1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Какследствие масштабного соответствия (13.95) между орбитами в импульсном и координатном пространствах, площадь () замкнутой траекториив пространстве координат оказывается также квантованной, () =(︁ )︁2 () = 2~( + ).ℬℬ(13.109)448Глава 13 Включение магнитного поляКак и ранее (уравнение (13.64)), при переходес одной замкнутой орбиты∫︀()на следующую магнитный поток Φ = S · ℬ возрастает на один квант,ΔΦ = ℬ ()2~== Φ0 .(13.110)Задача 13.6Показать, что степень вырождения квантованной орбиты определяетсяформулой (13.63) независимо от закона дисперсии.Решение.Число состояний на одну орбиту Ландау и интервал Δ продольногоимпульса равныΔ = () Δ. (2~)3(13.111)13.8 Симметричная калибровкаСреди различных возможных вариантов для векторного потенциаластатического однородного магнитного поля выделяется симметричныйвыбор (13.11), поскольку он не разрушает симметрию задачи.
При такомвыборе осевая симметрия магнитного поля относительно оси сохраняетсяи орбитальный момент ℓ является интегралом движения.Как всегда, в задачах с угловым моментом удобно ввести повышающие и понижающие комбинации векторов (13.76). В данном случае мыбудем использовать эти комбинации для радиус-вектора r и для вектораканонического импульса (т. е. для p, а не для кинетического импульсаv)),± = ± ,± = ± .(13.112)Тогда компонента орбитального момента вдоль оси симметрии поля выражается как1ℓ^ = (^^ − ^^ ) =(^+ ^− − ^− ^+ ).~2~Задача 13.7(13.113)13.8 Симметричная калибровка449а) Показать, что операторы^± = 1 ^± ,^± ±2^± = ^± ±^±2(13.114)разделяются на пары с коммутаторами^+, ^−] =[2~,[^− , ^+ ] = 2~(13.115)^ ± коммутируют с операторами ^± .и что операторы б) Предположим для определённости, что заряд < 0 и = −ℬ/.Показать, что√︂√︂11†^^=− , ^ =^+(13.116)2~2~и^ =√︂ ^+ ,2~^† =√︂ ^−2~(13.117)являются двумя парами независимых операторов рождения и уничтожения с алгеброй (11.133) для каждой пары.
(В случае > 0 нужно^− и ^ + , в согласии с обратнымпоменять местами ^− и ^+ , а также направлением вращения.)в) Доказать, что операторы (13.116) и (13.117) диагонализируют одновременно и гамильтониан поперечного движения (13.48), и орбитальныймомент (13.113),(︂)︂1†^,(13.118)⊥ = ~ ^ ^+2ℓ^ = ^† ^ − ^†^.(13.119)Стационарные уровни Ландау характеризуются здесь двумя квантовымичислами осциллятора и , так что энергетический спектр принимаетвид = ~ (+1/2), = , и орбитальный момент ℓ = − маркируетвырожденные по энергии состояния. Квантовое число ℓ = ℓ принимаетцелые значения от ℓ = −∞ до ℓ = .Задача 13.8450Глава 13 Включение магнитного поляРешить уравнение Шредингера и найти координатные волновые функции стационарных состояний с использованием симметричной калибровки (13.11).13.9 Когерентные состояния в магнитном полеПосле того как проблема движения в магнитном поле была сведена к системе двух независимых гармонических осцилляторов, можно построитькогерентные состояния с использованием стандартного метода гл.
12 [73].Собственные состояния |, ⟩ двух коммутирующих операторов уничтожения ^ и ^ могут быть помечены двумя соответствующими комплекснымиквантовыми числами и . Удобно придать им размерность длины такимобразом, что^ + |, ⟩ = |, ⟩,^− |, ⟩ = −~ 2 |, ⟩.(13.120)√︀Здесь = ~/ — радиус самой нижней орбиты Ландау (13.60).Используя определения (13.116) и (13.117) для осцилляторных операторов^ и ^, порождающих когерентные состояния (13.120), мы находим, как ив задаче 12.1, разложение когерентных состояний в терминах уровнейЛандау |; ℓ⟩ в симметричной калибровке:|, ⟩ =∞ ∑︁∑︁ℓ (, )|; ℓ⟩.(13.121)=0 ℓ=−∞Коэффициенты разложения можно легко найти (сравните с (12.7)), и ониимеют видℓ (, ) = −(||2 +||2 )/42(−) −ℓ√︀.(22 )−ℓ/2 !( − ℓ)!(13.122)Аналогично (11.132) выразим когерентные состояния в терминах лестницы,построенной на базе основного состояния |0; 0⟩ ≡ | = 0, ℓ = 0⟩,|, ⟩ = −(||2 +||2 )/42^(−/2~)+ +(/22 )^−|0; 0⟩.(13.123)Несколько следующих задач устанавливают основные свойства когерентныхсостояний в магнитном поле, показывая их близкое родство с классическимслучаем.13.9 Когерентные состояния в магнитном поле451Задача 13.9Найти временную эволюцию когерентного состояния |, ⟩.Решение.Состояние остается когерентным, по аналогии с (12.38)|Ψ()⟩ = −( /2) |, − ⟩.(13.124)Комплексная величина равномерно вращается с циклотронной частотой,в то время как остаётся фиксированной (аналог циклотронного вращенияс определённой орбитальной скоростью вокруг данного центра).Задача 13.10Найти средние значения координат , и компонент импульса , частицы в когерентном состоянии |, ⟩.Решение.Результат соответствует картине, в которой имеет смысл неподвижногоцентра траектории в фазовом пространстве, в то время как представляетсобой бегущую переменную циклотронной орбиты(︁)︁(︁)︁⟨^()⟩ = Re + − , ⟨^ ()⟩ = Im − − ,(13.125)⟨^ ()⟩ =(︁)︁~− Im+,22⟨^ ()⟩ = −(︁)︁~− Re−.
