1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Полноерешение должно содержать эту экспоненту, возможно, умноженную на другую функцию, которая не изменяет убывающий характер асимптотики,() = () −2 /2.(11.8)Используя это подход, вычислим производную по ,)︂(︂ ′′− , =[︃(︂)︂ (︂ ′)︂2 ]︃(︂ ′′)︂′ ′′ ′2′′2 =− 2 −1 +−=− 1 − 2 + , (11.9)и получим ′′ − 2 ′ + ( − 1) = 0.(11.10)Это особая форма гипергеометрического уравнения, которое не содержитособенностей и может быть решено при помощи простой полиномиальнойфункции.Сразу видно, что полином низшего порядка удовлетворяет этому уравнению: = 0 = const является решением, если = 1; = 1 выполняетсяпри = 3.
Это низшие чётное и нечётное решения. Так как потенциал симметричен относительно пространственной инверсии, стационарные функцииимеют определенную чётность, так что следующим решением после этихдвух должен быть чётный полином второго порядка, = 2 2 + const,который действительно является решением с = 5 и const = −2 /2. Как идолжно быть, более высокие решения добавляют узлы один за другим иимеют чередующиеся чётности. Добившись успеха с низшими полиномами,368Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осцилляторбудем искать общее решение уравнения (11.10) в виде степенного ряда∑︁ .(11.11)() =Подстановка данного выражения в уравнение (11.10) даёт}︁∑︁ {︁ ( − 1) −2 − 2 −1 + ( − 1) = 0.(11.12)Это равенство будет тождественно выполнено, если коэффициенты прикаждой степени сокращаются.
Собрав все члены ∝ , получаем+2 ( + 1)( + 2) − 2 + ( − 1) = 0.(11.13)Таким образом, мы приходим к бинарному рекуррентному соотношению+2 =2 − ( − 1) .( + 2)( + 1)(11.14)Взяв любое значение для 0 , мы сможем вычислить все чётные коэффициенты 2 ; аналогично, начав с некоторого 1 , мы найдём все нечётныечлены 2+1 . Это автоматически определяет чётные и нечётные решения.Решение даётся конечным полиномом, если в какой-то точке ≠ 0, то+2 = 0.
Тогда все высшие члены ряда равны нулю. Это происходит, еслиэнергетический параметр равен(︂)︂1 = 2 + 1 = = ~ +,(11.15)2что определяет эквидистантный спектр энергии для чётных и нечётных с шагом, равным ~. Самое низшее решение, = 0, является чётным,когда полином — это просто константа. Поэтому имеем функцию Гаусса,как и в (11.5),0 () = 0 −2 /2.(11.16)Более высокие решения представлены полиномами в порядке увеличениястепени; они имеют конечных узлов в соответствии с осцилляционнойтеоремой.Чтобы быть уверенным, что не существует других, неполиномиальных,решений, мы должны понять, что происходит, если ряд (11.11) не пре-11.2 Линейный гармонический осциллятор369UxaРис. 11.2: График потенциала для адачи 11.2кращается на -м шаге.
Тогда у нас есть бесконечный ряд с предельнымсоотношением +2 / ≈ 2/ между последовательными коэффициентами,как следует из уравнения (11.14). Это то же поведение, как для возрастающей экспоненты2 =∞ 2∑︁=0!.(11.17)В самом деле, в этом ряде для 2 = = 1/(/2)!, а для 2 = + 2+2 = 1/[(/2) + 1]!, что приводит к тому же асимптотическому соотношению +2 / = 1/[(/2) + 1] ≈ 2/. Таким образом, наш бесконечныйряд асимптотически ведёт себя как exp(+ 2 ). Этот рост перевешиваетубывающую экспоненту в (11.8), так что в результате волновая функцияасимптотически растёт ∝ exp(+ 2 /2), и мы приходим к расходящемуся решению, которое уже было отвергнуто в самом начале (см. уравнение (11.8).Таким образом, только решение в виде конечного полинома удовлетворяет физическим требованиям к связанному состоянию, и весь дискретныйспектр определяется формулой (11.15).Задача 11.2а) Найдите энергетический спектр и постройте соответствующие собственные функции () для частицы с массой в потенциальном поле,370Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осцилляторизображённом на рис.
