1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Условие квантования = −определяет энергетический спектр (11.86). Решение снова даётся полиномами Лагерра () = (, ; ).В новых координатах мы успешно разделили переменные и построилисобственные состояния с определёнными значениями ℓ = и тем жеспектром энергии, где, однако, главное квантовое число теперь представлено как = 2 + ||. В последнем столбце таблицы (11.75) показано,как волновые функции в декартовых координатах могут быть поставленыв соответствие с правильными вращательными линейными комбинация-386Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осцилляторми. Ясно, что состояния с ̸= 0 всегда идут попарно и || чётно причётном и нечётно для нечётного . Каждый квант вдоль оси или увеличивает степень соответствующего полинома Эрмита и изменяетчётность функции так, что чётность и || такая же, как чётность общегоколичества декартовых квантов.
Чтобы связать два описания, мы должнывыразить зависимость от через экспоненты exp(±). Для вакуумногосостояния = = = 0, очевидно, = 0, и это единственная волновая функция, которая является одинаковой в обоих представлениях. Дляследующего уровня, = 1, две декартовы функции содержат полиномы,пропорциональные и ; их правильные комбинации даются сферическимикомпонентами ± = (cos + sin ) = ± .(11.94)Таким образом, переход между представлениями выполняется согласно| = 0; = ±1⟩ ∝ ( ± )| = 0, = 0⟩ ∝∝ | = 1, = 0⟩ ± | = 0, = 1⟩.(11.95)√Комбинации (11.95) могут быть нормированы путём умножения на 1/ 2.Переходя к = 2 и начиная с( ± )2 = 2 2 = 2 − 2 ± 2,(11.96)получаем| = 0, = ±2⟩ ∝ (2 − 2 ± 2)| = 0, = 0⟩.(11.97)Для состояний | = 1, = 0⟩ нам нужна инвариантная относительно вращений функция, которая добавляет две степени координат, но не содержитугловой зависимости.
Естественного множителя 2 + 2 = 2 недостаточно,так как функция 2 | = 0, = 0⟩ не ортогональна к вакуумной функции.Нам нужно сформировать полином второго порядка 2 + const, которыйобеспечивает ортогональность. Вся эта техника значительно упрощаетсяпри использовании операторных методов, что является нашей следующейтемой.11.7 Лестничная конструкция38711.7 Лестничная конструкцияПри работе с дискретным спектром полезно иметь в распоряжении операторы, которые возбуждают систему или снимают её возбуждение, реализуяпереходы с одного уровня на другой. Это особенно легко сделать в случаегармонического осциллятора.^ удовлетворяют коммутационномуПредположим, что операторы ^ и соотношению^ ]^ = ^[,(11.98)с некоторым числом .
Если это так, мы можем назвать оператор ^ собственным оператором и — его собственным значением, хотя оно неявляется собственным значением в обычном смысле. Рассмотрим действие^ с собственнымуравнения (11.98) на собственное состояние |⟩ оператора значением . Используя^ = |⟩|⟩и (11.98), получаем(︁)︁ (︁)︁(︁)︁^ |⟩^^ ]^ + ^^ |⟩ = ( − ) |⟩^= [,.(11.99)(11.100)Таким образом, действие ^ на собственное состояние |⟩ создаёт новый^^ но со сдвивектор |⟩,который снова является собственным вектором ,′нутым собственным значением, = − .Можно сказать, что собственный оператор ^ перемещает вниз по спектру^ каждый раз понижая собственное значение ^ на одно и то же число (в,отличие от обычных собственных значений измеряет расстояние между^уровнями). Из операторного соотношения (11.98) следует, что спектр содержит эквидистантную лестницу,|⟩→,^|⟩ → − ,2^ |⟩ → − 2, .
. . .(11.101)Эрмитово сопряжение (11.98) показывает, что таким же образом ^† строит^ † с собственными значениями * , * + * , ... .растущую лестницу в спектре ^Если эрмитов, это должна быть та же лестница, так что и являютсядействительными. Коммутатор двух эрмитовых операторов антиэрмитов388Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осциллятор(см. уравнение (6.155)) и начальное условие (11.98) не может быть выполнено, за исключением = 0, когда операторы коммутируют и действие ^^относится к подпространству состояний, вырожденных по отношению к (см.
раздел 6.13). Лестничная конструкция может также быть выражена^ его матричные элементы междукак правило отбора для оператора :двумя собственными состояниями и ′ должны подчиняться^ ]^ − |⟩^ = 0 = ( − ′ − )⟨′ ||⟩.^⟨′ |[,(11.102)^ могут отЭто означает, что матричные элементы ^ в собственном базисе личаться от нуля только между теми состояниями, которые удовлетворяютусловию ′ = − .В качестве простого примера можно вспомнить коммутационные соотно^шения вектора ^ с орбитальным моментом ⃗ℓ (уравнения (4.35)–(4.37)):[ℓ^ , ^ ] = ^ .(11.103)Переходя к сферическим компонентам векторов, сравните с (11.94),± ≡ ± ,(11.104)мы находим соотношения для лестницы[^∓ , ℓ^ ] = ±^∓ .(11.105)Таким образом, для любого векторного оператора, ^− понижает проекциюуглового момента на единицу, в то время как ^+ повышает эту проекциюна единицу.
Именно поэтому мы смогли построить состояния с Δ == +1 в предыдущем разделе простым действием повышающего оператора + ≡ + .Является ли лестница бесконечной или конечной (в одном или обоихнаправлениях), зависит от конкретного случая, как мы увидим ниже.11.8 Операторы рождения и уничтоженияЛинейные операторы вместе со своими произведениями и коммутаторамиобразуют операторную алгебру.
