1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(10.73)2Этим характеризуется переход к режиму удвоения, известному в квантовойоптике, ядерной физике и физике конденсированных сред [52].Задача 10.13Показать, что полная сила яркого состояния сохраняется,∑︁ 2|| = 1.all roots (10.74)356Глава 10 Вариационный подход и диагонализация10.8 Коллективные состоянияЗдесь мы рассмотрим, казалось бы, противоположную проблему формирования яркого (коллективного) состояния, которое аккумулирует силумногих невозмущенных состояний. Пусть ортогональных состояний |⟩|обладают невозмущенными энергиями , = 1, . . .
, . Они связаны меж^ равными ′ ,ду собой факторизованными матричными элементами ,где является константой связи (модель коллективного гигантскогорезонанса или сверхизлучения; факторизованное взаимодействие иногданазывают мультиполь-мультипольным, так как могут быть матричными элементами мультипольных операторов).^ в базисе невозмущённых состояний имеетМатрица гамильтониана ненулевые матричные элементы′ = ′ + ′ .(10.75)Как и при решении предыдущей задачи, мы ищем собственные состояния^ в виде суперпозиции базисных состояний,|Ψ⟩ =∑︁ |⟩,(10.76)=1где теперь все базисные состояния входят на равных.
Как и ранее, мыприходим к уравнению диагонализации в матричной форме∑︁∑︁′ ′ = + ′ ′ = .(10.77)′′Мы можем сразу написать формальное решение этого уравнения: =, − =∑︁′ ′ .(10.78)′Будем считать, что все мультипольные амплитуды не равны нулю. Умножая обе части уравнения (10.78) на и суммируя по , получаем(︃)︃∑︁ 2 1−= 0.(10.79) − 10.8 Коллективные состояния3571/β, β>0E1/β, β<0Рис. 10.4: Графическое решение уравнения (10.80)Если сумма, обозначенная в уравнении (10.78), обращается в ноль, а ̸= , то все коэффициенты также исчезают, что приводит к тривиальному (нулевому) решению для собственных функций.
Нетривиальныерешения определяются характеристическим уравнением для собственныхзначений :∑︁ 21=. − (10.80)На рис. 10.4 показано графические решения для положительных и отрицательных значений . Общая картина аналогична той, что изображенана рис. 10.3. − 1 корней находятся между первоначальными энергиями , в то время как -е решение сдвинуто от исходного спектра вниз (если < 0) или вверх ( > 0).
В вырожденном случае, = ¯ = const, − 1«истинных» корней по-прежнему остаются вырожденными с невозмущёнными значениями ¯, тогда как сильно сдвинутое коллективное состояниеимеет собственное значение∑︁2 .coll = ¯ + (10.81)В сущности, то же значение возникает в невырожденном случае при оченьсильной связи, || → ∞. Как видно из рис. 10.4, в данном случае уровеньотталкивается очень далеко и сдвиг может быть больше, чем размер Δв исходном спектре.
Если это так, мы можем ввести «центр тяжести» ¯невозмущенных уровней и положить ≈ ¯ + , где все отклонения от центра расположены в пределах Δ. Тогда уравнение (10.80), где мыудерживаем члены до второго порядка по отношению Δ к большому сдвигу358Глава 10 Вариационный подход и диагонализацияколлективного уровня, даёт приближённо[︂]︂211 ∑︁ 2.≈ 1 −+ − ¯ − ¯ ( − ¯)2(10.82)Теперь мы можем зафиксировать выбор центральной точки ¯, требуя∑︀ 2∑︁ 2¯ = ∑︀ 2 = 0(10.83) (невозмущённые собственные значения взвешиваются с их силами).
Притаком выборе решение уравнения (10.82) методом итераций даёт для коллективного собственного значения{︃∑︀ 2 2 }︃∑︀ 2 2∑︁∑︁22 ∑︀ − ¯ ≈ ++.(10.84)≈( − ¯)2( 2 )2Если 2 является типичной (средней) силой невозмущённого состояния,решение (10.84) совпадает с таковым для вырожденного случая (см. уравнение (10.84)), если последний член в (10.84) удовлетворяет∑︀ 2 2(Δ)2 ∑︀≈≪ 1.(10.85)( 2 )2 2 ( 2 )2Поправки имеют второй порядок по отношению Δ к коллективному сдвигу.Заметим, что коллективные амплитуды coll (см. уравнение (10.78)) дляколлективного собственного значения coll имеют те же знаки, что и соответствующие амплитуды , в то время как для остальных внутреннихкорней относительные знаки различных амплитуд флуктуируют и зависятот точного положения собственного значения энергии внутри плотногоспектра. Это является источником коллективности данного специфического состояния: здесь вклады многих внутренних состояний когерентны.В пределе сильной связи амплитуды коллективной суперпозиции равныcoll ≈ ≈ const · coll − ¯(10.86)или после нормировкиcoll ≈ ∑︀ 2 1/2 .[ ](10.87)10.8 Коллективные состояния359Набор амплитуд можно рассматривать как -мерный вектор связи t скомпонентами { }.
