1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Если фаза меняется плавно,первое слагаемое в градиентном разложении можно записать в виде∫︁~∇)2 . =3 (R)(∇(14.33)2Формула для плотности тока аналогична уравнению (14.27):j=1 = ∇ .∇)~ (∇(14.34)Сравнивая j = v из (14.34) с (14.14), определяем(R) =~ (R).(14.35)С этой идентификацией энергия взаимодействия (14.33) соседних элементовобъёма сводится к кинетической энергии возникающего тока,∫︁∫︁~232∇) = = (R)(∇3 (R)v2 .(14.36)2214.5 Эффекты ДжозефсонаМакроскопическая квантовая когерентность ярко проявляется при джозефсоновском туннелировании [80].
Эти эффекты возникают при слабомконтакте (рис. 14.1) двух сверхпроводников, разделённых тонким слоемвакуума, изолятора или нормального металла.462Глава 14 Макроскопическая квантовая когерентностьSNSRCV(t)Рис. 14.1: Схема эффекта Джозефсона и эквивалентной электрической цепиКак мы уже упоминали, носителями тока в сверхпроводниках служатпары коррелированных электронов (куперовские пары, 1956 ), ⇒ 2. Слабый контакт играет роль потенциального барьера для этих пар. Еслиширина контакта достаточно мала, меньше, чем длина когерентности пары(раздел IV.12.9), парные электроны могут туннелировать один за другим,сохраняя корреляции.
Туннелирование создаёт электрический ток . Покавеличина тока не превышает своего критического значения , ток остается сверхпроводящим и не требует никакого напряжения на контактедля его поддержания. Критическая величина определяется свойствамибарьера, которые определяют амплитуду туннелирования; → 0, есликонтакт является слишком широким и электроны теряют когерентностьпри туннелировании.Как и в уравнении (14.29), при стационарном эффекте Джозефсона ток < и разность фаз через барьер устанавливается на таком уровне,чтобы было = sin .(14.37)Если ток в цепи превышает , разность восполняется нормальным током.Тогда должно появиться напряжение на контакте для поддержания нормального тока.
Это создаёт разность Δ = 2 химических потенциаловдля пар, и эффект Джозефсона становится нестационарным, поскольку фаза теперь зависит от времени (уравнение (14.13)), причём соответствующая14.5 Эффекты Джозефсона463IIcVРис. 14.2: Стационарный и нестационарный эффект Джозефсона (вольт-ампернаяхарактеристика)частота=2.~(14.38)Действительно, туннелирование пар происходит с уменьшением энергиипары на 2 , которая превращается в квант ~ переменного электромагнитного поля (рис.
14.2). Здесь контакт Джозефсона выступает в ролигенератора микроволнового излучения.Задача 14.2Рассмотрите барьер Джозефсона с фиксированным постоянным напряжением 0 и внешним переменным напряжением ˜ cos(˜ + ).˜ Рассчитатьток через барьер.Решение.Фаза волновой функции находится из уравнения (14.30), а ток из (14.37):{︂}︂∫︁2 ′′˜ = sin [0 + cos(˜ + )]˜ + 0(14.39)~ 0или после интегрирования[︃]︃20 2˜ = sin+sin(˜ + )˜ + 0 .~~˜(14.40)464Глава 14 Макроскопическая квантовая когерентностьЭто выражение можно записать в виде ряда по функциям Бесселя целого индекса,)︃(︃[︂(︂]︂)︂∞∑︁˜202sin(14.41) = (−) − ˜ − ˜ + 0 .~˜~=−∞Здесь используется интегральное представление этих функций Бесселя,∫︁1 () = cos( sin − ).(14.42) 0Иногда уравнение (14.42) берётся в качестве определения функции Бесселя целого порядка; можно показать, что она удовлетворяет уравнениюБесселя (9.76) для целых = . Вычисляя производные по под знакоминтеграла, находим∫︁1 ′≡ () = sin cos( sin − )(14.43) 0и(︁′ ())︁′∫︁1 [− sin2 cos( − sin )+= 0+ sin sin( − sin )].В последнем члене (14.44) интегрируем по частям и получаем∫︁)︁′(︁1 ′ () = (− + cos ) cos( − sin ).
