1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 61
Текст из файла (страница 61)
е. она удовлетворяет^|⟩ = 0.(12.114)^ ⟩ может быть найдено без использования точногоСреднее число квантов ⟨вида коэффициентов ,^ ^† ()^^⟨0; |^† ^|0; ⟩ = ⟨0|^† ()^† ()()|0⟩.(12.115)Из преобразования, которое отличается от (12.109) заменой → −, мынаходим^ |0; ⟩ =⟨0|[^⟨0; |† cosh() − ^ sinh()]×× [^ cosh() − ^† − sinh()]|0⟩,(12.116)12.9 Подробнее о сжатых состояниях417и, наконец,^ |0; ⟩ ≡ ⟨⟩ = sinh2 ().⟨0; |(12.117)Используя те же методы, мы можем вычислить неопределённость числаквантов, которая оказывается гораздо больше, чем в когерентном состояниис распределением Пуассона (12.25). В самом деле,^ 2 |0; ⟩ = ⟨0; |^⟨0; |† ^^† ^|0; ⟩,(12.118)^и, используя явный вид преобразования ()и переходя к среднему значению преобразованных операторов в старом вакуумном состоянии |0⟩, мынаходим^ 2 |0; ⟩ ≡ ⟨2 ⟩ = sinh2 ()[sinh2 () + 2 cosh2 ()].⟨0; |(12.119)Сравнение с (12.117) показывает увеличение флуктуаций числа квантов:(︁)︁(Δ)2 = ⟨2 ⟩ − ⟨⟩2 = 2⟨⟩ ⟨⟩ + 1 .(12.120)Задача 12.19Определить коэффициенты суперпозиции (12.113) и проверить нормировку и среднее число квантов (12.117).Решение.Используя явную форму (12.113), найдём нормированные коэффициенты√︀(︁)︁(2)!(12.121) (, ) = √︀−− tanh() .cosh() !2Как и в случае когерентного состояния фаза коэффициента равна−, так что компоненты комбинации снова точно синхронизированы.Как следует из (12.121), сжатый волновой пакет может содержать чётныеномера, 2, квантов с вероятностью2 = | |2 =(2)![tanh()]2.cosh()(!)2 22Для проверки условий∑︁∑︁2 = 1,22 = sinh2 ()(12.122)(12.123)418Глава 12 Когерентные и сжатые состоянияможно использовать ряд Тейлора ( → tanh())∑︁ (2)!12 = √.22(!) 21 − 2=0(12.124)Зависимость от времени первоначально построенного сжатого состояния гармонического осциллятора является более сложной, чем простоевращение фазы (12.39).
Используя явное разложение сжатого состоянияпо состояниям с определённым числом квантов, мы получаем|; ⟩ = |− ; −2 ⟩.(12.125)Первоначально сжатое состояние осциллятора сохраняет свою сжатуюприроду. В моменты времени = ( − )/2 параметр сжатия периодически пересекает вещественную ось и осциллятор возвращается в состояниес минимальной неопределённостью.Несколько иной взгляд на сжатое состояние соответствует детектору,который по построению считает новые -кванты. Пусть ⟨† ⟩ = естьколичество старых -квантов в исследуемом состоянии; тогда в соответствиис (12.109) -детектор будет регистрировать = ⟨^†^⟩ = cosh2 ()⟨^† ^⟩ + sinh2 ()⟨^^† ⟩(12.126)или, используя коммутационные соотношения, = sinh2 () + [sinh2 () + cosh2 ()] .(12.127)В частности, для вакуумного состояния, = 0, = sinh2 () =1.coth () − 12(12.128)Мы всегда можем записать этот результат в виде теплового равновесиядля числа квантов, =1~/eff−1,(12.129)12.9 Подробнее о сжатых состояниях419и интерпретировать выход детектора как указание на эффективную температуру, eff , источника квантов, определивtanh() = −~/2eff .(12.130)Такая ситуация возникает в общей теории относительности [59], когдаравномерно ускоряющийся наблюдатель (например, в свободном падении вгравитационном поле) регистрирует вакуумное состояние (для наблюдателяв состоянии покоя) как равновесное состояние фотонов с eff = ~/2,где — ускорение (эффект Унру [60]).
