1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Каквсегда, квантовая формулировка является более общей, чем классическая,и поэтому не может быть выведена из последней; рецепт квантованиядолжен быть проверен экспериментом.426Глава 13 Включение магнитного поляТаким образом, мы начинаем с квантового гамильтониана частицы в произвольном электромагнитном поле,(︁^ =)︁2^ − (/)A(^r)p2+ (^r).(13.16)Эту процедуру неформально можно назвать «удлинением» импульса,^⇒p^−p ^A.(13.17)Этот же принцип минимальности включения электромагнитного взаимодействия будет применяться и к системам многих частиц; в присутствииэлектромагнитного поля каждый оператор импульса в гамильтониане должен быть изменён в соответствии с (13.17) путём добавления локальноговекторного потенциала.
Тогда уравнения движения для операторов Гейзенберга могут быть получены в обычном порядке,(︁1 ^ )︁^ = 1 p^r ≡ v^ = [^r, ]^− A,~(13.18)в соответствии с классическим определением (13.3). Поскольку канониче^ не коммутирует с координатами в аргументеский оператор импульса pвекторного потенциала, компоненты оператора скорости (13.18) не коммутируют между собой,)︁ (︁[^ , ^ ] = − 2 [^ , ^ ] + [^ , ^ ] .(13.19) Этот коммутатор прямо пропорционален магнитному полю,(︂)︂~ ~[^ , ^ ] = 2−= 2 ℬ .
(13.20)Две компоненты скорости, поперечные по отношению к направлению магнитного поля, не могут иметь одновременно определенные значения. Этоследствие циклотронного движения частицы вокруг поля, которое изменяет характер траекторий в фазовом пространстве.Калибровочная инвариантность в квантовой физике оказывается дажеболее важным элементом, чем в классической. В релятивистской теорииэтот принцип на самом деле определяет весь характер электромагнитныхи других взаимодействий, осуществляемых путём обмена векторными про-13.2 Квантовая формулировка и калибровочная инвариантность427межуточными частицами [31].
В нерелятивистской теории это один изруководящих принципов. Однако по сравнению с (13.9) и (13.10) ситуация становится более сложной. Полная инвариантность имеет место, еслиуравнение Шредингера,~Ψ1 (︁ ^ )︁2^− A=pΨ + Ψ,2(13.21)инвариантно относительно преобразования потенциалов (13.9). Но этоневозможно, если мы не изменим вместе с тем и волновую функцию Ψ ⇒ Ψ′ .Новое уравнение имеет вид~)︁2(︁Ψ′1 (︁^ )︁^− A− ∇ Ψ′ + − ˙ Ψ′ .=p2(13.22)Легко видеть, что уравнение (13.22) эквивалентно предыдущему (13.21),если волновая функция приобретает дополнительную нетривиальную фазу,Ψ′ = Ψ exp().
Тогда(︁)︁{︁(︁^ ^ )︁ }︁ ^− A^− Ap− ∇ Ψ′ =pΨ − (∇ )Ψ − ~(∇)Ψ ,(13.23)так что при выборе=~(13.24)дополнительные слагаемые сокращаются и мы приходим к результату,эквивалентному удлинению импульса,(︁ ^ ′ )︁ ′ {︁(︁ ^ )︁ }︁ ^− A^− ApΨ =pΨ .(13.25)То же самое происходит и при повторном использовании удлинения импульса.
С выбором (13.24) дополнительные члены в части уравнения со скалярным потенциалом также сокращаются. Тогда мы можем сократить exp()везде и приходим к такому же уравнению, как и до калибровочного преобразования. Мы пришли к выводу, что калибровочное преобразование (13.9)работает и в квантовой теории, если его дополнить преобразованием волновой функции с фазой, пропорциональной калибровочной функции ,Ψ ⇒ Ψ′ = Ψ(/~) .(13.26)428Глава 13 Включение магнитного поляТаким образом, калибровочное преобразование превращается в унитарноепреобразование квантовых состояний, которое изменяет локально фазыволновых функций в соответствии с измененным определением внешнихпотенциалов.Современная релятивистская квантовая теории поля на самом деле следует обратному направлению аргументации: инвариантность по отношениюк локальным фазовым преобразованиям требует введения векторных калибровочных полей через переопределение кинетических членов (13.17).Как мы увидим позже, калибровочная инвариантность векторного поляимеет место, только если кванты поля безмассовые, как в случае фотонов.Задача 13.2Найдите выражение для тока вероятности в присутствии внешнего электромагнитного поля и проверьте калибровочную инвариантность уравнениянепрерывности.Решение.Стандартные выкладки приводят кj = j0 + j ,(13.27)где j0 — это старое выражение (7.55) для тока в потенциальном поле, в товремя как новое слагаемое, диамагнитный ток j , содержит произведениевекторного потенциала и плотности вероятности = |Ψ|2 нахождениячастицы в данной точке,j (r) = −|Ψ(r)|2 A(r).(13.28)Используя представление (7.61) для тока j0 через фазу волновой функции,мы видим, что как , так и j инвариантны относительно калибровочныхпреобразований, поскольку изменение диамагнитного тока компенсируетсяизменением j0 из-за изменения фазы (13.26).Заметим, что поле скоростей, определенное как j/, больше не являетсябезвихревым; его ротор пропорционален магнитному полю,curlj=−curl A = −ℬ.(13.29)13.3 Наблюдаемы ли электромагнитные потенциалы?429Теорема Стокса даёт циркуляцию поля скоростей по замкнутому контуру,охватывающему силовые линии магнитного поля,∮︁∮︁∫︁ = l · v = −A · l = −curl A · S =∫︁(13.30)eΦℬ · dS = −,=−mcгде Φ — это магнитный поток через поверхность, натянутую на контур.
