1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Тогда мыможем определить его в относительно широкой области движения, не прибегая к принудительной сильной локализации частицы (рис. 15.2). Средняя вероятность ||2 ведёт себя похоже на 1/() с максимумами (но неособенностями) вблизи точек поворота. С теми же оговорками можно использовать понятия переменной длиной волны () = ℎ/() и волновогочисла () = ()/~.
Приращение фазы квантовой волны на расстоянии составляет (), в то время как в виде (15.4) это изменение записываетсякак ±/~. Таким образом, фаза квазиклассической волновой функции()/~ должна удовлетворять соотношению ± = ~() = () и,следовательно,∫︁ () = ().(15.5)Мы пришли к выводу, что общее квазиклассическое решение в классическиразрешённой области можно приближённо представить в виде}︁∫︀ 1 {︁ (/~) ∫︀ + −(/~) −(/~) ,Ψ(, ) = √︀()(15.6)где нижние пределы интегралов произвольны, поскольку их вклад всегдаможет быть включен в фазы соответствующих амплитуд. Теперь нашазадача найти, при каких условиях уравнение Шрёдингера допускает такиерешения.Задача 15.1Представление (15.6) порождает точный, но нелинейный подход [91, 92]к решению уравнения Шрёдингера (9.5), который известен как метод фазовых интегралов.
Подразумевается, что решение принимает вид, аналогичный (15.6), но с амплитудами () и (), которые являются неизвестнымифункциями от ,∫︁ }︁1 {︁()−()() = √︀()+ (), () =′ (′ ). (15.7)()0С двумя неизвестными функциями у нас есть свобода наложить ещё одноусловие, которое принимается как выражение для производной,{︁}︁√︀ ′ () = () ()() − ()−() ,(15.8)15.2 Квазиклассическое приближение479и выбрано таким образом, как если бы дифференцировались только фазовые экспоненты в уравнении (15.7).
Покажите, чтоа) функции () и () удовлетворяют связанной системе уравнений,′ () = ()−2() (), ′ () = ()2() (), () = ′ ();2()(15.9)б) в классически разрешённой области > () имеет место сохранениепотока,|()|2 − |()|2 = const;(15.10)в) вся проблема может быть сведена к уравнению Риккати для функцииотражения () = −()/(),′ () = − ()2() + ()−2() 2 ();(15.11)г) определяя фазу отражения () (не обязательно действительную) поформуле() = −−2() ,(15.12)получаем уравнение′ () = () sin{2[() + ()]},(15.13)которое может быть удобно для численного решения.15.2 Квазиклассическое приближениеМы показали в разделе 7.3, что для волновой функции, записанной√в терминах двух действительных функций — амплитуды = и фазы/~, уравнение Шрёдингера эквивалентно системе двух связанных уравнений, одно из которых является уравнением непрерывности, а второепредставляет собой классическое уравнение Гамильтона-Якоби с дополнительным квантовым потенциалом.
Фаза аналогична классическомудействию вдоль траектории (раздел 7.12).480Глава 15 Квазиклассическое (ВКБ) приближениеТеперь повторим то же самое для стационарной функции (r) с энергией. Если(r) = (r)(/~)(r) ,(15.14)то, выделяя действительную и мнимую части в стационарном уравненииШрёдингера, получаем аналогично (7.62)Im :∇ · ∇ ) + ∇2 = 0,2(∇(15.15)Re :[︁]︁~2 ∇2 = (∇)2 − p2 (r) .(15.16)Уравнение (15.15) можно записать в виде∇ (2∇ ) = 0,(15.17)и оно, в силу (7.61), даёт не зависящее от времени уравнение непрерывности∇ j = 0.В одномерном случае ( = (), / ≡ ′ ) это уравнение определяетconst= √ .′(15.18)Предположим теперь, что в (15.16) левая часть (связанная с квантовымпотенциалом из уравнения (7.62)) мала по сравнению с каждым членомв правой части. Так как большие слагаемые должны в сумме сократиться,получаем (в одномерной задаче), игнорируя малую величину ~2 ∇2 ,∫︁ ′22′ = , = ±, = ±() ,(15.19)фаза интегрируется по классическому пути.
