1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 54
Текст из файла (страница 54)
⎟ .⎝ 0 0 3 4 ... ⎠... ... ... ... ...Матрицу в таком виде не только намного легче диагонализовать, но исходимость обычно достигается гораздо быстрее. Одним из практическихспособов нахождения собственных значений матрицы (10.94) являетсяиспользование рекуррентного соотношения для детерминантов Δ , полученного усечением этой матрицы по -той строке и столбцу,Δ = Δ−1 − 2 Δ−2 .(10.95)Оно сразу следует из структуры (10.94).Задача 10.14 [54]Рассмотрим бесконечную матрицу типа (10.94), где диагональные элементы расположены в порядке возрастания и существует предел,lim→∞2≡ .
+1(10.96)Будем обрезать матрицу при различных растущих размерностях и из()влекать последовательность приближённых значений 0 для наинизшегособственного значения 0 . Согласно вариационному принципу эта последовательность корней детерминантов Δ монотонно идёт вниз (мы добавляемвозрастающее давление сверху). Используя уравнения (10.95) и (10.96),покажите, что в процессе последовательного усечения энергия сходится кеё предельной величине экспоненциально, так что при достаточно большом362Глава 10 Вариационный подход и диагонализациязначении ()0= 0 + const · − ,где показатель равен{︂)︁}︂√︀1 (︁221 − 2 − 1 − 4, = − ln22(10.97)(10.98)если предел (10.96) удовлетворяет < 1/2. При = 0 сходимость оченьбыстрая (факториальная, как можно проверить на примере гармоническогоосциллятора с линейным возмущением ∝ ); при = 1/2 сходимость медленнее, как обратная степень , а для слишком большого > 1/2 процессрасходится; сравните с аналогичной нестабильностью в уравнении (12.87),также связанной с трёхдиагональной матрицей.
Экспоненциальная сходимость может быть очень полезна при численной диагонализации большихматриц гамильтониана, где параметр , как правило, мал.Дополнительная литература: [50, 54, 55].. . . проблемы, относящиеся к гармоническомуосциллятору, служат прекраснойиллюстрацией общих принципов иформализма квантовой теории.А.
Мессиа, «Квантовая механика»Глава 11Дискретный спектр и гармонический осциллятор11.1 Одномерные связанные состоянияОдномерные связанные состояния имеют нормированные координатныеволновые функции, которые стремятся к нулю на бесконечности. Этовозможно только если потенциал () ограничивает движение в обоихнаправлениях. Два условия( → ±∞) → 0(11.1)могут быть выполнены только для некоторых специальных значений энергии. Эти значения образуют дискретный спектр. Как показали квазиклассические оценки в разделе 3.9, энергетический спектр может иметь любоечисло связанных уровней, от нуля до бесконечности.Задача 11.1Доказать, что в одномерном случае невозможно вырождение связанныхуровней.Решение.Предположив, что существуют два связанных состояния с одинаковойэнергией, нужно применить граничное условие (11.1) к вронскиану (раздел 9.3) и показать, что соответствующие функции пропорциональны другдругу.Из вида (9.5) уравнения Шрёдингера можно увидеть, что в классическизапрещённых областях, < (), кривизна ′′ = − 2 () имеет тот жезнак, что и волновая функция.
Таким образом, функция не может колебаться под барьером. Она стремится к нулю монотонно (не имеет значения,сверху или снизу, так как общий знак волновой функции произволен).Однако в классически разрешённых областях колебания происходят, как364Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осцилляторψn=0n=2n=1Рис. 11.1: Последовательные волновые функции связанного состояния с = 0, 1, и 2мы знаем из нашего опыта с кусочно-постоянными потенциалами. Такаяволновая функция похожа на стоячую волну с некоторым числом колебаний между областями затухания, которое происходит вне классическиразрешенных мест.Дифференциальное уравнение первого порядка (9.27) для вронскианадвух решений справедливо и для дискретного спектра.
Это позволяетустановить правила сравнения, которые помогают упорядочить связанныесостояния. Любое связанное решение имеет, по крайней мере, два нуля(на бесконечности, уравнение (11.1)). Если функция не имеет других нулей(узлов), мы можем предположить, что она всюду положительна. Любое другое решение должно иметь по крайней мере один нуль (не на бесконечности)для того, чтобы быть ортогональным к первому решению. Справедливаосцилляционная теорема, которая утверждает, что волновая функциякаждого следующего по энергии связанного состояния имеет ровно одиндополнительный узел по сравнению с предыдущим решением с меньшейэнергией; узлы -го решения чередуются с нулями предыдущего − 1-горешения (см. рис. 11.1).Действительно, рассмотрим решения 1 () и 2 () с энергиями 1 и 2соответственно, причём 2 > 1 .