0(14.44)(14.45)Объединяя эти результаты, имеем∫︁(︁)︁′ ′ () + ( 2 − 2 ) () =( cos − ) cos( − sin ). (14.46) 0Интеграл в (14.46) равен − sin( − sin ), что исчезает на границах интегрирования, если число целое. Следовательно, функция (14.42) удовлетворяет уравнению 2 ′′ + ′ + ( 2 − 2 ) = 0,(14.47)14.5 Эффекты Джозефсона465которое есть не что иное, как уравнение Бесселя (9.76). Сравнение первыхчленов разложения в ряд в окрестности точки = 0 показывает, что эторешение уравнения Бесселя совпадает с рядом (9.82), который был нашимпервоначальным определением функции Бесселя.Ток (14.41), ожидаемый в ситуации задачи 14.2, имеет постояннуюкомпоненту(︃)︃˜¯ = (−) sin(0 − ),˜(14.48)0если выполняется условие резонанса20 = ~˜.(14.49)При этом туннелировавшая пара высвобождает (или поглощает) энергию,которая в точности равна той, что необходимо для испускания (или поглощения) квантов микроволнового излучения.
Для данного значения 0существует интервал токов(︃)︃˜Δ¯ = 2 ,(14.50)0где, как и в стационарном эффекте Джозефсона (14.37), 0 не меняется,в то время как фаза 0 подстраивается таким образом, чтобы удовлетворитьусловию (14.48); когда это невозможно, происходит скачок напряжения.Высшие гармоники, ∼ cos(), в энергии взаимодействия (14.28) приведутк дробным резонансам, когда 20 = (/)~. В этом менее вероятномпроцессе туннелируют пар с испусканием квантов.Глядя на уравнение (14.38), мы видим, что измерения напряжения ичастоты, т. е.
полностью макроскопический эксперимент, позволяют найтизначение отношения ~/ фундаментальных констант природы [81]. Точностьрезультатов определяется точностью эталонов Вольта (на самом деле вольтметр измеряет как раз величину Δ, количество работы, необходимое дляперемещения элементарных носителей заряда). Этот метод, наряду с квантовым эффектом Холла (13.88), является одним из лучших доступныхметодов для измерения мировых констант; его преимуществом являетсято, что он не содержит неопределённостей, связанных с теоретическимирасчётами тонких эффектов квантовой электродинамики.Задача 14.3466Глава 14 Макроскопическая квантовая когерентностьCРис.
14.3: Исключённая область и квантование циркуляцииПоказать, что напряжение на контакте Джозефсона с нормальным сопротивлением при фиксированном токе > (рис. 14.1) имеет вид () = 2 − 2, + cos()(14.51)где=2 √︀ 2 − 2 .~(14.52)Среднее за период колебаний значения напряжения (14.51) вновь согласуется с (14.38), ¯ = ~/2.14.6 Квантование циркуляции и квантовые вихриМакроскопические квантовые эффекты чувствительны к топологиидоступного пространства. Пусть область, где скорость сверхтекучего движения описывается как градиент потенциала (уравнение (14.14)), являетсямногосвязной, т. е. существует контур , который не может быть сжатв точку непрерывной деформацией целиком внутри сверхтекучей области.
Связность может быть нарушена присутствием вихрей, curl v ̸= 0,или закрытой непроницаемой границей (рис. 14.3). В этом случае фаза перестает быть однозначной функцией координат R. В соответствиис периодичностью волновой функции мы по-прежнему требуем, чтобыизменение Δ фазы после полного обхода контура было кратно 2,∮︁∇ · l) = 2, = целое число.Δ = (∇(14.53)14.6 Квантование циркуляции и квантовые вихри467Так как контур находится полностью внутри сверхтекучей области, гдесправедливо уравнение (14.14), мы приходим к квантованию циркуляциисверхтекучей скорости,∮︁2~Γ ≡ (v · l) = ≡ Γ0 .(14.54)В односвязной области контур можно непрерывно сжать в точку.