Преобразование квантов междудвумя системами совпадает с уравнением (12.72). В применении к чёрнымдырам этот фотон поля соответствует тому, что называется излучениемХокинга с температурой, определённой по массе чёрной дыры. Однакоследует отметить, что обычное излучение чёрного тела характеризуетсяраспределением Планка∑︁Pl = −~/ [1 − −~/ ],Pl = 1,(12.131)где все чётные и нечётные числа присутствуют на равных. Поэтомухотя среднее число ⟨⟩Pl для распределения Планка (12.131) действительнодаётся уравнением (12.129) с температурой , флуктуации этого числа(︁)︁∑︁(Δ)2 =2 Pl − ⟨⟩2Pl = ⟨⟩Pl ⟨⟩Pl + 1(12.132)меньше в два раза, чем для сжатого состояния (12.119).Любой оператор, зависящий от координаты и импульса определенной колебательной моды или, что эквивалентно, от операторов ^и^† , может бытьзаписан в общем виде в терминах эрмитовых квадратурных операторов,^ + = √1 (^+^† ),2^ − = − √ (^−^† ),2(12.133)которые удовлетворяют коммутационным соотношениям^+, ^−] = [(12.134)и соотношению неопределённости(Δ+ )(Δ− ) > 1/2.(12.135)420Глава 12 Когерентные и сжатые состоянияϑ(a)x1exp(r)/2exp(–r)/2x2(b)x2〈x 2〈〈x1〈 x1(c)x1x2t(d)Рис.
12.1: Эллипс ошибок электрического поля (12.136) для чистого сжатогосостояния, = 0 (рисунки a и b) и для общего сжатого состояния с ̸= 0 (рисунки c и d )12.9 Подробнее о сжатых состояниях421В частности, как мы увидим при квантовании электромагнитного поля(раздел 28.3), компоненты поля становятся линейными комбинациями операторов рождения и уничтожения.
Для моды с частотой в когерентномсостоянии с временно́й зависимостью (12.61) амплитуда электрическогополя может быть выражена как^ + cos() + ^ − sin()].ℰ^ = ℰ0 [(12.136)Когерентное состояние имеет минимальную неопределённость и равные дисперсии двух квадратурных компонент, смещённых на /2 по фазе. В сжатомсостоянии с периодическим минимумом неопределённости одна квадратураимеет уменьшенную дисперсию (см. например, уравнение (12.111)). Этоможно увидеть во временно́й эволюции эллипса ошибок, который является результатом сжатия круга ошибок когерентного состояния.
Рис. 12.1показывает данное временно́е поведение (задача 12.20) среднего значенияамплитуды электрического поля (12.136) и его дисперсии. Эллипс вращается вокруг своего центра, а центр вращения — вокруг начала координат,как в обычном когерентном состоянии. Уменьшение колебаний одной изквадратур в сжатом состоянии используется в современных экспериментах,которые требуют особой точности. Сжатые состояния могут быть получены по-разному средствами квантовой оптики, включая так называемоепараметрическое деление частоты [58], когда в оптическом резонаторефотоны с частотой 2 преобразуются в коррелированые пары частотой .Задача 12.20Найти зависимость от времени ⟨ℰ⟩ и (Δℰ)2 в общем сжатом состоянии|; = exp()⟩.Решение.См.
