1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(), =( − ¯).(13.71)~Для функции (13.71) собственное значение энергии равно(︂)︂(︂ )︂122 ℰ 2(, , ) = ~ ++− ℰ0 −.222ℬ(13.72)13.6 Квантовый эффект Холла439yzBzxVHb––––––––––––––++++++++++++++laVРис. 13.4: Геометрия эффекта ХоллаВ отличие от случая чистого магнитного поля, ℰ = 0, здесь нет вырождения по . Действительно, это число определяет -координату центраорбит (13.67) и различные значения 0 дают разные величины электростатической энергии в электрическом поле. Как видно из уравнения (13.71),типичный размер квантовых флуктуаций вокруг√︀ классической орбитырадиуса 0 задаётся условием ∼ 1, т. е.
Δ ∼ ~/ℬ, что может бытьподавлено увеличением магнитного поля.Наше нерелятивистское рассмотрение справедливо, только если ℰ ≪ ℬ.13.6 Квантовый эффект ХоллаКогда в проводниках или полупроводниках с подвижными носителямизаряда магнитное поле искривляет траекторию носителей, линейный токприобретает поперечную компоненту, которая не может, однако, пересечьграницу образца.
Это приводит к накоплению заряда на границе, покавозникающее дополнительное напряжение (напряжение Холла ) неостановит поперечный ток.Обычный закон Ома, т. е. пропорциональность плотности постоянногоℰ , где есть проводимостьтока приложенному электрическому полю, = ℰобразца, модифицируется в присутствии магнитного поля ℬ . Для среды,которая была бы изотропной без магнитного поля, полярный вектор токаможет быть сконструирован с использованием полярного вектора ℰ иаксиального вектора ℬ следующим образом:ℰ + [ℰℰ × ℬ ], = ℰ(13.73)440Глава 13 Включение магнитного полягде появляется другая феноменологическая константа, , связанная смагнето-сопротивлением.
Магнитное поле привносит эффективную анизотропию — электрическое поле с помощью силы Лоренца и результирующегоискривления траектории частиц индуцирует ток в перпендикулярном направлении.Задача 13.5Вычислить параметры и в классической модели, где величинастационарного тока определяется силой трения (столкновениями в среде),пропорциональной скорости частицы.Решение.Уравнение движения заряда с массой имеет видev̇ + v = ℰ + [v × ℬ ],c(13.74)где = / есть коэффициент трения, а — среднее время свободногопробега (обратная частота столкновений). Составляющая тока вдоль магнитного поля = , где — концентрация носителей, не зависит отмагнитного поля, = ℰ , =2 ≡ 0 .(13.75)Для «вращательных» компонент векторов в -плоскости, + = + (см.
(11.94)), находим с помощью циклотронной частоты = ℬ/+ = + =02ℰ+ =ℰ+ . − 1 − (13.76)Разделяя - и -компоненты, получаем двумерный тензор поперечнойпроводимости(︂)︂(︂)︂0 1 − =.(13.77) 11 + ( )2Симметрия этого тензора как функции магнитного поля, (ℬ) = (−ℬ),связана с тем, что при обращении времени магнитное поле меняет знак, акинетические коэффициенты симметричны (принцип Онзагера [68]). Определение (13.73) даёт=0,1 + ( )2 = −0 .21 + ( ) ℬ(13.78)13.6 Квантовый эффект Холла441В практической схеме, когда проводник есть часть электрического контура и постоянный ток течёт вдоль оси , = 0ℰ = −ℰ = − ℰ .(13.79)Это компенсирующее поле Холла, перпендикулярное к ведущему полюℰ и магнитному полю, связано с зарядами, накопленными на -границеобразца вследствие искривляющего действия магнитного поля (рис. 13.4).В этих условиях основной ток может быть записан в пропорциональнойполю Холла форме(︂)︂−ℰ00 =− ℰ = −ℰ .(13.80)1 + ( )2 Эффект Холла количественно обычно выражается в терминах постояннойХолла , которая появляется из определений 0 (см.
(13.75)) и , = ℰℰ≡.ℬ ℬ(13.81)Эффективная скорость переноса в -направлении есть классическая скорость дрейфа, =ℰ= ,ℬ(13.82)какой она была бы [12] в скрещенных электрическом, ℰ , и магнитном,ℬ , полях. Прямое измерение постоянной Холла = ℰ /(ℬ ) позволяетопределить концентрацию носителей заряда и их знак (электроны илидырки). Так как нормальная проводимость 0 может быть измерена независимо, знание концентрации также предоставляет информацию о /,где может быть эффективной массой.