11.2: () = 0(︁ − )︁2,0 > 0, > 0.(11.18)б) Рассмотрите эту же задачу, разложив потенциал вблизи классическойточки равновесия, приближённо описав его с помощью параболы и решив задачу для получившегося гармонического осциллятора. Сравнитеспектр этого приближённого решения с точным.Решение.а) Решим стационарное уравнение Шрёдингера−(︁ )︁2~2 2 = .+−02 2 (11.19)Потенциал (рис.
11.2) имеет форму ямы с левой стенкой, асимптотически приближающейся к вертикальной оси, и параболической правойстороной. Здесь возможен только дискретный спектр с > 0. Вводябезразмерные положительные переменные=,=20 2,~2=22,~2перепишем уравнение для () в виде(︂)︂2 12− + 2 + (2 + ) = 0.
2(11.20)(11.21)Теперь посмотрим на поведение вблизи особых точек → +∞ и → 0.При очень больших значениях уравнение имеет осцилляторный вид:2 ≈ 2 , 2 → +∞.(11.22)Решение здесь ведет себя как2 ∼ .(11.23)Тогда находим ′ = 2, ′′ = (2 + 42 2 ) ≈ 42 2 ,(11.24)11.2 Линейный гармонический осциллятор371и сравнение с (11.22) показывает, что42 = =−1√,2(11.25)где мы выбираем решение, убывающее на больших расстояниях. Вблизиначала координат берём основные члены в уравнении:2 ≈ 2 , 2 → 0.(11.26)Это уравнение типа уравнения Эйлер а с решением в виде степенипеременной (оба члена в уравнении понижают степень на 2): ∼ ,( − 1) = .(11.27)В этом квадратном уравнении нам нужно выбрать положительныйкорень для , чтобы избежать бесконечного роста волновой функциипри малых ,=]︁1 [︁√︀4 + 1 + 1 .2(11.28)Наконец, введём переменную=√ 2(11.29)и станем искать полное решение в виде, который учитывает поведениевблизи особенностей, = −/2 /2 (),(11.30)где () должна быть регулярной функцией, которая не изменяет асимптотическое поведение.
Подставив это выражение в уравнение (11.21)и убедившись после нескольких алгебраических преобразований, чтосингулярности сокращаются, мы приходим к уравнению для ():′′ + ( − )′ − = 0,(11.31)1=+ ,2(11.32)где= 1 + 2+ − √ .2 44 372Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осцилляторПри отсутствии особенностей в уравнении (11.31) мы ищем решениев виде степенного ряда∑︁() = .(11.33)Коэффициенты должны удовлетворять бинарному рекуррентномусоотношению+1 =+ .( + 1 + )(11.34)Если ряд бесконечен, поведение членов высокого порядка, +1 ∼ /,совпадает с поведением членов ряда, представляющего экспонентуexp().
Такое поведение было бы сильнее, чем отрицательная экспонента в (11.30) и, следовательно, приводило бы к неприемлемому ростуволновой функции. Это означает, что ряд на самом деле должен бытьполиномом конечной степени. Полином конечной степени по ∝ 2возникает, если ̸= 0, но > = 0. Для этого требуется = −, чтоявляется условием квантования энергии, = , + 2 1=+ + ,√4 2 4или, возвращаясь к исходным обозначениям для и ,(︂√ )︂1 1 √︀1 + 4 − = ~ + +.2 42(11.35)(11.36)Спектром задачи оказывается спектр гармонического осциллятора счастотой√︂80=;(11.37)2основное состояние сдвинуто с (~/2) на[︂√ ]︂1 √︀1 + 4 −.Δ = ~42(11.38)Этот сдвиг всегда положителен, он обращается в нуль только при ≫ 1.Волновые функции могут быть явно построены с использованиемпоследовательных полиномов (). Общее выражение для волновой11.3 Полиномы Эрмита⋆функции можно записать в виде)︂(︂√1 √ 2 −( /22 )2 () = −, + ; 2 .2373(11.39)Здесь — это нормировочный множитель, является так называемой вырожденной гипергеометрической функцией, удовлетворяющейуравнению (11.31) и обычно выражаемой в виде бесконечного ряда: (, ; ) = 1+ ( + 1) 2 ( + 1)( + 2) 3+++.
