1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 71
Текст из файла (страница 71)
для больших квантовых чисел ≫ 1. Тем не менее,как правило, (15.68) можно экстраполировать до основного состояния492Глава 15 Квазиклассическое (ВКБ) приближениеU(x)EabxРис. 15.5: Проникновение через барьер ∼ 1 для качественных оценок. Полученный результат будет точным длявсех состояний гармонического осциллятора (сравните уравнения (1.17)и (11.15)), а также может дать хорошее приближение для энергетическогоспектра и для других подобных потенциалов.Разница квазиклассического результата (15.67), (15.68), по сравнениюс первоначальным постулатом Бора (1.13), состоит в наличии энергии нулевых колебаний, что даётся дополнительным членом 1/2. У нас есть полноеправо оставить этот член: хотя он мал по сравнению с в типичной квазиклассической области ≫ 1, этот член оставлен корректно, поскольку он,как поправка первого порядка, велик по сравнению с ранее отброшеннымичленами второго порядка (15.21) или (15.29).
Внутри ямы имеем следующееколичество переменных длин волн:12∫︁11 = + .24(15.69)Для основного состояния (если бы квазиклассическое приближение былоприменимо для = 0) мы имели бы внутри ямы не /2, как в случаеглубокой ямы (раздел 3.1), а только /4. Оставшаяся часть от половиныдлины волны приходится на подбарьерные хвосты волновой функции. Темне менее, как и в бесконечной яме, каждое следующее состояние отвечаетдобавке /2. Таким образом, даёт число узлов волновой функции внутриямы, в соответствии с осцилляционной теоремой (раздел 11.1). Площадьфазового пространства между двумя соседними квазиклассическими связанными состояниями составляет 2~ = ℎ (рис. 1.4).
Мы использовалиэто обстоятельство в задаче с магнитным полем (раздел 13.7), где онобыло связано с квантованием магнитного потока, а также при подсчетеплотности уровней в разделах 3.8 и 3.9.Задача 15.4Примените правила сшивки к проблеме проникновения через барьер,(рис. 15.5), и получите коэффициент прохождения (2.59).15.7 Квазиклассические матричные элементы493Стандартное выражение (2.59) справедливо, если точки поворота и находятся далеко друг от друга, так что между этими точками существуетобласть под барьером, достаточно удаленная от и , чтобы можно было использовать∫︀ квазиклассическое приближение для волновой функции. В этомслучае ≫ 1, и коэффициент прохождения мал, ≪ 1.
Если это нетак и ∼ 1, нужны более мощные методы, учитывающие одновременнообе точки поворота, а не каждую из них по отдельности. Такая ситуацияимеет место, например, если энергия близка к вершине барьера, и точки поворота сближаются, ликвидируя квазиклассическую область междуними. Более продвинутая методика будет вкратце рассмотрена, начинаяс раздела 15.8.15.7 Квазиклассические матричные элементыПри ≫ 1 квазиклассические волновые функции быстро осциллируют вклассически разрешённой области (рис. 15.2). Такое поведение позволяетупростить приближённые вычисления физических величин.Сначала нормируем∫︀ волновую функцию связанного состояния, для чего надо вычислить |()|2 . Под барьером волновая функция быстропадает, так как квазиклассическая длина проникновения мала, ∼ 1/ ≈≈ /4 ≪ .
Поэтому сохраним только классически разрешённую область внормировочном интеграле∫︁=[︂(︂∫︁1 √ cos −4)︂]︂2.(15.70)При ≫ 1 квадрат быстро осциллирующего косинуса можно заменитьна его среднее значение 1/2. После этого интеграл легко выразить в терминах классического периода движения или частоты = 2/ для заданнойэнергии:∫︁≈1=22∫︁1=2∫︁() =()1 =.2 22(15.71)Таким образом, нормированную волновую функцию -го связанного состоянию можно приближённо записать в виде√︂(︂∫︁ )︂ √︂22 () =cos −≡cos ().(15.72)4494Глава 15 Квазиклассическое (ВКБ) приближение∫︀Вычисляя интеграл перекрытия , можно увидеть, что различныеквазиклассические функции, ≠ , взаимно ортогональны, если игнорировать экспоненциально малые вклады подбарьерных хвостов и быстроосциллирующие слагаемые.