(13.126)22452Глава 13 Включение магнитного поляЗадача 13.11Найти координатную волновую функцию когерентного состояния.Решение.Результатом является гауссов волновой пакет в переменных ± , смещенный в комплексную плоскость,⟨, |, ⟩ = √122−(1/42 )[(+ −2)(− −2)+||2 +||2 −2].(13.127)Для центрального состояния, = = 0, которое является в то же времяи основным состоянием = ℓ = 0, имеем простой двумерный гауссовволновой пакет,1222⟨, |0, 0⟩ = √−( + )/4 .22(13.128)Задача 13.12Доказать, что когерентные состояния минимизируют соотношение неопределённостей для обеих переменных, и ,(Δ) · (Δ ) = (Δ) · (Δ ) =~.2(13.129)Задача 13.13Показать, что разложением единицы, по аналогии с (11.33), здесь является соотношение∫︁ 2 2 |, ⟩⟨, | = ^1.(13.130)4 2 2Дополнительная литература: [64–66, 69, 74–77].Столетие спустя после открытия Планкастало совершенно ясно, что квантоваятеория лежит в основе пониманияестественных явлений как на микро-, так ина макроскопических масштабах.Дж. Сьюэлл, «Квантовая механика ивозникающая из нее макрофизика»Глава 14Макроскопическая квантовая когерентность14.1 Идея макроскопической когерентностиВ системе многих тел волновая функция в координатном представлениизависит от всех координат частиц r , = 1, ..., .
Гамильтониан взаимодействующих нерелятивистских частиц с массами и зарядами во внешнемэлектромагнитном поле, заданном электромагнитными потенциалами иA, можно записать в виде^ =(︁)︁2^ − ( /)A(^r )∑︁ p2+∑︁ (^r ) +1 ∑︁ ^ ,2(14.1)̸=^ описывают парные взаимодействия частиц. Тем негде потенциалы менее при некоторых обстоятельствах можно описать определённый классявлений, полагая, что вся макроскопическая система находится во вполнеопредёленном квантовом состоянии. Это происходит, когда система обладает дальним порядком [78] и важными примерами являются сверхтекучестьи сверхпроводимость.В макроскопической системе можно рассмотреть физически малый элемент объёма Δ , который в среднем содержит большое количество частиц ≫ 1. Ограничимся рассмотрением тех явлений, когда для всех процессов на макроскопических масштабах характерно плавное изменение впространстве и времени.
Тогда размер элемента объёма, даже для ≫ 1,всё ещё может быть мал по сравнению с масштабом заметного изменениямакроскопических величин. Поэтому для макроскопических процессов весьэлемент можно характеризовать координатой центра R и общим моментомвремени , а последствиями запаздывания и разности фаз между разнымичастями одного и того же элемента пренебречь. Это описание является454Глава 14 Макроскопическая квантовая когерентностьнеполным и может применяться для плавных гидродинамических процессов; возбуждения одной или небольшого числа частиц внутри элементаобъёма не могут быть описаны таким образом.До этого момента мы использовали квазиклассические понятия и невводили квантовую когерентность.
Переходя к квантовой механике, мы можем попытаться определить макроскопический вектор состояния |Φ(R, )⟩,в котором вместо отдельных координат используется только их центроидR. Число частиц в объёме Δ не может быть точно фиксированным, оноколеблется вокруг среднего значения за счёт обмена с соседними элементами объёма. Однако при достаточно большом Δ поверхностные эффектыиграют второстепенную роль по сравнению с объёмными. Тогда флуктуации Δ из-за потока частиц через поверхность относительно невелики,и можно считать 1 ≪ Δ ≪ . Хотя вектор состояния |Φ⟩ является суперпозицией состояний | ⟩ с различными числами частиц, относительныйразброс все еще мал, Δ/ ≪ 1. Эта ситуация уже обсуждалась в разделе 12.6, и было показано, что адекватное описание даётся когерентнымсостоянием, которое может быть суперпозицией состояний с различнымичислами квантов, но с небольшим относительным разбросом.Кроме того, и это главное, что отличает обычную гидродинамическуюситуацию от макроскопической квантовой когерентности, усреднение некоторых величин по объёму, размер которого гораздо больше, чем расстояниямежду частицами, должно давать ненулевой результат.
Для того чтобы формализовать эту идею, введём операторы ^† и ^ рождения и уничтожениячастиц аналогично тому, как это делалось для квантов гармонического осциллятора. Детали формализма будут обсуждаться гораздо позже(гл. III.11), но здесь мы будем просто считать, что такие операторы существуют для любой точки r и оператор полного числа частиц внутри Δопределяется интегралом от оператора плотности (сравните с (11.110))^ (r) = ^† (r)^(r),по этому объёму,∫︁^=3 ^ (r).(14.2)(14.3)ΔЕсли состояние |Φ⟩ подобно когерентному состоянию, то должно существовать среднее значение ⟨Φ|^(r)|Φ⟩, как для исходного когерентногосостояния (12.4).
Нас интересует только свойство макроскопической когерентности, когда это среднее значение не исчезает после усреднения по14.2 Макроскопическая волновая функция [1, 2]455элементу объёма. Такую дважды усреднённую величину можно назватьмакроскопической волновой функцией.14.2 Макроскопическая волновая функция [1, 2]Эта функция,1Ψ(R, ) =Δ∫︁3 ⟨Φ|^(r)|Φ⟩,(14.4)Δ (R)зависит от координаты R центра объёма и от времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