Конечно, эта модель, в которойвсе электроны имеют одинаковую скорость, эффективную массу и частотустолкновений, является сильно упрощенной.Новые квантовые эффекты были обнаружены при очень низких температурах, ∼ 1∘ K, и в сильных магнитных полях, ℬ ∼ 10 Тл. В таких условияхкванты циклотронной частоты имеют энергию порядка ~ ∼ 10−3 эВ ≫ ,так что тепловое движение не размазывает дискретную структуру уровнейЛандау. Квантовый эффект Холла можно наблюдать в так называемоминверсном слое на границе раздела двух полупроводников, таких как GaAs442Глава 13 Включение магнитного поляR=V/In/e2RH3210012nhc/eB3Рис.
13.5: Пример наблюдения квантового эффекта Холла [69]и Al Ga1− As, где можно достичь высокой чистоты и низкой частотыстолкновений, ≫ 1.В терминах геометрических характеристик (рис. 13.4)=, = , = , = ℰ ,(13.83)где — площадь поверхности образца, перпендикулярная магнитномуполю, ток Холла равен= . ℬ(13.84)Проводимость Холла является величиной, обратной сопротивлению,= =.ℬ(13.85)Экспериментаторы обычно приводят график зависимости ℎ/2 , где ℎ —постоянная Планка от величины= ℎ.ℬ(13.86)В соответствии с формулой (13.85) ожидается, что эти величины должныбыть равны друг другу.
Вместо этого наблюдаются ступеньки (рис. 13.5)при целых значениях параметра — целочисленный квантовый эффектХолла [70].13.7 Произвольный закон дисперсии443Целочисленные значения соответствуют точному заполнению уровней Ландау. Действительно, из (13.62) следует, что=.⊥ (ℬ)(13.87)При таких значениях магнитного поля проводимость (13.85) квантуется вединицах 2 /ℎ, согласно=2,ℎ(13.88)независимо от геометрии. Этот метод обеспечивает одно из наиболее прецизионных измерений данной комбинации фундаментальных констант.При точном целочисленном заполнении (13.87) продольное сопротивление исчезает, так как тогда можно построить без каких-либо затратэнергии делокализованную линейную комбинацию вырожденных заполненных уровней Ландау, которая соответствует плоской волне в -направлении.В некотором смысле это пример сверхпроводимости.
Продольное сопротивление заметно лишь при значениях магнитного поля в промежуточномрежиме между факторами заполнения и + 1. Более сложные явления, которые связаны с эффектами кулоновского взаимодействия междуэлектронами наблюдаются [71] при малых дробных значениях факторазаполнения . Эти эффекты связаны с пространственной структурой локализованных волновых функций, соответствующих замкнутым электронныморбитам, которые отталкиваются друг от друга [72].13.7 Произвольный закон дисперсииС квазиклассическими аргументами мы можем расширить наше рассмотрение на более реалистичные ситуации, особенно в физике твердого тела,когда частицы, или любые объекты с общим названием квазичастицы,могут быть описаны с помощью закона дисперсии (зависимость их энергии(p) от импульса или квазиимпульса в кристалле, раздел 8.7), которыйможет отличаться от p2 /2.Начнем снова с классического движения квазичастицы в статическомоднородном магнитном поле ℬ .
Для вывода уравнений движения будемрассматривать (p) как функцию Гамильтона и включим магнитное поле444Глава 13 Включение магнитного поляминимальным образом через подстановку (13.17), так что(︁)︁ = p − (/)A .(13.89)Аргумент можно назвать кинетическим импульсом. Уравнение Гамильтона имеет видr≡v==.ppkin(13.90)Для канонического импульса p получаем (︁ )︁ =−= − kin − (13.91)или, используя (13.90), = [v × ℬ ] + . (13.92)В терминах кинетического импульса мы приходим кp Apkin=− = [v × ℬ ]. (13.93)Таким образом, сила Лоренца имеет обычную форму и только связь междускоростью v и кинетическим импульсом (13.90) является в общем случаеболее сложной, чем в уравнении (13.3).Конечно, энергия по-прежнему сохраняется, pkin== 0,·pkin(13.94)так как сила Лоренца перпендикулярна скорости.
