1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Среднее по объёмустремится к нулю для нормальной системы, как только размер объёма превышает межчастичное расстояние. Ненулевое среднее значение выживает,если система является сверхтекучей (сверхпроводящей), когда квантовыекорреляции внутри объёма синхронизируют движения отдельных частиц.Как вводилось выше, вектор состояния является суперпозицией∑︁|Φ⟩ = | ⟩(14.5)состояний с определённым числом частиц. Поскольку оператор аннигиляции переводит в − 1, среднее значение (14.4) есть∫︁∑︁1*Ψ(R, ) = −1 3 ⟨ − 1|^(r)| ⟩.(14.6)Δ Δ (R)Внутренняя когерентность может существовать, если фазы амплитуд не являются случайными.
Потребуем фазовую синхронизацию, =√ ,(14.7)как в обычном когерентном состоянии (раздел 12.1). Здесь весовые множители имеют заметную величину только внутри типичного флуктуаци¯ и их значения почти не меняются в пределахонного интервала Δ ≪ этого интервала. В таком случаеΨ(R, ) = ⟨^⟩ ,(14.8)где матричный элемент ⟨ − 1|^(r)| ⟩ дополнительно усредняется по вол√новому пакету с вероятностями −1 ≈ и по положениям радиусвектора r внутри Δ .456Глава 14 Макроскопическая квантовая когерентностьСогласно определениям (14.2) и (14.3) максимально возможное значение√⟨^(r)⟩, равное = ( /Δ )1/2 , может быть достигнуто в пространственнооднородном случае, когда все частицы находятся в одном квантовом состоянии (конденсат Бозе — Эйнштейна).
В нормальной (несверхтекучей)системе усредненный матричный элемент мал, но в сверхтекучих системах,таких как жидкий гелий-4, дальний порядок приводит к⟨^(r)⟩ ∼√ , =,Δ(14.9)где является сверхтекучей плотностью [1] и есть макроскопическоечисло того же порядка, что и общее среднее число частиц . На самомделе, это может служить определением недиагонального дальнего порядка.Аналогичная ситуация имеет место в сверхпроводниках, где роль частициграют коррелированные электронные пары (гл. III.16). Вводя сверхтекучую плотность, запишем макроскопическую волновую функцию (14.6) ввиде, подобном гидродинамической форме (7.60) одночастичного уравненияШредингера,√︀Ψ(R, ) = (R, ) (R,) ,(14.10)т.
е. в терминах двух вещественных функций, плотности (R, ) и фазы(R, ).14.3 Гидродинамическое описаниеСитуация со многими частицами и плавно меняющимися макроскопическими свойствами является квазиклассической. Мы можем применитьквазиклассическую динамику (12.62)–(12.64), сформулированную исключительно в терминах числа частиц и фазы волновой функции. Если = ⟨⟩ —средняя энергия элемента объёма, то её изменение после добавления дополнительной частицы есть химический потенциал,= .(14.11)Динамические уравнения для когерентного состояния были выведены в задаче 12.9 без прямой ссылки на конкретный вид гамильтониана.
Поэтомуфаза (R, ) меняется во времени в соответствии с~ ˙ = −= −.(14.12)14.3 Гидродинамическое описание457Это рассмотрение можно также распространить на случай теплового равновесия с ненулевой температурой, когда / должно быть измененона / , где — свободная энергия; при этом фаза макроскопическойволновой функции становится термодинамической переменной.Полному равновесию соответствует = const, когда фаза не зависитот координаты и волновая функция (14.10) гармонически осциллируетво всём пространстве с частотой /~. Это справедливо даже в присутствиивнешних полей, когда обе величины и содержат дополнительные вклады, но равновесие по-прежнему соответствует постоянному химическомупотенциалу. Распространяя рассмотрение на случай локального равновесия, когда макроскопические величины плавно меняются в пространстве ивремени и = (R, ), получим из уравнения (14.12)~∇∇∇ ≡ f ,= −∇(14.13)градиент химического потенциала определяет переменную силу f , действующую на частицу.
Сила обращается в нуль в условиях равновесия.Теперь фаза макроскопической волновой функции становится механической переменной. Наличие силы должно привести к изменению p /среднего локального импульса сверхтекучего движения, приходящегосяна одну частицу, p = v . Это приводит к идентификации сверхтекучейскорости v с градиентом фазы,v =~∇ .(14.14)Как мы помним из раздела 7.3, это согласуется с микроскопическим определением квантовой плотности тока. Обобщая это определение на макроскопическую волновую функцию (14.10), можем написать=)︁~ (︁ *~∇Ψ* = ∇ = v .Ψ ∇ Ψ − Ψ∇2(14.15)Здесь мы говорим только о сверхтекучем движении, которое может бытьописано фазовой динамикой (14.13) без элементарных возбуждений.
Такиевозбуждения заимствовали бы энергию из сверхтекучего потока, что привело бы к трению и диссипации. Если это нормальное движение присутствуетнаряду с сверхтекучим, нужно добавить соответствующий нормальныйток.458Глава 14 Макроскопическая квантовая когерентностьУравнение (14.14) можно применять, когда сверхтекучее движение является поступательным, по крайней мере локально. Если элемент объёмадвижется как целое с полным импульсом P = p, микроскопическая волновая функция∑︀ Ψ0 (r1 , ..., r ) принимает вид Ψ = Ψ0 exp[(/~)(P · R)], гдеR = (1/ ) =1 r — радиус-вектор центра масс.