Вектор амплитуды Ccoll = {coll } в этом пределе естьне что иное, как нормированный вектор связи, т. е. вектор коллективногосостояния √выстроен по вектору связи. Каждая компонента Ccoll мала,порядка 1/ , но они когерентны. Можно представить себе, что состояниямогут излучать так, что амплитуда излучения исходного состояния ⟨rad|⟩пропорциональна . Излучение коллективного состояния определяетсяколлективной амплитудой⃒⃒⃒∑︁⃒∑︁√√⃒coll ⃒⟨rad|coll⟩ = ⟨rad ⃒ ⃒ ⟩ ∝coll ∝ (/ ) ∝ , (10.88)⃒⃒где оценка суммы следует из того, что все элементы в сумме имеют одинаковый знак.√Амплитуда излучения в (10.88) когерентно усиливается ∼ , и вероятность излучения увеличивается на фактор ∼ (сверхизлучение) [53].Это явление лежит в основе многих коллективных эффектов в различныхквантовых системах, таких, например, как так называемые гигантские резонансы в ядрах или атомных кластерах, где частицы взаимодействуют черезмультиполь-мультипольные силы.
Сверхизлучение, впервые рассмотренное Дикке (см. раздел II.11.9), имеет место в системе двухуровневыхатомов, связанных общим полем излучения ( пропорциональны амплитудам излучения) внутри объёма, размер которого меньше, чем длина волныизлучения одного атома. Связь через излучение создаёт новые комбинации атомных состояний, в том числе свехризлучательную, которая имеетширину (см.
раздел 5.8), в раз большую, чем радиационная ширинаотдельных атомов.Математическая база этого и подобных эффектов объясняется факторизованной структурой матрицы (10.75): в режиме сильной связи (иликогда внутренние состояния близки к вырожденным) основная часть матрицы равна ′ . Такая матрица имеет ранг 1, т. е. только одно ненулевоесобственное значение, равное следу матрицы, t2 . Именно это мы видим врассматриваемом пределе (уравнение (10.81)).Выше мы упоминали о предположении, что парциальные амплитуды ̸= 0. Если некоторые из них, например , исчезают, соответствующеесостояние |⟩ выпадает из процесса коллективизации и собственное значение не изменится, как видно из исходного уравнения (10.77): это решениеимеет только одну ненулевую амплитуду = 1 и старое собственноезначение = .360Глава 10 Вариационный подход и диагонализация10.9 Алгоритм ЛанцошаВ реальных задачах, особенно в физике многих тел, сложность динамикичасто требует очень большого базиса даже для простейшего приближения, чтобы можно было надеяться отразить основные черты реальности.Для примера, даже для нескольких частиц, которые могут быть распределены по нескольким одночастичным орбиталям, комбинаторный ростчисла возможных многочастичных конфигураций во много раз увеличиваетразмерность базиса.
Такие масштабные вычисления могут быть выполненытолько численно. Здесь мы кратко обсудим один эффективный подход,который имеет независимую ценность.^ — эрмитов гамильтониан сложной системы; для простоты мыПусть считаем все его матричные элементы действительными, так что матрицагамильтониана симметрична, 12 = 21 , в любом ортогональном базисе.Нашей целью является нахождение способа построения нескольких низшихсостояний наиболее коротким путём.
Начнём с произвольного вектора |1 ⟩,который на практике должен быть выбран на основе наших физическихпредставлений о структуре основного состояния. Будем предполагать, что^ на |1 ⟩,это состояние нормировано на единицу. Действуя гамильтонианом получим то же состояние и некоторое дополнение, которое мы называем |̃︀2 ⟩и которое полностью принадлежит подпространству, ортогональному |1 ⟩:^ 1 ⟩ = 1 |1 ⟩ + |̃︀2 ⟩,|1 = 11 .(10.89)Нормируем новый вектор,|̃︀2 ⟩ = 1 |2 ⟩,⟨2 |2 ⟩ = 1,(10.90)так что 1 = 12 = 21 , и^ 1 ⟩ = 1 |1 ⟩ + 1 |2 ⟩.|(10.91)^ на вектор |2 ⟩.
Это приведёт нас обПродолжим процесс, подействовав ратно к |1 ⟩ с той же амплитудой 1 , появится диагональная часть с коэффициентом 22 ≡ 2 , и возникнет часть, ортогональная обоим предыдущимвекторам. Предполагая, что третий вектор |3 ⟩ нормирован, мы имеем^ 2 ⟩ = 1 |1 ⟩ + 2 |2 ⟩ + 2 |3 ⟩.|(10.92)10.9 Алгоритм Ланцоша361На следующем шаге получим^ 3 ⟩ = 2 |2 ⟩ + 3 |3 ⟩ + 3 |4 ⟩.|(10.93)Появление первого вектора здесь невозможно, поскольку тогда мы бытакже имели вклад |3 ⟩ с той же амплитудой в уравнении (10.91). Вектор|4 ⟩ снова ортогонален |1 ⟩, |2 ⟩ и |3 ⟩.Таким образом, вместо полной диагонализации повторение одной и тойже процедуры приводит гамильтониан к трёхдиагональному виду:⎛⎞1 1 0 0 ...⎜ 1 2 2 0 ... ⎟⎜⎟^⎟=⎜(10.94)⎜ 0 2 3 3 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