Алгебра Гейзенберга-Вейля, образованнаяканонически сопряжёнными операторами координаты ^ и импульса ^ (плюсединичный оператор), является наиболее простой из возможных. Здесь11.8 Операторы рождения и уничтожения389единственным нетривиальным коммутатором, как мы знаем, является[^, ^] = ~.(11.106)В классической механике мгновенное положение частицы может бытьзадано точкой в фазовом пространстве (, ). Удобно ввести безразмерные,взаимно эрмитово сопряжённые операторы ^и^† таким образом, чтобыих классическое изображение было бы точкой в плоскости комплекснойпеременной , чьи реальная и мнимая части были бы пропорциональны и соответственно.
Масштаб преобразований к новым переменным произволен,мы будем использовать положительный масштабный параметр , который√имеет размерность , так что(︂(︂)︂)︂11†^ + ^ , ^ − ^ .^= √^ =√(11.107)2~2~Переменные ^и^† имеют единичный коммутатор[^, ^† ] = 1.Обратное преобразование имеет вид√︂√︂~ 1~†(^+^ ), ^ = −(^−^† ).^=2 2(11.108)(11.109)^,Чтобы построить лестницу, сначала введём оператор ^ =^† ^,(11.110)который, согласно задаче 6.3в, является эрмитовым и неотрицательным^ |⟩ > 0⟨|(11.111)для любого состояния |⟩.
Это среднее значение может быть нулём толькодля состояния, уничтоженного оператором ^ (превращённого в нулевойвектор). Такое состояние, если оно существует, будет называться вакуумоми обозначаться |vac⟩,^|vac⟩ = 0.(11.112)390Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осцилляторКоммутаторы с оператором (11.110) следуют из (11.108),^] = [^, ^,^ ] = −^[^† , † .(11.113)^Используя опыт предыдущего раздела, мы видим, что спектр оператора образует лестницу с шагом = 1, где ^ является понижающим оператором^, а по отношению к ^† является повышающим оператором.
Если |⟩^ , мы имеем, как и в (11.101),собственное состояние ^ |⟩ = |⟩,(︁)︁(︁)︁^ ^|⟩ = ( − 1) ^|⟩ ,(︁)︁(︁)︁^ ^† |⟩ = ( + 1) ^† |⟩ .(11.114)Продолжая двигаться по лестнице вниз с помощью понижающего оператора ^, мы можем прийти в противоречие с требованием (11.111), таккак собственное значение может стать отрицательным. Этого можноизбежать, лишь если при достижении нижней ступени лестницы |min ⟩дальнейшее применение понижающего оператора даёт нулевой вектор. Поопределению (11.112), низшее состояние лестницы является вакуумным,|min ⟩ = |vac⟩. Поскольку норма состояния ^|vac⟩ равна нулю, получаем^ |vac⟩ = min = 0.⟨vac|(11.115)Лестница заканчивается внизу на состоянии |vac⟩ = | = 0⟩ ≡ |0⟩. Поднимаясь от этого состояния с помощью повышающего оператора ^† , мы можемвосстановить всю лестницу с целочисленными ступенями, = 0, 1, 2, ....Лестница бесконечна в направлении вверх, и мы можем назвать состояния|⟩ состояниями с определённым числом возбуждений.Чтобы закончить построение, нам нужно найти матричные элементысоответствующих операторов, предполагая, что состояния лестницы |⟩должным образом нормированы, ⟨|′ ⟩ = ′ .
Понижающий и повышающий операторы действуют согласно^|⟩ = | − 1⟩,^† |⟩ = ˜ | + 1⟩.(11.116)Здесь величина ˜ просто связана с :˜ = ⟨ + 1|^† |⟩ = ⟨|^| + 1⟩* = *+1 .(11.117)11.8 Операторы рождения и уничтожения391Чтобы найти эти матричные элементы, нам нужно нелинейное соотношение,например,^ |⟩ = = ⟨|^⟨|† ^|⟩ = ⟨|^† |−1⟩⟨−1|^|⟩ = ˜−1 = | |2 . (11.118)Фаза матричных элементов произвольна, поэтому они могут быть взятывещественными,√√ = , ˜ = + 1.(11.119)Теперь все матричные элементы определены,√√^|⟩ = | − 1⟩, ^† |⟩ = + 1| + 1⟩.(11.120)Задача 11.8Показать, что вся лестница нормированных состояний, начиная с вакуумного состояния |0⟩, строится как(^† )|⟩ = √ |0⟩.!(11.121)Здесь у нас подходящий момент, чтобы перейти к языку квантов осциллятора.
Квантовое число указывает на число одинаковых квантов,^ является оператором числа кванимеющихся в состоянии |⟩, так что тов. Понижающий оператор ^ описывает поглощение кванта; все квантовидентичны и вероятность поглощения пропорциональна | |2 = , т. е. количеству имеющихся квантов. Повышающий оператор описывает испусканиекванта, соответствующая вероятность пропорциональна |˜ |2 = + 1 исостоит из складываемых некогерентно вероятности спонтанного излучения, которое не зависит от числа существующих квантов, и вероятностииндуцированного или вынужденного излучения, пропорционального ; возможность вынужденного излучения лежит в основе лазерной физики. Наязыке квантов мы говорим о повышающих и понижающих операторах какоб операторах рождения и уничтожения соответственно.Задача 11.9Доказать, что для любой функции справедливо операторное тождество^ (^† )−^ = (^† + ).(11.122)392Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осциллятор11.9 Операторное решение для гармонического осциллятораАлгебра Гейзенберга-Вейля открывает путь квантования фазового пространства одномерного движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