Уравнения (15.18) и (15.19)определяют волновую функцию квазиклассического вида (15.6). Такимобразом, данное приближение будет оправдано, если можно пренебречьлевой стороной в уравнении (15.16). Отметим, что без этого члена решение(15.19) выражается через классические величины, что естественно, поскольку формально приближение соответствует предельному переходу ~ → 0.15.2 Квазиклассическое приближение481С фазой , найденной в (15.19), имеем с точностью до несущественнойконстанты1() = √︀,()(15.20)в то время как отброшенный член равен~2 ′′ = ~22 (︁ 1 )︁√ .2(15.21)Эта величина должна быть значительно меньше, чем1~2 12 = 2 √ = 2 √ ,(15.22)где длина волны определяется как = ~/. Пусть — характерный размернеоднородности поля и, следовательно, всех величин, которые определяются полем, таких как () или ().
Это означает, что все производныетаких функций можно оценить по порядку величины как ′ ∼ /. Тогдакритерий малости величины (15.21), по сравнению с (15.22), эквивалентенусловию(︂ )︂2~2=≪ 1.()2(15.23)Мы получили снова условие (7.102) того, что движение, описываемое квантовой теоремой Эренфеста, имеет квазиньютоновский характер. Классическое действие ∼ на длине неоднородности должно быть значительнобольше, чем квант действия ~.Условие, что длина волны мала по сравнению с типичным размером изменения поля, характеризует геометрическую оптику. Плавное изменениедлины волны аналогично подобному изменению показателя преломленияв среде. В местах быстрого изменения показателя преломления происходитзаметное отражение света.
Таким же образом квантовый волновой пакетперемещается с классической скоростью вдоль ньютоновской траектории,если расстояние , на котором длина волны () значительно изменяется,намного больше, чем сама длина волны. Тогда локальная длина волныхорошо определена (рис. 15.2). В противном случае быстрые измененияили разрывы потенциала приводят к отражению волн и их интерференция482Глава 15 Квазиклассическое (ВКБ) приближениес первичной волной вызывает существенные квантовые эффекты.
Условие≪(15.24)характеризует квазиклассическое приближение как область геометрическойоптики для волн де Бройля. Заметим, что отброшенные в решении (15.6)члены имеют малость второго порядка по квазиклассическому параметру/.Требование малости изменении = (/) длины волны () =~/() на расстоянии ∼ можно записать в виде⃒⃒ ⃒⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒⃒ ⃒≪1⃒(15.25)⃒ ⃒⃒ ⃒ ≪ или⃒⃒⃒ ~ ⃒⃒⃒⃒ 2 ⃒ ≪ 1.(15.26)Учитывая определение (15.1), имеем цепочку эквивалентных условий,⃒⃒⃒⃒⃒⃒ ~ ⃒ ~ ⃒ | |1⃒= ⃒⃒⃒(15.27)⃒ 3 ⃒ ⃒ 2( − ) ⃒ = 2| − | ≪ 1,где сила = −/.
Вблизи точек поворота, где → 0, ≈ , движение не квазиклассично. Резкое изменение потенциала, как, например,около непроницаемой стенки, соответствует очень малому или исчезающемузначению , что также нарушает условие квазиклассичности.15.3 Асимптотическое разложениеПри формальном предельном переходе ~ → 0, когда постоянная Планкастремится к нулю, любой потенциал без разрывов (так что ̸= 0) удовлетворяет нашим условиям квазиклассичности, и можно ожидать, что мыпридём к классическим результатам.