Вторым интеграломдвижения, как и ранее, является проекция kin на направление магнитногополя. Мы видим, что движение в пространстве импульсов идёт по траектории, которая лежит на пересечении поверхности энергии (pkin ) = constс плоскостью (pkin · ℬ ) = const. Уравнение (13.93) также показывает, чтонебольшие поперечные смещения импульса и координаты взаимосвязаны,pkin =[r × ℬ ].(13.95)13.7 Произвольный закон дисперсии445Bdp⊥dS (P)dpIIEРис. 13.6: Определение циклотронной частоты для замкнутых траекторий с произвольным законом дисперсииE+dEБудучи подобными друг другу, они отличаются поворотом на угол /2 впоперечной плоскости и масштабным коэффициентом ℬ/.В отличие от обычного случая с изотропным спектром = p2 /2траектория частицы с произвольным законом дисперсии не обязательнозамкнута. Тем не менее по замкнутым орбитам движение периодическое имы можем вычислить его частоту, аналог (13.39).
Рассмотрим поперечнуюплоскость () в пространстве импульсов и две близкие замкнутые орбитыв этой плоскости (рис. 13.6). Орбиты лежат на поверхностях энергии дляэнергий и +. Для тангенциальной компоненты импульса в плоскостиорбиты, || , получаем из (13.93) (здесь мы имеем дело исключительно с pkinи опускаем индекс «kin»)|| = ⊥ ℬ =ℬ, ⊥(13.96)где ⊥ и ⊥ являются компонентами импульса и скорости, соответственно,перпендикулярными к траектории в плоскости (). Из уравнения (13.96)находим: =|| ⊥ , ℬтак что период движения даётся формулой∮︀|| ⊥ () ==,ℬℬ (13.97)(13.98)где () является площадью кольца в импульсном пространстве между двумя орбитами, разделёнными энергией .
Таким образом, частота446Глава 13 Включение магнитного поляобращения по замкнутой орбите,22ℬ==(︃ ())︃−1,(13.99)пропорциональна полю ℬ и выражается через характеристики энергетического спектра. В случае = p2 /2 орбиты являются окружностямис площадью(︂)︂2()22 = ( − ) = 2 −,(13.100)2тогда () / = 2 и частота (13.99) совпадает с обычным выражением (13.39).В соответствующей квантовой задаче мы не можем прийти к точномурешению для произвольного закона дисперсии.
Но мы можем получитьобщий рецепт квазиклассического квантования. Аналогично уравнению(13.20) находим коммутатор операторов компонент кинетического импульса,[^ , ^ ] =~ ℬ .(13.101)^ для частицыПринимая (^p) в качестве квантового гамильтониана в магнитном поле, мы получаем с помощью (13.101) операторные уравнениядвижения~^r= [^r, (^p)] = ~,^p(13.102)~~^= [^ , (^p)] = [^ , ^ ]= ^ ℬ . ^(13.103)Эти уравнения совпадают по форме с классическими уравнениями (13.92)и (13.93) и, следовательно, обладают теми же интегралами движения и(^p · ℬ).Для поперечных компонент кинетического импульса коммутатор (13.101)даёт[^ , ^ ] =~ℬ.(13.104)13.7 Произвольный закон дисперсии447Переменными Ландау (13.50) в этом случае являются^ = ^,^ = ^(13.105)с каноническим коммутатором (13.51).
Теперь мы можем применить квазиклассическое правило квантования Бора-Зоммерфельда (1.17) для периодического движения по замкнутой орбите в поперечной плоскости. Этоприводит к отбору стационарных квантовых состояний в виде∮︁ = 2~( + ),(13.106)где — целое число, а — фаза, которая, как правило, равна 1/2, как ив случае гармонического осциллятора, и определяется точными граничнымиусловиями (см. главу 15). Точное значение не имеет значения для нашихцелей. В импульсных переменных условие квантования (13.106) имеет вид∮︁ = 2~( + ).(13.107)Но левая сторона уравнения (13.107) есть не что иное, как площадь импульсного пространства, () , заключённая внутри классической орбитыс данной энергией. В наших классических решениях (уравнения (13.95)–(13.100)) мы встретились именно с этой величиной. Следует вывод, что дляпроизвольного закона дисперсии квантуется площадь замкнутой орбитыв пространстве импульсов, () = 2~( + ).(13.108)Для = p2 /2 и = 1/2 это совпадает с результатом Ландау (13.53).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
