падающую волну() = + sc (),(9.117)9.10 Функция Грина для одномерного рассеяния325где рассеянная волна sc () содержит все эффекты, связанные с потенциалом. Так как падающая волна удовлетворяет уравнению свободногодвижения, для рассеянной части получаем(︂ 2)︂2+ sc () = ()()(9.118)2с полной функцией () в правой части.Предположим, что мы знаем функцию Грина (, ′ ) дифференциального оператора в левой части (9.118), т.
е. решение(︂ 2)︂2+ (, ′ ) = ( − ′ ).(9.119)2Заметим, что функция Грина зависит от энергии = ~2 2 /2. От дифференциального уравнения (9.118) перейдем к интегральному уравнению∫︁sc () = ′ (, ′ ) (′ )(′ ).(9.120)В некотором смысле это уравнение является более полным, чем дифференциальное уравнение, потому что мы можем включить в интегральноеуравнение необходимые граничные условия.
Этого можно добиться конкретным выбором функции Грина. В самом деле, (9.119) не определяет(, ′ ) однозначно: мы всегда можем добавить любое решение однородногоуравнения (без правой части).Правильный выбор для источника в левой части должен гарантировать,что sc содержит только отражённую волну − далеко влево от потенциала, ≪ −, и только волну, распространяющуюся вправо, при ≫ . Эта асимптотика может быть достигнута, если функция Гринаимеет те же свойства, поскольку в уравнении (9.120) переменная ′ ограничена областью потенциала, в то время как переменная относится кточке наблюдения в асимптотике.
Функция Грина (9.119) удовлетворяетуравнению свободного движения при ̸= ′ . Поэтому будем искать этуфункцию в форме, определяемой требуемой асимптотикой,{︂(′ )− , < ′ ,(, ′ ) =(9.121)(′ ) , > ′ .Для того чтобы согласовать решения с обеих сторон от сингулярности,проинтегрируем (9.119) в малом интервале | − ′ | < около точки = ′ .326Глава 9 Одномерное движение: континуумИнтегрирование даёт[︂]︂=′ ++2∫︁′ + (, ′ ) = 1.(9.122)′ −=′ −Функция Грина сама по себе не содержит особенности в точке = ′(в противном случае её вторая производная была бы ещё более сингулярнойи уравнение не могло бы быть удовлетворено).
В пределе → 0 областьинтегрирования сжимается и интеграл стремится к нулю. Таким образом,условие согласования в области сингулярности даёт скачок производнойфункции Грина (сравните соответствующие условия в (3.63)),(︂)︂(︂)︂−= 1.(9.123) + −Непрерывность функции Грина и разрыв её производной приводят к системе уравнений для амплитуд и в (9.121),′′− = ,′′( + − ) = 1,которая определяет функцию Грина{︂ −(−′ )1, < ′ ,′(, ) =′)(−, > ′ .2Отражённая волна при → −∞ теперь выражается как∫︁1 −′ () =′ (′ )(′ ),2тогда как для прошедшей волны при → ∞ мы получаем[︂]︂∫︁1′′ − (′ )(′ ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
