1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Их равновесные положения определяются взаимодействием вихрей. Глядя на формуих полей скоростей, мы видим, что они должны отталкиваться друг отдруга. Таким образом, при большом количестве вихревых линий они сформируют вращающуюся решетку [86] определённой плотности (см. схемурис.
14.4) и реальную фотографию вихревой решетки в ловушке холодныхатомов (рис. 14.5).В непосредственной близости от каждой вихревой линии, r ≈ r0 , полескоростей по-прежнему растёт, как в (14.56). Если период решетки намногобольше, чем радиус ядра вихря , можно предположить, что вихревыелинии очень тонкие и, согласно (14.55), для = 1:curl v =2~ (2) (r − r0 )e() ,(14.63)где мы воспользовались двумерной дельта-функцией. Тем не менее в более крупном масштабе, который больше, чем расстояние между вихрями,среднее поле скоростей решётки (которая вращается как целое) должносоответствовать наиболее энергетически выгодному типу вращения — вращению твердого тела.
Соответствующая средняя скорость должна бытьравнаΩ × r].v(r) = [Ω(14.64)Эту линейную зависимость легко можно понять, если рассмотреть дляпроизвольного вихря на расстоянии от центра число других вихрей рядомс ним, которые поворачивают его влево и вправо, считая постоянной ихравновесную плотность. При таком среднем поле скоростей мы имеемΩ.curl v = 2Ω(14.65)14.7 Квантование магнитного потока и электродинамика Лондона471Для создания такой завихрённости число вихрей на единицу площадидолжно быть =|curl v|=Ω,2~/~(14.66)т.
е. оно растёт линейно со скоростью вращения. Когда вихрей становитсятак много, что их сердцевины начинают перекрываться, сверхтекучестьразрушается.14.7 Квантование магнитного потока и электродинамикаЛондонаВ сверхтекучей системе заряженных частиц (сверхпроводник) вдобавокможно ожидать когерентных магнитных эффектов. По существу, системав целом ведёт себя во многом аналогично одной частице в магнитномполе (глава 13).
Требования калибровочной инвариантности приводят кследующей плотности тока, как в (13.28),j = v =~′∇ − ′ A,′(14.67)где A — вектор-потенциал магнитного поля, а ′ и ′ — масса и зарядносителей тока соответственно, 2 и 2 для электронных пар.Для любого замкнутого контура , полностью расположенного в областидействия уравнения (14.67) для тока, условие периодичности для волновойфункции даёт аналогично (14.53)∮︁∮︁2~′v · l + ′A · l =(14.68)′с целым числом . Как и ранее, для односвязной области = 0. Тогда фаза однозначна и она может быть удалена калибровочным преобразованием(сравните 13.9 и 13.26),A ⇒ A′ = A + ∇ ,′Ψ ⇒ Ψ′ = Ψ( /~) , =−~.′(14.69)472Глава 14 Макроскопическая квантовая когерентностьВ этой калибровке Лондона ток (14.67) сводится к своему второму слагаемому, который является диамагнитным током (13.28),j = − ′A.′ (14.70)Теперь сверхпроводящий электрический ток, j = ′ j , локально связанс векторным потенциалом,j = −ΛA,Λ= ′2.′ (14.71)Это соотношение служит материальным уравнением, характеризующимсверхпроводящую среду, и вместе с уравнениями Максвелла определяет локальную электродинамику Лондона.
В частности, можно сразу предсказатьэффект Мейсснера: статическое магнитное поле выталкивается из объёмасверхпроводника. Статическое поле ℬ = curl A удовлетворяет уравнениюМаксвеллаcurl ℬ =4j .(14.72)Применяя к уравнению (14.72) операцию ротора и принимая во вниманиееще одно уравнение Максвеллаdiv ℬ = 0(14.73)при условии, что и Λ постоянны по всему объему, и используя в правойчасти равенство, которое следует из (14.71),ℬ,curl j = −Λℬ(14.74)получаем уравнение для магнитного поля,∇ 2ℬ =4Λℬ.(14.75)Задача 14.5Рассмотрите плоскую границу массивного сверхпроводника во внешнеммагнитном поле ℬ0 , которое параллельно поверхности. Найти магнитноеполе внутри сверхпроводника.Решение.14.7 Квантование магнитного потока и электродинамика Лондона473Поле экспоненциально спадает вглубь сверхпроводника,ℬ () = ℬ 0 −/ ,(14.76)где лондоновская длина проникновения даётся выражением√︃√︂′ 2=. =4Λ4 ′2(14.77)То же самое экспоненциальное правило проникновения имеем и для тока j.В случае многосвязной области уравнение (14.68) приводит к квантованию так называемого флюксоида,∮︁′ Φ+ ′v · l = Φ′0 ,(14.78)где∮︁∫︁A · l =Φ=ℬ · S(14.79)является магнитным потоком через площадь контура иΦ′0 =2~′(14.80)есть квант потока, который вдвое меньше, чем в уравнении (13.36), если′ = 2.