. . . (11.40) 1! ( + 1) 2! ( + 1)( + 2) 3!Этот ряд становится конечным полиномом при = −, где > 0 —целое. Многие известные специальные функции могут быть представлены как частные случаи вырожденной гипергеометрической функции.Например,функции Бесселя, = 2,функции параболического цилиндра, = 12 ,неполные гамма-функции, = 1,полиномы Лагерра, = −,последний случай — это наше решение.б) Вблизи классической точки равновесия = потенциал близок к потенциалу гармонического осциллятора с эффективной частотой, котораяможет быть найдена разложением потенциала вблизи этой точки иаппроксимацией кривизны с помощью 2 /2:√︂1 2 180222 () ≈( − ) ≡ ( − ) , =.(11.41)22 22Частота (11.37) в точности совпадает с частотой классического колебания около точки равновесия = .
Однако смещение спектра в целом,которое определяется формулой (11.38), теряется в этом приближении.Данный сдвиг обусловлен формой фактического потенциала, ширина которого у́же, чем у потенциала осциллятора, и все уровни выталкиваютсявверх.11.3 Полиномы Эрмита⋆Вернёмся к решению (11.8) для гармонического осциллятора. Функции () (уравнение (11.11)) пропорциональны полиномам Эрмита ℋ (),374Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осцилляторкоторые определяются какℋ () = (−) 2 −2 . (11.42)Как следует из этого определения, данные функции действительно являются полиномами определённой чётности Π = (−) . Низшие полиномыЭрмита имеют видℋ0 () = 1,ℋ1 () = 2,ℋ2 () = 4 2 − 2,ℋ3 () = 8 3 − 12. (11.43)Многие их свойства могут быть получены с помощью производящей функции (, ), коэффициенты разложения которой в ряд Тейлора по степеням пропорциональны полиномам от . В нашем случае2−2 (, ) = =∞∑︁ℋ ()=0! .Выбор является правильным, если(︂ )︂ .ℋ () = =0(11.44)(11.45)При написании производящей функции (11.44) в виде2 (, ) = −(−)2(11.46)мы видим, что22 =(−)−(−) ,(11.47)откуда, действительно, при = 0 получается определение (11.42) полиномовЭрмита.Задача 11.3Доказать рекуррентные соотношенияℋ ()= 2ℋ−1 ()(11.48)11.3 Полиномы Эрмита⋆375и2ℋ () = 2ℋ−1 () + ℋ+1 ().(11.49)Решение.Вычислить производные / и / производящей функции (, ).Как следует из (11.48) и (11.49), полиномы Эрмита совпадают с ()при условии правильного спектра = 2 + 1.
Таким образом, собственныефункции стационарных состояний линейного гармонического осциллятораравны () = −2 /2ℋ (),(11.50)где константы могут быть определены из нормировки. Полиномы Эрмита ортогональны с весом,∫︁√2 ≡ − ℋ ()ℋ () = 2 ! ,(11.51)и это, очевидно, есть условие ортогональности волновых функций (11.50).Для доказательства рассмотрим интеграл при > , используя определение (11.42) для ℋ () :∫︁ =2− 2 2(−) −ℋ () = (−) ∫︁2 −ℋ ().
(11.52) После -кратного интегрирования по частям сокращаем (−) и переносим производную на многочлен ℋ , так как проинтегрированные членыобращаются в нуль на бесконечности,∫︁2 ℋ () = −.(11.53) При > подынтегральное выражение исчезает, потому что число дифференцирований больше, чем степень полинома ℋ . Таким образом, волновые функции с различными энергиями ортогональны, как и должно быть.В случае нормировки, = , имеем∫︁2 ℋ () = −,(11.54) 376Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осциллятори только старший член полинома ℋ () (коэффициент при ) вноситненулевой вклад. Согласно (11.42) этот коэффициент равен22(−) (−2) − = 2 .(11.55)Отсюда∫︁ =− 2 (2 ) = 2 ! ∫︁√2 − = 2 ! (11.56)в подтверждение формулы (11.51).Задача 11.4Найти значения полиномов Эрмита в начале координат.Решение.Из производящей функции получаемℋ=odd (0) = 0,ℋ=2 (0) = (−)(2)!.!(11.57)11.3 Полиномы Эрмита⋆377Задача 11.5а) Доказать интегральное представление полиномов Эрмита:∫︁ ∞2 22ℋ () = (−) √ − +2 .−∞(11.58)б) Вычислить бесконечную сумму, где || < 1,(, ; ) =∞∑︁ℋ ()ℋ ()2 !=0.(11.59)Решение.а) Интеграл в (11.58) получается в результате -кратного дифференцирования по интеграла для = 0, который является гауссовским.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