Однако переход к классической механике, похожий на переход от волновой оптики к геометрической, довольносвоеобразен. Волновая функция не имеет прямого классического аналога.Она неаналитична, как функция ~ при ~ → 0. Фаза волновой функциидействительно стремится к классическому действию (15.5) при заданнойэнергии, но ≫ ~ и безудержно осциллирует при этом. Поэтому регу-15.3 Асимптотическое разложение483лярный подход к квантовым поправкам заключается в разложении фазыпо степеням ~.Будем искать волновую функцию в виде() = (/~)() ,=+~ln .(15.28)Фаза может быть представлена в виде степенного ряда = 0 + ~1 +~22 + .
. . .2(15.29)Подставим это разложение в уравнении Шрёдингера (9.4) и выделим членыс одинаковыми степенями ~:∫︁ 0′2′+ − = 0, 0 = ±, 0 = ± ;(15.30)20′ 1′0′ 2′1 = ln2− 0′′ = 0,2+12−1′′= 0,(︂0)︂; 2 = 3−2 (15.31)∫︁2 54(︂)︂2.(15.32)Результаты (15.30) и (15.31) совпадают с найденным ранее (15.19), (15.20);1 определяет амплитуду .В поправочном члене 2 (уравнения (15.32)) оба слагаемых одного порядка, и в квазиклассической ситуации (15.23) эта добавка мала: ~2 ≪ 1.Тем не менее ряд (15.29) является асимптотическим. Для любого числа членов этого ряда существует такое малое значение ~, что разница⃒⃒⃒∑︁~ ⃒⃒⃒ ⃒(15.33)Δ (~) = ⃒ −⃒! ⃒=0будет меньше, чем любая малая заданная величина. Но для фиксированногореального значения ~ и достаточно больших разность Δ начинает расти.Если мы находимся в квазиклассической области (15.23), первые членыряда дают хорошее приближение, и ошибка аппроксимации имеет порядокпервого отброшенного члена.484Глава 15 Квазиклассическое (ВКБ) приближение15.4 Стационарная фазаПредполагая, что решения типа (15.6) обеспечивают хорошее приближение, построим волновой пакет из таких решений, имеющих одинаковоенаправление распространения и энергии, сосредоточенные вблизи центроида 0 ,∫︁√︀(/~)[(;)−] .(15.34)Ψ(, ) =(; )∼0Этот пакет обладает почти классическими свойствами.
Действительно,фаза компонентов пакета,(, ; ) = (; ) − ,(15.35)не что иное, как классическое действие для частицы с энергией , так какон удовлетворяет уравнению (7.63),= −,== ±(),(15.36)в то время как дополнительный квантовый потенциал в (7.62) мал в этихусловиях. С такой точностью имеем уравнение Гамильтона — Якоби для фазы (15.35),1−=2(︂)︂2+ ().(15.37)Мы ожидаем, что квазиклассическое приближение будет хорошо работатьв пределе коротких длин волн (высокие энергии). При этом различныекомпоненты пакета (15.34) быстро осциллируют и стремительно меняютсяот одного компонента к другому.
Это приводит, вообще говоря, к сильномусокращению различных вкладов в подынтегральную функцию. Исключительная ситуация соответствует области стационарной фазы, где соседниекомпоненты складываются в фазе. Это происходит, когда=− = 0.(15.38)Уравнение (15.38) определяет движение центра тяжести пакета.Чтобы убедиться, что движение в этом приближении действительно классическое, достаточно явно вывести уравнение движения, которое следует15.5 Условия сшивки485из (15.38):∫︁ √︀′ 2[ − (′ )] === ∫︁ 0 √︂∫︁ ′′==.′2[ − (′ )]00 ( )(15.39)Здесь () — это скорость вдоль классической траектории, и мы выбралиначало отсчёта времени в точке = 0 , так что (15.39) определяет классическую траекторию () с начальным условием (0) = 0 . Квантовыефлуктуации и квантовое расплывание волнового пакета содержатся в болеевысоких членах разложения (15.29).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