Измерение этой величины подтверждает, что в сверхпроводникахток переносится парами электронов.Так как магнитное поле и ток существуют только в тонком слое толщиной ∼ вблизи поверхности для контура , который находится полностьюв объёме сверхпроводника далеко от поверхности, ток на контуре пренебрежимо мал.
Тогда квантование флюксоида в (14.78) сводится к квантованиюмагнитного потока Φ = Φ′0 , пронизывающего поверхность контура.Многосвязная геометрия может быть реализована в присутствии отверстия в сверхпроводнике, а также при неполном эффекте Мейсснера.Последнее имеет место в лондоновских сверхпроводниках в достаточносильном магнитном поле. Тогда поле проникает в объём сверхпроводникав виде вихревых линий, несущих квант магнитного потока, и мы имеем туже физику, как для вихрей в сверхтекучей жидкости, с заменой внешнего474Глава 14 Макроскопическая квантовая когерентностьвращения на магнитное поле.
Лондоновская электродинамика с локальнымсоотношением (14.70) применима, когда длина проникновения великапо сравнению с длиной когерентности (размер области корреляции) электронной пары. Например, это имеет место в сверхпроводящих сплавах икерамических сверхпроводниках с высокой температурой перехода в сверхпроводящее состояние. При > становится энергетически выгоднымпроникновение поля и формирование вихревых линий и решётки вихрей,так как это уменьшает работу выталкивания магнитного поля (большаяобласть радиуса ∼ вокруг вихревой линии теперь заполнена магнитнымполем), тогда как энергетическая цена такой перестройки небольшая исвязана она с нарушением сверхпроводящей когерентности в малом объёме внутри вихревой линии (радиуса ∼ < ).
Именно сверхпроводящиесплавы со структурой, закрепляющей положения вихрей, применяются всовременных сверхпроводящих магнитах, например в больших ускорителях(движение вихрей связано с омическими потерями). Обратная ситуация,когда > , имеет место в таких сверхпроводниках, как чистые сверхпроводящие металлы, и соответствует электродинамике Пиппарда со сложным нелокальным соотношением между током и векторным потенциалом.В таком случае образование вихревой нити невыгодно энергетически, и всильном магнитном поле сверхпроводимость разрушается во всём объёме.В заключение сделаем комментарий, который станет более понятнымпозже, после главы 1 из тома IV, введение в релятивистскую квантовую механику, и после обсуждения микроскопической теории сверхпроводимости,глава IV.12.
Существует глубокая аналогия между эффектом Мейсснера,который мы упрощенно описали с помощью уравнения Лондона (14.75),и появлением массы в релятивистских волновых уравнениях. «Масса» ̃︀здесь соответствует щели в энергетическом спектре элементарных возбуждений — конечной энергии, необходимой для извлечения частицы изкогерентного конденсата. Такой√︀энергетический спектр похож на релятивистское выражение () = 2 + ̃︀ 2 2 ; эффективная масса в случаесверхпроводника пропорциональна лондоновской константе Λ и, следовательно, плотности конденсата .
Сам конденсат возникает самосогласованно из-за взаимодействия первичных частиц; это аналогично хиггсовскомумеханизму возникновения массы элементарных частиц в современной теории.Дополнительная литература: [1, 2, 78, 82, 87–89].. . . квазиклассическая физика может бытьзанимательной, равно как и полезной. . .М. Брэк, Р. К. Бхадури, «Квазиклассическаяфизика»Глава 15.