Таккак дискретное квантовое число не может непрерывно меняться, оноостается постоянным, и, следовательно, если нет никакой сингулярности,единственно возможным является значение = 0. В противоположностьэтому, если контур окружает отверстие или область, где нарушаетсябезвихревой характер движения, условие (14.54) показывает, что потокcurl v через поверхность, опирающуюся на контур, квантуется,∫︁2~S · curl v =.(14.55)В частности, curl v может быть сконцентрирован в тонких вихревых линиях, каждая из которых несёт целое число квантов потока [82].Задача 14.4Рассмотрим изолированную вихревую линию, несущую квантов циркуляции и расположенную вдоль центральной оси кругового цилиндра.Пренебрегая малым радиусом линии, показать, что фаза макроскопическойволновой функции вокруг линии пропорциональна азимутальному углу с целочисленным коэффициентом пропорциональности: = , в то времякак поле скоростей имеет вид = () =~.(14.56)Благодаря осевой симметрии движения, компонента полного орбитального момента импульса жидкости вдоль оси цилиндра сохраняется.Для состояния с квантами циркуляции орбитальный момент в расчётена одну частицу естьℓ == () = ~.(14.57)Для возбуждения вихревой линии в сверхтекучей жидкости можно вращать контейнер.
Можно оценить критическую угловую скорость Ω , при468Глава 14 Макроскопическая квантовая когерентностьΩTop viewSide viewРис. 14.4: Вращение вихревой решетки [84]которой становится энергетически выгодным создание первого вихря, какэто было обнаружено в экспериментах со сверхтекучим гелием-4 [83]. Рав˜новесие вращающейся жидкости соответствует минимальной энергии во вращающейся системе отсчёта [13]; эту величину иногда называютфункцией Рауса,̃︀ Ω) = (0) + − (Ω̃ · L),(Ω(14.58)где L — вектор углового момента. В цилиндрической геометрии сосуда,вращающегося вокруг оси симметрии, Ω = Ω и = . При критическойугловой скорости, Ω = Ω , состояние с вихревой линией в центре становится̃︀ ) (рис.
14.4). При этом мы получаем увеличениеосновным с энергией (Ωкинетической энергии жидкости , которая даётся выражением (14.36) сквантованным полем скоростей (14.56), =2∫︁3 (︂~)︂2.(14.59)14.6 Квантование циркуляции и квантовые вихри469Рис. 14.5: Вихревая решётка во вращающемся бозе-конденсате атомов рубидия [85]Здесь интеграл берётся по объёму вращающегося цилиндра.
Если высотацилиндра , а радиус , получаем~2 2 = ∫︁0.(14.60)Радиальный интеграл расходится на нижнем пределе. Физически нижнийпредел соответствует естественному радиусу ядра вихря . Внутри ядрасверхтекучесть разрушена и радиус этой области с нормальной жидкостьюопределяется взаимодействием между частицами (уравнение (14.1)). Этотрадиус порядка атомных размеров. Точное значение радиуса несущественноиз-за слабой логарифмической зависимости энергии от него: = ~2 2ln .(14.61)Как всегда с гидродинамическими вихрями, эта энергия пропорциональнадлине вихревой линии. Энергия растёт пропорционально квадрату, 2 ,квантового числа циркуляции.
Поэтому первый вихрь будет иметь единичную циркуляцию, = 1. Вихрь, как следует из (14.58), при увеличениискорости вращения возникает, когда Ω = . Но полный угловой моментединичного вихря — ~, где = 2 есть число атомов в сверхтекучейжидкости. Это определяет критическую скоростьΩ = ( = 1)~=ln .~2(14.62)За исключением логарифмического множителя, эту оценку можно было бы получить с помощью простых рассуждений в духе соотношениянеопределённости.Если скорость вращения очень медленно, адиабатически, увеличивается,безвихревое состояние остаётся основным состоянием из-за сохранениямомента импульса.
Для создания вихря нужно возмущение, которое портит470Глава 14 Макроскопическая квантовая когерентностьвращательную симметрию и меняет момент импульса жидкости. На практике это может произойти из-за любой малой неоднородности (царапины)на боковой стороне цилиндра. Тогда вихрь рождается около поверхности изатем переносится полем скоростей в центр. При дальнейшем увеличенииугловой скорости рождаются новые вихри, каждый с одним квантом циркуляции и полем скоростей (14.56) вокруг соответствующих осей, что можноувидеть экспериментально, поскольку концы вихревых линий выходятна поверхность жидкости и могут быть сфотографированы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