Рассмотрим более общую величину, а именно^ зависящего от координатыматричный элемент произвольного оператора ,или импульса частицы,∫︁∫︁2 √cos () ^ cos ()*^ = ≈ √ √. (15.73)Здесь мы воспользовались приближённым квазиклассическим выражением^ = (), будем иметь(15.72). Если, например, ∫︁() {︁√ √ =cos[ () − ()]+ (15.74)}︁+ cos[ () + ()] .Если обе фазы велики, как это и предполагается в случае квазиклассической области, второй косинус в (15.74) осциллирует очень быстро, так чтоинтеграл от его произведения на гладкую функцию исчезающе мал, и также, как и раньше, можно пренебречь этим слагаемым.Дальнейший расчёт мы выполним для практически важного случаяблизких уровней, когда ≫ 1, ≫ 1 (квазиклассическая область), ноих разность относительно невелика, | − |/ ≪ 1.
(Более общий случайрассматривается в [94] § 51.) В такой ситуации мы можем положить = во всех гладких множителях ( ≈ = , ≈ = ):∫︁ ≈cos[ () − ()].(15.75)()Разность фаз двух близких состояний,(︂∫︁ )︂∫︁ 1 () − () = () − () ,~(15.76)можно представить как () − () ≈{︂∫︁ ( − ) + }︂∫︁ + ( − ).1~(15.77)15.7 Квазиклассические матричные элементы495Производная в первом члене в фигурных скобках (15.77) равна подынтегральной функции на нижнем пределе, и поэтому исчезает, ( ) = 0, авторое слагаемое может быть выражено по формулам (1.57)–(1.62). Поэтому находим () − () ≈ ( − ) (),(15.78)что выражает разность фаз через разницу во времени движения по двумблизким классическим траекториям.
Это позволяет получить матричныйэлемент (15.75) в форме=∫︁() cos[( − ) ()], ()(15.79)где в нашем приближении интеграл покрывает классическую область движения. Переходя к интегрированию по времени вдоль классической траектории, / = , получаем2=∫︁0 /2(︁ 2( − ) )︁ (()) cos.(15.80)^В квазиклассическом пределе матричный элемент оператора ()между близкими дискретными состояниями, которые отличаются по энергиина ~, становится Фурье-компонентой по частоте величины (()),как функции времени вдоль соответствующей классической траектории(сравните с точным результатом (7.9)).Задача 15.5Покажите, что квазиклассический матричный элемент зависящего от импульса оператора (^) между близкими состояниями представляет собойФурье-компоненту классической функции (()), где () является классическим импульсом на соответствующей траектории.Решение.Замените импульс на дифференциальный оператор (−~/) и используйте тот факт, что при действии этого оператора на квазиклассическуюволновую функцию следует дифференцировать только быстро меняющуюся√фазу, пренебрегая производной гладкой функции 1/ .496Глава 15 Квазиклассическое (ВКБ) приближение15.8 Решения в комплексной плоскости⋆В разделе 15.5 мы сформулировали проблему сшивки квазиклассических решений одномерного уравнения Шрёдингера, найденных по разныестороны точки поворота.
Для изолированной точки поворота проблемабыла решена с помощью продолжения в обоих направлениях точного решения, справедливого около точки поворота. Здесь мы рассмотрим идеюболее общего подхода, который можно будет распространить на проблему с несколькими близкими точками поворота [95]. Подход основан нааналитическом продолжении волновой функции из одной области в другую через комплексную плоскость, при этом избегая опасную область навещественной оси, где квазиклассическое приближение несправедливо.Рассмотрим дифференциальное уравнение ′′ + () = 0(15.81)в комплексной плоскости переменной . Здесь () является аналитическимпродолжением с вещественной оси функции() = 2 () =2[ − ()].~2(15.82)Будем считать, что точка поворота находится в начале координат = 0,т. е. (0) = 0, и что далеко от начала координат для потенциала оправданквазиклассический подход.