. . квазиклассическая физика не толькополезна, но и занимательна.Д. Пайнс, предисловие к той же книгеКвазиклассическое (ВКБ) приближение15.1 Эвристическое введениеВ предыдущих лекциях мы неоднократно упоминали квазиклассическуюобласть, где квантовые результаты можно интерпретировать в классических терминах, и несколько простых квантовых постулатов, связанныхс волнами де Бройля и квантованием фазового пространства. Такой подходна самом деле является весьма продуктивным и охватывает много важных вопросов. Начиная с квантования Бора-Зоммерфельда, метод получилматематическое обоснование и дальнейшее развитие в работах Вентцеля,Крамерса и Бриллюэна (1926) и был назван позже методом ВКБ; некоторые авторы называют его методом ДВКБ, добавляя имя математикаГарольда Джеффриса, хотя многие математические идеи были выдвинуты ещё раньше Стоксом и другими.
Квазиклассический подход получилновый импульс в последнее время [5, 90].Начнём с эвристического подхода на основе нашего предыдущего опыта иинтуитивных аргументов. Рассмотрим стационарные состояния одномерного движения в потенциальном поле () (рис. 15.1). В областях () и ()характер волновых функций различается. Область между классическимиточками поворота и разрешена в классической механике. Классическийимпульс, соответствующий энергии ,√︀(; ) = 2[ − ()],(15.1)обращается в нуль в точках поворота, () = () = , где частица,двигающаяся в потенциальной яме, отражается. В квантовой механикесуществует конечная вероятность проникновения за точками поворота вподбарьерную область; для конечной ширины барьера туннелирование заего пределы становится возможным. Тем не менее для достаточно широкого476Глава 15 Квазиклассическое (ВКБ) приближениеU(x)EabcxРис.
15.1: Потенциал () с классически разрешёнными и запрещёнными областями и точками поворотабарьера вероятность туннелирования экспоненциально мала (раздел 2.7) ижизнь частицы в основном сосредоточена в классической области (). Дляплавно меняющегося потенциального поля теоремы Эренфеста (раздел 7.6)показывают, что движение волнового пакета в классически разрешённойобласти близко к ньютоновскому. Поэтому естественно ожидать, что длятаких потенциалов можно найти приближение, которое охватывает предельный переход от уравнения Шредингера к классической динамике и вто же время учитывает основные квантовые эффекты.В классическом случае стационарная плотность вероятности () нахождения (в среднем в течение длительного времени) частицы в окрестности вблизи точки пропорциональна (сравните с уравнениями (3.7) и (6.176))времени прохождения отрезка , = () ∝ ,(15.2)и, следовательно, обратно пропорциональна локальной скорости или импульсу,√︂11()2() ∝=, () ==[ − ()].(15.3)(/)()15.1 Эвристическое введение477|ψ|2abxРис.
15.2: Качественное поведение квазиклассической (короткие волны) функции в плавном потенциале с двумя точками поворота, тонкая линияпоказывает 1/()Если решение имеет полуклассический характер, можно предположить,что квантовая плотность вероятности |Ψ()|2 будет близка к () из уравнения (15.3). Поскольку зависимость от времени стационарной волновойфункции экспоненциальная, можно ожидать, что квазиклассическая волновая функция будет иметь видconst (/~)[±()−],Ψ(, ) = √︀()(15.4)где два знака перед неизвестной фазой () соответствуют волнам, распространяющимся в противоположных направлениях оси .Создается впечатление, что как классическая плотность, (), так и еёпредполагаемый квантовый предшественник, Ψ(), будут иметь особенность в точке поворота, где () → 0 и частица движется очень медленно.Однако уравнение Шредингера не имеет особенностей в точках поворота, так что точное квантовое решение не может иметь такое поведение —вспомним, например, задачу об однородном поле и функцию Эйри (раздел 9.9).
Тем не менее уравнение (15.4) может дать разумное∫︀ приближение,так как корневая особенность является интегрируемой ( /( − )1/2сходится в окрестности точки = ) и окрестность точки поворотадаже∫︀в приближении (15.4) не даёт значительный вклад в интеграл |Ψ()|2 .478Глава 15 Квазиклассическое (ВКБ) приближениеПонятие классического импульса может сохранить своё значение в квантовой теории, только если функция () изменяется плавно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