В этом∑︀ случае изменениеполной микроскопической фазы есть = (v /~) · r , т. е. для всехчастиц , /r = v /~ в согласии с (14.14). Эти аргументы несправедливы, если движение имеет вихревой характер. Но тогда уравнение(14.14) в любом случае неверно, поскольку оно предсказывает безвихревоедвижение,curl v = 0.(14.16)Возможна более общая формулировка квантовой гидродинамики [1], в которой операторы разных компонент вектора скорости v(R) не коммутируют.Присутствие curl v работает подобно магнитному полю (см. (13.20)).Задача 14.1а) Определим микроскопические операторы плотности и тока для системымногих тождественных частиц как∑︁^ (R) =(^r − R)(14.17)и∑︁^j(R) = 1[^p , (^r − R)]+2 (14.18)соответственно (уравнение (14.18) содержит антикоммутатор (6.68), необходимый, чтобы сделать ток эрмитовым).
Тривиальным образом операторы плотности (14.17) для различных точек коммутируют. Выведитекоммутационные соотношения∇R (R − R′ ).[^j(R), ^ (R′ )] = −~^(R)∇(14.19)б) Микроскопическое поле скоростей может быть определено следующимобразом (в точках, где плотность отлична от нуля):^ (R) =v]︁1 [︁ 1, ^j(R) .2 ^ (R)+(14.20)14.4 Динамика макроскопического когерентного состояния459Выведите коммутационные соотношения[^v(R), ^ (R′ )] = −~∇ R (R − R′ ),[^ (R), ^ (R′ )] = −~1^ (R)) (R − R′ ).(curl v^ (R)(14.21)(14.22)Обратите внимание на следствие уравнения (14.21): оператор плотностикоммутирует с ротором скорости,^ (R′ )] = 0.[^(R), curl v(14.23)^ ≡ 0,Отсюда следует, что существует класс безвихревых состояний, где curl vкомпоненты скорости коммутируют, уравнение (14.14) определяет операторфазы ^ (с точностью до аддитивной константы) и потенциал скоростей^ = (~/)^ и плотность являются канонически сопряженными величинами,^[(R),^ (R′ )] = −~(R − R′ ),^^ (R) = ∇ (R).v(14.24)14.4 Динамика макроскопического когерентного состоянияВеличина сверхтекучей скорости или плотности тока определяется каноническим уравнением (12.63), которое показывает изменение во временисреднего числа частиц в элементе объёма,~=.(14.25)В равновесии фаза является постоянной величиной, и энергия не зависитот её конкретного значения.
Тогда ток отсутствует.Рассмотрим два элемента объёма Δ1 и Δ2 в когерентных состоянияхс различными фазами 1 и 2 . Если элементы объёма взаимодействуют(имеют общую границу или расположены достаточно близко, так что ихмикроскопические волновые функции перекрываются), полная энергиязависит от разности фаз = 1 − 2 . Эта энергия может быть записанав виде = 1 + 2 + (),(14.26)460Глава 14 Макроскопическая квантовая когерентностьгде () описывает взаимодействие элементов.
Уравнение (14.25) показывает, что возникает поток частиц между этими элементами объёма,1 ˙ 1 = −˙ 2 =.~ (14.27)Функция взаимодействия () не является универсальной и не может бытьнайдена только из общих соображений. Ясно только, что это периодическаяфункция .
Если отсутствуют внешние поля, которые могли бы создатьпреимущественное направление потока, то () = (−) и эта чётнаяфункция может быть представлена рядом Фурье, который будет содержатьтолько косинусы cos (). -ый член этого ряда происходитот оператора,∑︀который, действуя на когерентный волновой пакет | ⟩ с коэффициентами (14.7), умножает все компоненты на exp(±) = exp[±(1 − 2 )].Как видно из структуры когерентных состояний, этот член описываетперенос ± частиц из Δ2 в Δ1 . Если ограничиться элементарнымипроцессами, когда границу раздела переходят отдельные частицы (в сверхпроводниках — отдельные коррелированные пары), можно предположить,что () = −~ cos ,(14.28)где константа > 0, так как в равновесии, = 0, энергия должна бытьминимальной.В приближении (14.28) скорость обмена частицами равна˙ 1 = −˙ 2 = sin .(14.29)Таким образом, величина , являясь матричным элементом переноса частиц, определяет максимально возможный ток ˙ 1 .
Ещё бóльшая величинатока может быть достигнута только с помощью нормальной (несверхтекучей) компоненты. Согласно формулам (14.29) и (14.12) сверхтекучий токподдерживается перепадом Δ химического потенциала,(︂∫︁ )︂′ Δ˙˙1 = −2 = sin+ 0 ,(14.30)~0где 0 является начальной разностью фаз. Полную волновую функциюдвух контактирующих когерентных элементов объёма можно записать14.5 Эффекты Джозефсона461в видеΨ(R) =√︀√︀1 (R) 1 + 2 (R) 2 ,(14.31)где плотности 1 (R) и 2 (R) падают за пределами своих объёмов и слабоперекрываются хвостами. Тогда квантовый ток через контакт [79] такойже, как найденный в задаче 7.5,(︂)︂~ √1j=1 2 ∇ lnsin ;(14.32)22амплитуда тока здесь определяется степенью перекрытия плотностей.Переходя от дискретных элементов объёма к непрерывной среде, вместо = 1 − 2 будем иметь дело с ∇ . При этом энергия взаимодействия является функционалом этого градиента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