Пусть = и = — два соседних нуля11.2 Линейный гармонический осциллятор365нижней функции 1 и между ними функция 1 , например, положительна,1 () = 1 () = 0,1 > 0 при < < .(11.2)В точках и определитель Вронского (9.24) для этих решений равен12 () = −1′ ()2 (),12 () = −1′ ()2 ().(11.3)Между двумя нулями положительная функция 1 сначала увеличивается,а в конце уменьшается. Таким образом, 1′ () > 0 и 1′ () < 0, так что знак12 () является противоположным знаку 2 (), а знак 12 () такой же,как у 2 (). С другой стороны, уравнение (9.27) с 1 < 2 показывает, чтознак производной 12 / между и противоположен знаку 2 . Если 2не меняет знака в этой области, будучи, например, положительной, функция 12 должна монотонно уменьшаться.
Однако согласно предыдущемуутверждению знак 12 изменяется с отрицательного на положительный,т. е. 12 возрастает. Единственное разрешение противоречия состоит втом, что 2 не может иметь одинаковый знак всюду в интервале [, ].Это означает, что 2 имеет, по крайней мере, один нуль между соседниминулями любых собственных функций с меньшей энергией.Таким образом, спектр упорядочен так, что волновая функция основногосостояния не имеет нулей при конечных значениях , первое возбужденноесостояние 1 имеет один нуль (исключая ±∞), и имеет конечныхнулей (см. рис. 11.1). Из этого результата также следует, что если потенциал () имеет определённую чётность (см.
раздел 8.5), волновая функцияосновного состояния (если оно связано) имеет положительную чётность;нечётная функция обязательно должна иметь дополнительный узел вначале координат. Эти закономерности будут хорошо видны в следующем,практически наиболее важном примере.11.2 Линейный гармонический осцилляторМы уже имели дело с некоторыми аспектами потенциала гармоническогоосциллятора. Теперь мы в состоянии решить соответствующее уравнениеШрёдингера,(︂)︂2 21222 2+ () = 0, () = 2 − ,(11.4)2~2366Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осцилляторточно. Конечно, этот потенциал (см.
рис. 1.5 ( = 2)) имеет только дискретный спектр энергетических уровней. Эта особенность потенциала являетсянефизической, в реальных ситуациях квадратичный потенциал ∼ 2 где-тообрезается, что позволяет системе диссоциировать при достаточно высокойэнергии. Однако для низколежащих уровней гармоническое приближениеможет быть очень хорошим. На самом деле существуют системы, такиекак молекулы, которые содержат много связанных состояний, похожих напростые гармонические колебания. Проблема колебаний малой амплитудывблизи положения равновесия чрезвычайно важна как в классической,так и в квантовой механике.
Позже, в главе 14 III тома, мы увидим, чтово многих случаях возбужденные состояния системы многих тел могутбыть приближённо описаны малыми колебаниями. Кроме того, представление электромагнитного поля в виде набора нормальных колебательныхмод (см. главу 14 II том) является краеугольным камнем квантовой электродинамики.В этом разделе мы детально изучим полное решение дифференциальногоуравнения (11.4), чтобы продемонстрировать существенные моменты исвязанные с ними технические средства. После этого будет представленалгебраический метод решения, который гораздо проще для приложенийи обобщений. В качестве общего рецепта целесообразно начать с решениявблизи особых точек уравнения (см. для сравнения раздел 9.7). Для случаялинейного гармонического осциллятора единственная опасность происходитот || → ∞.
При больших ||, т. е. глубоко под потенциальным барьером,энергетическим членом в уравнении (11.4) можно пренебречь, и мы находимасимптотический вид решения2() ∝ ± ,=.2~(11.5)Конечно, только убывающее решение со знаком минус в показателе экспоненты может соответствовать физическому связанному состоянию. Уравнение (11.5)√︀показывает, что типичная глубина проникновения равна ∼√∼ 1/ ∼ ~/. Эта оценка нам уже известна из задачи 5.12a. С помощью этой длины, как естественного масштаба задачи, удобно ввестибезразмерную переменную√︂=(11.6)~11.2 Линейный гармонический осциллятор367и использовать как новую координату. Перепишем уравнение Шрёдингерадля ():(︂ 2)︂2− + () = 0, =,(11.7)2(~/2)где также введена безразмерная энергия . В соответствии с (11.5) асимптотическое поведение () определяется функцией exp(− 2 /2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