Два линейно независимых приближения (15.6)к точному решению заслуживают особых обозначений:(︂ ∫︁ )︂√−1/4 [1 + (~)],(15.83)(0, ) ≡ exp 0−1/4(, 0) ≡ (︂∫︁exp −√)︂ [1 + (~)].(15.84)0В непосредственной близости от изолированной точки поворота, как правило, можно использовать для () разложение (15.44), которое начинаетсяс линейного члена, () ≈ ¯. Для определённости будем считать, что ¯ > 0;это соответствует случаю на рис. 15.3a. Мы уже показали (15.54), что такоеразложение справедливо в области, которая перекрывается с областью действия квазиклассического приближения, если ≫ 1. В такой окрестности15.8 Решения в комплексной плоскости⋆=ψ –=ψ +,ψ,ψ2π–=δzarg497=δzargz=0Рис. 15.6: Пересечение разрезанаши функции принимают форму(0, ) ∝ −1/4 3/23/2(, 0) ∝ −1/4 − ,(15.85)√где новая константа = (2/3) ¯ по-прежнему положительна.
Можно вспомнить, что мы уже встречались с такими выражениями при рассмотрениифункции Эйри в задаче об однородном поле (разделы 9.8 и 9.9).,Из-за дробных степеней точка поворота = 0 является точкой ветвления, и мы должны сделать разрез от этой точки, чтобы выбрать ветвьфункции. Точное решение уравнения Шрёдингера (15.81) не имеет особенности в = 0 — решение представляет собой однозначную аналитическуюфункцию. Особенность появляется только в квазиклассическом представлении решения, которое несправедливо около = 0.
Это определяет правилопересечения разреза: так как аналитическая функция не имеет скачков,это пересечение означает лишь изменение аргумента на 2 (рис. 15.6).Возьмём в качестве разреза луч, нижний берег которого соответствуетarg = , а верхний берег — arg = − 2 (положительным направлениемсчитается направление против часовой стрелки); соответственно, выражения для волновых функций снабдим индексами ±. Возьмём на нижнем (+)берегу, = || exp(), первую функцию (15.85) в качестве нашего решения,[︁]︁(0, )+ ∼ ||−1/4 −/4 exp ||3/2 (3/2) .(15.86)Перемещаясь вокруг точки поворота назад, не выходя из квазиклассическойобласти, будем иметь на верхнем (−) берегу, = || exp( − 2),[︁]︁(0, )− ∼ ||−1/4 −(/4)+/2 exp ||3/2 (3/2)(−2) ,(15.87)или[︁]︁(0, )− ∼ ||−1/4 −/4 exp −||3/2 (3/2) .(15.88)498Глава 15 Квазиклассическое (ВКБ) приближениеС другой стороны, второе решение (15.85) на нижнем берегу разреза имеетвид[︁]︁(, 0)+ ∼ ||−1/4 −/4 exp −||3/2 (3/2) = −(0, )− .(15.89)Таким образом, при пересечении разреза против часовой стрелки формарешения меняется:(, 0) → −(0, ),(15.90)и аналогично(0, ) → −(, 0).(15.91)Двигаясь по часовой стрелке, мы получим результаты (15.90) и (15.91)с заменой (−) → .Рецепты (15.90) и (15.91) показывают, что комплексная плоскость содержит секторы с различным поведением решений в зависимости от фазы∫︁ √() = .(15.92)0Если фаза () действительна, волновая функция ∝ exp() осциллирует.Это аналог классически разрешённой области, где оба решения имеютодин и тот же порядок величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