рис. 12.1. Среднее значение такое же, как в чистом когерентномсостоянии,[︁]︁√^ ⟩ = ⟨; 0|ℰ|;^ 0⟩ = 2 ℰ0 Re() cos()+Im() sin() . (12.137)⟨; |ℰ|;Среднеквадратичная флуктуация поля та же самая, как в чистом сжатом состоянии с = 0, и может быть выражена с помощью матричногоумножения(︂)︂(︀)︀cos()222(Δℰ); = (Δℰ)0; = 2ℰ0 cos() sin() , (12.138)sin()422Глава 12 Когерентные и сжатые состояниягде матрица сжатия имеет видcosh2 () + sinh2 () cosh() sinh()=+42(︂Сжатие хорошо видно при = 0, когда)︂(︂1 20=.0 −24Дополнительная литература: [58, 61–63].cos sin sin − cos )︂. (12.139)(12.140)Объяснять что-либо наличием особой«жизненной силы» столь же бессмысленно,как объяснять притяжение между магнитоми железом, просто называя его«магнетизмом».Дж.
М. Шлейден, «Основы научнойботаники»Глава 13Включение магнитного поля13.1 Магнитное поле в классической механикеДо сих пор мы рассматривали квантовые проблемы с потенциальнымиполями (r). Магнитные поля, в отличие от статических электрическихполей, не могут быть включены таким образом. Вместо этого мы введёмпринцип минимальности включения электромагнитного взаимодействия,используемый в классической лагранжевой механике.Для нерелятивистской заряженной частицы массой и электрическимзарядом электромагнитное поле включается посредством функции Лагранжа [12]ℒ(r, v) =)︁ (︁v2− (r) +A(r) · v .2(13.1)Электромагнитное поле определяется здесь через потенциалы, скалярный и векторный A.
С помощью функции Лагранжа (13.1) каноническийимпульс находится какp=ℒ= v + A.v(13.2)Этот импульс теперь не совпадает с кинетическим импульсомv = p −A.(13.3)Лагранжево уравнение движения имеет видpℒ=.r(13.4)424Глава 13 Включение магнитного поляДля -ой компоненты уравнения (13.3) получаем(︂)︂ + −.=−− (13.5)Теперь определим электрическое ℰ и магнитное ℬ поля через производныепотенциаловℰ = −∇ −1 A, (13.6)ℬ = curl A ≡ [∇ × A].(13.7)Последний член в (13.5) содержит ℬ (как всегда, подразумевается суммирование по повторяющимся индексам), и уравнение движения принимаетобычный вид с силой Лоренца в правой части,v= ℰ + [v × ℬ].(13.8)Обычно отмечается, что уравнение движения содержит только поля, ℰ иℬ, так что потенциалы, и A, можно рассматривать как вспомогательные величины, которые ненаблюдаемы.
Это формулируется как принципкалибровочной инвариантности теории: можно перейти к другому наборупотенциалов посредством калибровочного преобразованияA → A′ = A + ∇, → ′ = −1 , (13.9)где — произвольная однозначная функция координат и времени. Приэтом поля, а следовательно, и уравнения движения инвариантны,ℰ ′ = −∇′ −1 A′= ℰ,c tℬ ′ = curl A′ = ℬ.(13.10)Задача 13.1Показать, что статическое однородное магнитное поле ℬ может, в частности, описываться следующими формами (калибровками) векторногопотенциала: симметричная калибровка,1(а) A = [ℬ × r],2(13.11)13.2 Квантовая формулировка и калибровочная инвариантность425а также калибровка, в которой поле фиксировано вдоль оси ,(б ) A = (−ℬ, 0, 0),(13.12)(в) A = (0, ℬ, 0).(13.13)илиНайти калибровочные функции , которые осуществляют преобразованиямежду этими вариантами.Можно определить функцию Гамильтона в соответствии с правиламиклассической механики,=ℒ· v − ℒ,v(13.14)с результатом(︁=v22+ =p − (/)A2)︁2+ .(13.15)Выражение функции Гамильтона через кинетический импульс (или скорость) и скалярный потенциал не изменилось в присутствии магнитногополя, но соотношение между кинетическим импульсом и каноническимимпульсом теперь другое.13.2 Квантовая формулировка и калибровочнаяинвариантностьМы предполагаем, что в гамильтоновой формулировке квантовой механики мы можем по-прежнему использовать уравнение (13.15), в которомканонический импульс p и радиус-вектор r замещены соответствующимиоператорами с нормальным коммутационным соотношением (4.30).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