Этотрезультат также калибровочно-инвариантен, так как градиент однозначнойкалибровочной функции не даёт вклада в контурный интеграл (13.30).13.3 Наблюдаемы ли электромагнитные потенциалы?Мы уже видели в разделе 5.2 на примере электростатической задачи, чтоэлектромагнитные потенциалы играют в квантовой теории роль, отличную по сравнению с их классическими аналогами. Наблюдаемые эффектыпотенциалов необходимы для того, чтобы результаты были совместимы ссоотношениями неопределённостей (задача 5.2).
Эти эффекты проявляютсячерез изменение фазы волновой функции, что демонстрирует неклассический характер явления.Эффекты векторного потенциала можно наблюдать через квантовуюинтерференцию в ситуации, когда изменения фазы волновой функции отличаются для различных частей волнового пакета. Одним из наиболее яркихпроявлений этого рода является эффект Ааронова-Бома [64] (на самом делепредвиденный ещё раньше [65]), который вызвал поток противоречивыхпубликаций, но был полностью подтверждён экспериментом (см. обзорнуюкнигу [66]).Изменим стандартный эксперимент с двумя щелями, вставляя в областьразделённых пучков длинный, перпендикулярный к плоскости рисункасоленоид (рис.
13.1). Магнитное поле полностью заключено внутри соленоида и несёт полный магнитный поток Φ. Снаружи соленоида, в областидоступной для частиц, поле равно нулю. Все классические магнитные эффекты полностью исключены, так как для частицы вероятность попастьв область с ненулевым магнитным полем равна нулю. Однако внутреннее магнитное поле создаёт векторный потенциал A снаружи, даже еслитам ℬ = curl A = 0.
Для любого замкнутого пути, один раз обходящего430Глава 13 Включение магнитного поляBabscreenРис. 13.1: Схематическая иллюстрация эффекта Ааронова-Бома: рассеяние внесоленоида с магнитным полемсоленоид,∮︁A · l = Φ.(13.31)Так как во внешней области векторный потенциал A является безвихревым,мы можем попытаться представить A как градиент магнитного скалярногопотенциала ,A = −∇.(13.32)Теперь мы можем устранить векторный потенциал (13.32) преобразованием(13.9) с = . Однако при этом появляется дополнительная фаза волновойфункции (13.26). По любому пути приращение фазы волновой функцииравно∫︁Δ =∇ · l =~∫︁∇ · l = −~∫︁A · l.(13.33)Это приращение не зависит от выбора пути между точками и , посколькупуть не проходит через соленоид с полем внутри.
Сравнивая разности фаз13.4 Уровни Ландау: энергетический спектрволн, проходящих через верхнюю и нижнюю щели, мы находим(︂∫︁)︂∫︁∮︁ΦA · l − A · l =A(2+1) · l =Δ = −.~~~12431(13.34)Эта разность фаз приводит к наблюдаемому сдвигу интерференционнойкартины, и величина этого сдвига определяется магнитным потоком через соленоид. Это происходит несмотря на то, что частицы не попадаютв область магнитного поля.На самом деле мы не устранили векторный потенциал полностью.
Магнитный потенциал, который мы ввели в (13.32), в отличие от калибровочнойфункции, не есть однозначная функция, ее прирост подсчитывает, сколькораз наш контур наматывается вокруг соленоида. Математически мы должны говорить об изменении топологии, так как теперь волновые функцииопределены в двусвязной области вне соленоида.
Калибровочная инвариантность по отношению к любой однозначной функции все ещё выполняется,так как такая функция даст исчезающий фазовый сдвиг (13.34). Следуетотметить, что даже в случае соленоида с полем внутри сдвиг интерференционных полос может исчезнуть, если магнитный поток принимает такоезначение, что Δ кратно 2. Это соответствует магнитному потокуΦ = Φ0 ,(13.35)содержащему в точности целое число квантов магнитного потокаΦ0 =2~ℎ== 4.14 · 10−7 Гс · см2 = 4.14 · 10−15 Вб(13.36)[Вебер] = [Тесла×метр2 ]. Таким образом, мы видим, что в квантовой механике наблюдаемы эффекты электромагнитных потенциалов, а не толькополей, но лишь через калибровочно-инвариантные характеристики, такиекак фазовые интегралы.13.4 Уровни Ландау: энергетический спектрКвантовомеханическая задача движения заряженной частицы в статическом однородном магнитном поле, впервые решённая Л. Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
